2024七年级数学上专题7 几何图形初步章末重难点题型（举一反三）（人教版）（解析版）

2024七上专题7几何图形初步章末重难点题型汇编【举一反三】【考点1几何图形】【方法点拨】掌握几何图形相关概念是解决此类问题的关键.【例1】下面的几何体中，属于棱柱的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，可得答案．【答案】解：从左到右依次是长方体，圆柱，棱柱，棱锥，圆锥，棱柱．故选：C．【点睛】本题考查了认识立体图形，有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．【变式1-1】如图，左面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到的立体图形是（）A． B． C． D．【分析】根据面动成体，梯形绕下底边旋转是圆锥加圆柱，可得答案．【答案】解：梯形绕下底边旋转是圆锥加圆柱，故C正确；故选：C．【点睛】本题考查了点、线、面、体，利用面动成体，直角三角形绕直角边旋转是圆锥，矩形绕边旋转是圆柱．【变式1-2】图①是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②．则下列图形中，是图②的表面展开图的是（）A． B． C． D．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【答案】解：由图中阴影部分的位置，首先可以排除C、D，又阴影部分正方形在左，三角形在右，而且相邻，故只有选项B符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，本题虽然是选择题，但答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念．【变式1-3】下图右边四个图形中，哪个是左边立体图形的展开图？（）A． B． C． D．【分析】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．【答案】解：A、折叠后不能满足黑三角和黑正方形相邻，故本选项错误；B、折叠后符合题意，故本选项正确；C、折叠后不能满足黑三角的黑色的边与圆形相邻，故本选项错误；D、折叠后不能满足黑三角和黑正方形相邻，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了几何体的展开图，这类题学生容易对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．【考点2基本概念】【方法点拨】知识点1：线段像长方体的棱、长方形的边，这些图形都是线段．线段有两个端点，两个方向均不延伸，线段的长度是可以测量的．线段有两种表示方法：(1)一条线段可以用它的两个端点的大写字母来表示，如图，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”；(2)一条线段可以用一个小写字母来表示，如图，线段AB也可记作“线段a”．知识点2：射线将线段向一个方向无限延长就得到了射线．射线有一个端点，射线向一个方向无限延伸，射线是无法测量的．射线的表示法：两个大写字母：一条射线可以用表示它的端点和射线上的另一点的两个大写字母来表示，如图中的射线，点O是端点，点A是射线上异于端点的另一点，那么这条射线可以记作射线OA.注意：①表示射线的两个大写字母，其中一个一定是端点，并且要把它写在前面．②端点相同的射线不一定是同一条射线，端点不同的射线一定不是同一条射线③两条射线为同一射线必须具备的两个条件：①端点相同；②延伸的方向相同．知识点3：直线将线段向两个方向无限延长就形成了直线．直线没有端点，直线向两个方向无限延伸，直线是无法测量的．直线的两种表示方法：(1)一条直线可以用一个小写字母表示，如图中的直线可记作：直线a.(2)一条直线也可以用在这条直线上的表示两个点的大写字母来表示，如图中的直线可记作：直线AB或直线BA.【例2】下列说法中正确的个数是（）①线段AB和射线AB都是直线的一部分；②直线AB和直线BA是同一条直线；③射线AB和射线BA是同一条射线；④把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据直线、射线、线段的定义以及表示方法对各小题分析判断即可得解．【答案】解：①线段AB和射线AB都是直线的一部分，正确；②直线AB和直线BA是同一条直线，正确；③射线AB的端点是点A，射线BA的端点是点B，不是同一条射线，故本小题错误；④把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线，正确．综上所述，说法正确的是①②④共3个．故选：C．【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，是基础题，熟记概念与它们的区别与联系是解题的关键．【变式2-1】下列说法正确的个数有（）①射线AB与射线BA表示同一条射线．②若∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，则∠2＝∠3．③一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫这个角的平分线．④连结两点的线段叫做两点之间的距离．⑤40°50ˊ＝40.5°．⑥互余且相等的两个角都是45°．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据射线的定义，同角的补角相等，角平分线的定义，两点之间的距离的定义，度分秒的换算以及余角的定义对各小题分析判断即可得解．【答案】解：①射线AB与射线BA不表示同一条射线，因为它们的端点不同，故本小题错误；②若∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，则∠2＝∠3，正确；③应为一条射线把一个角分成两个角相等的角，这条射线叫这个角的平分线，故本小题错误；④应为连结两点的线段的长度叫做两点之间的距离，故本小题错误；⑤40°50′≈40.83°，故本小题错误；⑥互余且相等的两个角都是45°，正确．综上所述，说法正确的有②⑥共2个．故选：B．【点睛】本题考查了余角与补角的定义，射线的定义，角平分线的定义以及度分秒的换算，是基础题，熟记相关概念与性质是解题的关键．【变式2-2】下列说法：①两点之间的所有连线中，线段最短；②在数轴上与表示﹣1的点距离是3的点表示的数是2；③连接两点的线段叫做两点间的距离；④射线AB和射线BA是同一条射线；⑤若AC＝BC，则点C是线段AB的中点；⑥一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线是这个角的平分线，其中错误的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，近似数，射线、线段的中点的定义，角平分线的定义对各小题分析判断即可得解．【答案】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；②在数轴上与表示﹣1的点距离是3的点表示的数是﹣4和2，故本小题错误；③应为连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故本小题错误；④射线AB和射线BA不是同一条射线，故本小题错误；⑤若AC＝BC，则点C是线段AB的中点，错误，因为点A、B、C不一定共线；⑥应为从一个角的顶点引出一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线是这个角的平分线，故本小题错误．综上所述，错误的有②③④⑤⑥共5个．故选：D．【点睛】本题考查了射线、线段的性质，数轴，近似数，两点间的距离的定义，角平分线的定义，是基础题，熟记各性质与概念是解题的关键．【变式2-3】如图的四个图形和每一个图形相应的一句描述，其中所有图形都是画在同一个平面上．①线段AB与射线MN不相交；②点C在线段AB上；③直线a和直线b不相交；④延长射线AB，则会通过点C．其中正确的语句的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据直线、线段、射线的定义以及其性质分别判断得出即可．【答案】解：①线段AB与射线MN不相交，根据图象可得出此选项正确；②根据图象点C不在线段AB上，故此选项错误；③根据图象可得出直线a和直线b会相交，故此选项错误；④根据图象可得出应为延长线段AB，到点C，故此选项错误，故正确的语句的个数是1个．故选：B．【点睛】此题主要考查了直线、线段、射线的定义的应用，正确根据题意画出图形是解题关键．【考点3余角与补角定义】【方法点拨】余角和补角：（1）若α＋β＝90°，则α与β互余．（2）若α＋β＝180°，则α与β互补．（3）同角（或等角）的余角（或补角）相等．【例3】一个角的余角是它的，则这个角的补角等于°．【分析】互补的两角和为180°，互为余角的和90°，从而计算得．【答案】解：设这个角为α，由题意该角为：90°﹣α＝α，解得：α＝54°，则该角的补角为180°﹣54°＝126°，故答案为：126．【点睛】本题考查了角的补角和余角，从平角180°为互补角的和，从而解得．【变式3-1】如果一个角的余角与它的补角度数之比为2：5，则这个角等于度．【分析】根据和为180度的两个角互为补角；和为90度的两个角互为余角解答即可．【答案】解：设该角为x°，则5（90°﹣x°）＝2（180﹣x°），得x＝30°．故答案为：30．【点睛】本题考查了余角与补角的定义，表示出这个角的余角和补角并列出方程是解题的关键．【变式3-2】若一个角的3倍比这个角补角的2倍还少5°，则这个角等于．【分析】设这个角为x，根据互为补角的两个角的和等于180°列方程求解即可．【答案】解：设这个角为x，由题意得，3x＝2（180°﹣x）﹣5°，解得x＝71°．答：这个角等于71°．故答案为：71°．【点睛】本题考查了余角和补角，互为补角的两个角的和等于180°．【变式3-3】一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，则比这个角小15°32′的角的度数是．【分析】先设出这个角，可表示出其补角和余角，根据题意我们可列出等式，解这个等式即可得出这个角的度数，然后求得即可．【答案】解：设这个角为x°，则它的余角为90°﹣x°，补角为180°﹣x°，根据题意，得180°﹣x°+10°＝3×（90°﹣x°），解得x＝4040°﹣15°32'＝24°28'，故答案为：24°28'【点睛】本题考查的是角的余角和补角的关系，以及对题意的准确把握．【考点4钟面上的角度问题】【例4】上午9点30分时，时钟的时针和分针所夹的较小的角是度．【分析】在9点30分时，时针从数字9开始转了30×0.5°＝15°，分针从数字12开始转了30×6°＝180°，所以此时时针与分针所夹的角＝9×30°+15°﹣180°，然后进行角度计算．【答案】解：上午9点30分时，时针转了30×0.5°＝15°，分针转了30×6°＝180°，所以此时时针与分针所夹的角＝9×30°+15°﹣180°＝105°．故答案为105．【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格为30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．【变式4-1】时钟表面11点15分时，时针与分针所夹角的度数是度．【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．【答案】解：11点15分时，时针与分针相距份，11点15分时，时针与分针所夹角的度数是30×＝＝112.5°，故答案为：112.5．【点睛】本题考查了钟面角，利用了时针与分针相距的份数乘以每份的度数，确定时针与分针相距的份数是解题关键．【变式4-2】中午12点30分时，钟面上时针和分针的夹角是度．【分析】画出图形，利用钟表表盘的特征解答．【答案】解：12点半时，时针指向1和12中间，分针指向6，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，半个格是15°，因此12点半时，分针与时针的夹角正好是30°×5+15°＝165°．故答案为：165．【点睛】此题主要考查了钟面角，本题是一个钟表问题，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．借助图形，更容易解决．【变式4-3】上午八点二十五分，钟表上时针和分针的夹角的度数为．【分析】根据时针每分钟转0.5度，分针每分钟转6度计算即可．【答案】解：上午八点二十五分，钟表上时针和分针的夹角的度数：3×30°+0.5°×25＝102.5°，故答案为：102.5°．【点睛】本题考查了钟面角的问题，掌握时针每分钟转0.5度，分针每分钟转6度是解题的关键．【考点5尺规作图】【例5】已知：∠α，∠β，线段c．求作：△ABC，使∠A＝α，∠B＝∠β，AB＝c（不写作法，保留作图痕迹）【分析】①先作∠MAN＝∠α，②在AM上截取AB＝a，③在AB的同侧作∠ABD＝∠β，AN与BD交于点C，即可得出△ABC．【答案】解：如图所示：△ABC即为所求．【点睛】本题主要考查了作图﹣复杂作图、角的作法；熟练掌握三角形的基本作图是解决问题的关键．【变式5-1】用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a，b，求作：线段AB，使AB＝2b﹣a．【分析】以A为端点画射线，在射线上截AC＝b、CD＝b、BD＝a，如图AB即为所求作的线段．【答案】解：AB＝2b﹣a．【点睛】本题考查了作图中的复杂作图，熟练掌握尺规作图的方法是解题的关键．【变式5-2】作图题：学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来．比如给定一个△ABC，可以这样来画：先作一条与AB相等的线段A′B′，然后作∠B′A′C′＝∠BAC，再作线段A′C′＝AC，最后连结B′C′，这样△A′B′C′就和已知的△ABC一模一样了．请你根据上面的作法画一个与给定的三角形一模一样的三角形来．（请保留作图痕迹）【分析】首先作一条射线，进而截取AB＝A′B′，∠CAB＝∠C′A′B′，进而截取AC＝A′C′，进而得出答案．【答案】解：如图所示：△A′B′C′即为所求．【点睛】此题主要考查了作一三角形全等于已知三角形，正确作出∠CAB＝∠C′A′B′是解题关键．【变式5-3】如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D．（1）请按要求作出图形（注：此题作图不需写出画法和结论）：①作射线AC②作直线BD，交射线AC于点O③分别连接AB，AD．（2）观察所作图形，我们能得到：AO+OC＝；DB﹣OB＝（空格处填写图中线段）【分析】（1）根据直线、射线和线段的定义作图可得；（2）根据线段的和差可得．【答案】解：（1）如图所示：（2）由图形知AO+OC＝AC，DB﹣OB＝DO，故答案为：AC，DO．【点睛】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握线段、直线、射线的定义及线段和差的计算．【考点6与中点有关的长度计算】【方法点拨】线段的中点如图，点C在线段AB上且使线段AC，CB相等，这样的点C叫做线段AB的中点．中点定义的推理步骤：(1)∵AC＝CB(已知)，∴点C是线段AB的中点(中点的定义)．(2)∵点C是线段AB的中点(已知)，∴AC＝BC或AC＝eq\f(1,2)AB或BC＝eq\f(1,2)AB或AB＝2AC或AB＝2BC(中点的定义)．【例6】已知：点C在直线AB上，AC＝8cm，BC＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长．【分析】分类讨论：点C在线段AB上，点C在线段AB的延长线上，根据线段中点的性质，可得MC、NC的长，根据线段的和差，可得答案．【答案】解：当点C在线段AB上时，由点M、N分别是AC、BC的中点，得MC＝AC＝×8cm＝4cm，CN＝BC＝×6cm＝3cm，由线段的和差，得MN＝MC+CN＝4cm+3cm＝7cm；当点C在线段AB的延长线上时，由点M、N分别是AC、BC的中点，得MC＝AC＝×8cm＝4cm，CN＝BC＝×6cm＝3cm．由线段的和差，得MN＝MC﹣CN＝4cm﹣3cm＝1cm；即线段MN的长是7cm或1cm．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，分类讨论是解题关键，以防遗漏．【变式6-1】如图，线段AB，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．（1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求线段MN的长；（2）若BC＝a，试用含a的式子表示线段MN的长．【分析】（1）根据中点定义求出AM和AN，则MN＝AM﹣AN；（2）由MN＝AM﹣AN得：MN＝＝．【答案】解：（1）因为AB＝8cm，M是AB的中点，所以AM＝＝4cm，又因为AC＝3.2cm，N是AC的中点，所以AN＝＝1.6cm，所以MN＝AM﹣AN＝4﹣1.6＝2.4cm；（2）因为M是AB的中点，所以AM＝，因为N是AC的中点，所以AN＝，∴MN＝AM﹣AN＝＝＝＝．【点睛】本题考查了线段中点的定义及线段的和、差、倍、分，若点C是线段的中点，则有①AC＝BC＝AB，②AB＝2AC＝2BC；注意（1）的条件和结论（2）不能运用．【变式6-2】如图，点C是线段AB上，AC＝10cm，CB＝8cm，M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长．（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其他条件不变，不用计算你猜出MN的长度吗？（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝acm，M，N仍分别为AC，BC的中点，你还能猜出线段MN的长度吗？（4）由此题你发现了怎样的规律？【分析】（1）根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系，即可求出结果；（2）根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系，即可得出结论；（3）根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系，即可得出结论；（4）分析上面结论，即可得出“MN的长度与C点的位置无关，只与AB的长度有关”这一结论．【答案】解：（1）MN＝MC+CN＝AC+CB＝×10+×8＝5+4＝9cm．答：线段MN的长为9cm．（2）MN＝MC+CN＝AC+CB＝（AC+CB）＝cm．（3）如图，MN＝AC﹣AM﹣NC＝AC﹣AC﹣BC＝（AC﹣BC）＝cm．（4）当C点在AB线段上时，AC+BC＝AB，当C点在AB延长线上时，AC﹣BC＝AB，故找到规律，MN的长度与C点的位置无关，只与AB的长度有关．【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系．【变式6-3】已知：点M，N分别是线段AC，BC的中点．（1）如图，点C在线段AB上，且AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长；（2）若点C为线段AB上任一点，且AC＝acm，CB＝bcm，用含有a，b的代数式表示线段MN的长度．（3）若点C在线段AB的延长线上，且AC＝acm，CB＝bcm，请你画出图形，并且用含有a，b的代数式表示线段MN的长度．【分析】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN＝CM+CN即可求出MN的长度即可，（2）当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，可表示线段MC、CN的长度，再利用MN＝CM+CN，则存在MN＝（a+b）；（3）点C在AB的延长线上时，根据M、N分别为AC、BC的中点，即可求出MN的长度．【答案】解：（1）∵AC＝9cm，点M是AC的中点，∴CM＝0.5AC＝4.5cm，∵BC＝6cm，点N是BC的中点，∴CN＝0.5BC＝3cm，∴MN＝CM+CN＝7.5cm，∴线段MN的长度为7.5cm，（2）MN＝cm，∵点M，N分别是线段AC，BC的中点．∴MC＝AC＝a，CN＝CB＝b，∴MN＝＝；（3）当点C在线段AB的延长线时，如图：则AC＞BC，∵M是AC的中点，∴CM＝AC＝a，∵点N是BC的中点，∴CN＝＝b，∴MN＝CM﹣CN＝a﹣b＝．【点睛】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．【考点7与角平分线有关的角度计算】【方法点拨】角平分线：（1）把一个角平分成二等分的射线，称为角平分线．（2）若OC平分∠AOB，则有=1\*GB3①∠AOC＝∠BOC．=2\*GB3②∠AOC＝∠AOB．=3\*GB3③∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．【例7】如图，已知OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°．求：（1）∠AOC的度数；（2）∠MON的度数．【分析】（1）根据角的和差关系，即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，于是得到结论．【答案】解：（1）∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，又∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝120°；（2）∵OM平分∠AOC，∴∠MOC＝∠AOC，∵∠AOC＝120°，∴∠MOC＝60°，∵ON平分∠BOC，∴∠NOC＝∠BOC，∵∠BOC＝30°，∴∠NOC＝15°，∵∠MON＝∠MOC﹣∠NOC，∴∠MON＝45°．【点睛】此题考查了角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，弄清题意是解本题的关键．【变式7-1】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°，OF⊥CD，垂足为O，求：（1）求∠BOE的度数．（2）求∠EOF的度数．【分析】（1）由∠BOD＝∠AOC＝72°，OF⊥CD，求出∠BOF＝90°﹣72°＝18°，再由OE平分∠BOD，得出∠BOE＝∠BOD＝36°，（2）由∠EOF＝∠BOF+∠BOE，得出∠EOF的度数．【答案】解：（1）∵直线AB和CD相交于点O，∴∠BOD＝∠AOC＝72°，∵OF⊥CD，∴∠BOF＝90°﹣72°＝18°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠BOD＝36°；（2）∵∠EOF＝∠BOF+∠BOE，∴∠EOF＝36°+18°＝54°．【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、垂线以及角平分线的定义；弄清各个角之间的关系是解题的关键．【变式7-2】如图所示．（1）已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；（2）∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的大小．【分析】（1）根据题意可知，∠AOC＝120°，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOC；推出∠MOC＝∠AOC＝60°，∠CON＝∠BOC＝15°，由图形可知，∠MON＝∠MOC﹣∠CON，即∠MON＝45°；（2）同理可得，∠MOC＝（α+β），∠CON＝β，根据图形便可推出∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（α+β）﹣β＝α．【答案】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC＝60°，∠CON＝∠BOC＝15°，∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝60°﹣15°＝45°；故答案为：45°；（2）同理可得，∠MOC＝（α+β），∠CON＝β，则∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（α+β）﹣β＝α．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，角的度数的计算，关键在于运用数形结合的思想推出∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠MON＝∠MOC﹣∠CON．【变式7-3】已知∠AOB＝α，过O作射线OC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如图，若α＝120°，当OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；（2）当OC在∠AOB外部时，画出相应图形，求∠MON的度数（用含α的式子表示）．【分析】（1）根据角平分线的性质，可得∠NOC与∠BOC的关系，∠COM与∠COA的关系，根据角的和差，可得答案；（2）根据角的和差，可得∠AOC的度数，根据角平分线的性质，可得∠COM的度数，∠CON的度数，根据角的和差，可得答案．【答案】解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝∠AOC+∠BOC＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB＝α＝60°；（2）如图：，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝（∠AOB+∠BOC），∠CON＝∠BOC．∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（AOB+∠BOC）﹣∠BOC＝∠AOB＝α．【点睛】本题考查了角的计算，利用了角平分线的性质，角的和差．【考点8与旋转有关的角度计算】【例8】O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE．（1）如图①，∠AOC与∠DOE的数量关系为，∠COF和∠DOE的数量关系为_；（2）若将∠COE绕点O旋转至图②的位置，OF依然平分∠AOE，请写出∠COF和∠DOE之间的数量关系，并说明理由；（3）若将∠COE绕点O旋转至图③的位置，射线OF依然平分∠AOE，请直接写出∠COF和∠DOE之间的数量关系．【分析】（1）根据已知条件和图形可知：∠COE＝90°，∠COE+∠AOC+∠DOE＝180°，从而可以得到∠AOC与∠DOE的数量关系；由射线OF平分∠AOE，∠AOC与∠DOE的数量关系，从而可以得到∠COF和∠DOE的数量关系；（2）由图②，可以得到各个角之间的关系，从而可以得到∠COF和∠DOE之间的数量关系；（3）由图③和已知条件可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠COF和∠DOE之间的数量关系．【答案】解：（1）∵∠COE＝90°，∠COE+∠AOC+∠DOE＝180°，∴∠AOC+∠DOE＝90°，∵射线OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝∠AOE，∴∠COF＝∠AOF﹣∠AOC＝∠AOE﹣（90°﹣∠DOE）＝（180°﹣∠DOE）﹣90°+∠DOE＝∠DOE，故答案为：互余，∠COF＝∠DOE；（2）∠COF＝∠DOE；理由如下：∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠AOE，∵∠COE＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠AOE，∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝90°﹣∠AOE+∠AOE＝90°﹣∠AOE，∵∠AOE＝180°﹣∠DOE，∴∠COF＝90°﹣（180°﹣∠DOE）＝∠DOE，即∠COF＝∠DOE；（3）∠COF＝180°﹣∠DOE；理由如下：∵OF平分∠AOE，∴∠EOF＝∠AOE，∴∠COF＝∠COE+∠EOF＝90°+∠AOE＝90°+（180°﹣∠DOE）＝180°﹣∠DOE，即∠COF＝180°﹣∠DOE．【点睛】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．【变式8-1】已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时，∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，请说明理由．（3）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180）时，满足∠AOD+∠EOF＝6∠COD，则n＝．【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠EOB和∠COF的度数，然后根据∠EOF＝∠EOB+∠COF求解；（2）解法与（1）相同，只是∠AOC＝∠AOB+n°，∠BOD＝∠COD+n°；（3）利用n表示出∠AOD，求得∠EOF的度数，根据∠AOD+∠EOF＝6∠COD列方程求解．【答案】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠EOB＝∠AOB＝×100°＝50°，∠COF＝∠COD＝×40°＝20°，∴∠EOF＝∠EOB+∠COF＝50°+20°＝70°；（2）∠AOE﹣∠BOF的值是定值，理由是：当0＜n＜80时，如图2．∠AOE﹣∠BOF的值是定值，理由是：∠AOC＝∠AOB+n°，∠BOD＝∠COD+n°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE＝∠AOC＝（100°+n°），∠BOF＝∠BOD＝（40°+n°），∴∠AOE﹣∠BOF＝（100°+n°）﹣（40°+n°）＝30°；当80＜n＜90时，如图3．∠AOE＝（360°﹣100°﹣α）＝130°﹣α，∠BOF＝（40°+α），则∠AOE﹣∠BOF＝110°﹣α，不是定值；（3）当0＜＜α＜40时，C和D在OA的右侧，∠AOD＝∠AOB+∠COD+n°＝100°+40°+n°＝140°+n°，∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠EOC+∠COD﹣∠DOF＝（100°+n°）+40°﹣（40°+n°）＝70°，∵∠AOD+∠EOF＝6∠COD，∴（140+n）+70°＝6×40，∴n＝30．当40≤α＜80时，如图2所示，D在OA的左侧，C在OA的右侧．当∠AOD＝∠AOB+∠COD+n°＞180°时，∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD＝220°﹣n°，∠EOF＝70°，∵∠AOD+∠EOF＝6∠COD，∴220°﹣n°+70°＝6×40°，解得n＝50．当80＜α＜140时，如图3所示，∠AOD＝360°﹣100°﹣40°﹣α＝220°﹣n°，∠EOF＝360°﹣（130°﹣n）﹣（40°+n）﹣100°＝110°，则（220﹣n）+110°＝240°，解得n＝90°；当140≤n＜180时，∠AOD＝220°﹣n°，∠EOF＝70°，则220﹣n+70＝240，解得n＝50（舍去）．故答案是：30或50°或90°．【点睛】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．【变式8-2】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的定义以及直角的定义，即可求得∠BON的度数；（2）分两种情况：ON的反向延长线平分∠AOC或射线ON平分∠AOC，分别根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可；（3）根据∠MON＝90°，∠AOC＝70°，分别求得∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝70°﹣∠AON，再根据∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）进行计算，即可得出∠AOM与∠NOC的数量关系．【答案】解：（1）如图2，∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝∠MOB，又∵∠BOC＝110°，∴∠MOB＝55°，∵∠MON＝90°，∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝35°；（2）分两种情况：①如图2，∵∠BOC＝110°∴∠AOC＝70°，当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD＝∠COD＝35°，∴∠BON＝35°，∠BOM＝55°，即逆时针旋转的角度为55°，由题意得，5t＝55°解得t＝11；②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA＝35°，∴∠AOM＝55°，即逆时针旋转的角度为：180°+55°＝235°，由题意得，5t＝235°，解得t＝47，综上所述，t＝11s或47s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；故答案为：11或47；（3）∠AOM﹣∠NOC＝20°．理由：∵∠MON＝90°，∠AOC＝70°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝70°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）＝20°，∴∠AOM与∠NOC的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝20°．【点睛】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义的运用，用含∠AON的式子表示出∠AOM和∠NOC的长是解题的关键．解题时注意分类思想和方程思想的运用．【变式8-3】将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．（1）如图（1）若∠BOD＝35°，求∠AOC的度数，若∠AOC＝135°，求∠BOD的度数．（2）如图（2）若∠AOC＝150°，求∠BOD的度数．（3）猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并结合图（1）说明理由．（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD可分别计算出∠AOC、∠BOD的度数；（2）根据∠BOD＝360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD计算可得；（3）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC可知两角互补；（4）分别利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥AB分别求出即可．【答案】解：（1）若∠BOD＝35°，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝90°+90°﹣35°＝145°，若∠AOC＝135°，则∠BOD＝∠AOB+∠COD﹣∠AOC＝90°+90°﹣135°＝45°；（2）如图2，若∠AOC＝150°，则∠BOD＝360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD＝360°﹣150°﹣90°﹣90°＝30°；（3）∠AOC与∠BOD互补．∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，∴∠AOC+∠BOD＝180°，即∠AOC与∠BOD互补．（4）OD⊥AB时，∠AOD＝30°，CD⊥OB时，∠AOD＝45°，CD⊥AB时，∠AOD＝75°，OC⊥AB时，∠AOD＝60°，即∠AOD角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°．【点睛】本题题主要考查了互补、互余的定义，垂直的定义以及三角形内角和定理等知识的综合运用，解决本题的关键是掌握：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角．【考点9与几何有关的规律问题】【例9】阅读表：线段AB上的点数n（包括A，B两点）图例线段总条数N33＝2+146＝3+2+1510＝4+3+2+1615＝5+4+3+2+1解答下列问题：（1）根据表中规律猜测线段总数N与线段上的点数n（包括线段两个端点）有什么关系？（2）根据上述关系解决如下实际问题：有一辆客车往返于A，B两地，中途停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不同，问：①有种不同的票价？②要准备种车票？（直接写答案）【分析】（1）根据表格找出规律即可求解．（2）由题意可知：n＝5，然后代入（1）的等式即可求出答案．【答案】解：（1）由表格可知：点数n时，N＝（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1＝，（2）由题意可知：n＝5，∴N＝10，由于客车是往返行使，故准备2×10＝20种车票．故答案为：10；20【点睛】本题考查数字规律，涉及代入求值问题，注重考查学生观察推理能力．【变式9-1】（1）试验探索：如果过每两点可以画一条直线，那么请下面三组图中分别画线，并回答问题：第（1）组最多可以画条直线；第（2）组最多可以画条直线；第（3）组最多可以画条直线．（2）归纳结论：如果平面上有n（n≥3）个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画出直线条．（作用含n的代数式表示）（3）解决问题：某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握次手；最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需件礼物．【分析】（1）根据图形画出直线即可；（2）根据上面得到的规律用代数式表示即可；（3）将n＝50代入即可求解．【答案】解：（1）根据图形得：如图：（1）试验观察如果每过两点可以画一条直线，那么：第①组最多可以画3条直线；第②组最多可以画6条直线；第③组最多可以画10条直线．（2）探索归纳：如果平面上有n（n≥3）个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多可以画1+2+3+…+n﹣1＝条直线．（用含n的代数式表示）（3）解决问题：某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握1225次手．最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需2450件礼物．故答案为1225，2450．【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形并找到其中的规律．【变式9-2】为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手．（1）一条直线把平面分成2部分；（2）两条直线最多可把平面分成4部分；（3）三条直线最多可把平面分成7部分…；把上述探究的结果进行整理，列表分析：直线条数把平面分成部分数写成和形式121+1241+1+2371+1+2+34111+1+2+3+4………（1）当直线条数为5时，把平面最多分成部分，写成和的形式；（2）当直线为10条时，把平面最多分成部分；（3）当直线为n条时，把平面最多分成部分．（不必说明理由）【分析】根据表中数据，总结出规律，再根据规律解题．【答案】解：（1）根据表中规律，当直线条数为5时，把平面最多分成16部分，1+1+2+3+4+5＝16；（2）根据表中规律，当直线为10条时，把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+…+10＝56；（3）设直线条数有n条，分成的平面最多有m个．有以下规律：nm11+121+1+231+1+2+3：：：nm＝1+1+2+3+…+n＝+1．【点睛】本题体现了由“特殊到一般再到特殊”的思维过程，有利于培养同学们的探究意识．【变式9-3】观察下图，回答下列问题：（1）在图①中有几个角？（2）在图②中有几个角？（3）在图③中有几个角？（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？【分析】解答此题首先要弄清楚题目的规律：当图中有n条射线时，每条射线都与（n﹣1）条射线构成了（n﹣1）个角，则共有n（n﹣1）个角，由于两条射线构成一个角，因此角的总数为：，可根据这个规律，直接求出（1）（2）（3）的结论；在解答（4）题时，首先要弄清图中共有多少条射线，已知角内共n条射线，那么图中共有（n+2）条射线，代入上面的规律，即可得到所求的结论．【答案】解：由分析知：（1）①图中有2条射线，则角的个数为：＝1（个）；（2）②图中有3条射线，则角的个数为：＝3（个）；（3）③图中有4条射线，则角的个数为：＝6（个）；（4）由前三问类推，角内有n条射线时，图中共有（n+2）条射线，则角的个数为个．【点睛】解答此类规律型问题，一定要弄清题目的规律，可以从简单的图形入手进行总结，然后得到一般化结论再进行求解．【考点10线段上的动点问题】【例10】如图，线段AB＝12cm，延长AB到点C，使BC＝AB，点D是BC中点，点E是AD中点．（1）根据题意，补全图形；（2）求DE的长；（3）若动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点C运动，到达点C停止运动，点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点A运动，到达点A停止运动，若运动时间为ts，当t为何值时，PQ＝3cm？【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据线段间的和差倍分关系进行解答；（3）需要分类讨论：点P、Q未相遇前和当点P、Q未相遇后两种情况．【答案】解：（1）如图所示：．（2）∵BC＝AB，AB＝12cm，∴BC＝AB＝6cm，∴AC＝AB+BC＝18cm．∵D是BC中点，∴DC＝BC＝3cm，∴AD＝AC﹣CD＝15cm．∵E是AD中点，∴DE＝AD＝7.5cm；（3）由题意得AP＝t，CQ＝2t，①当点P、Q未相遇前，AP+PQ+CQ＝ACt+3+2t＝18解得t＝5；②当点P、Q相遇后，t+2t﹣3＝18，解得t＝7．答：当t＝5s或t＝7s时，PQ＝3cm．【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．【变式10-1】如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且满足（a﹣6）2+|b+4|＝0．（1）写出a、b及AB的距离：a＝b＝AB＝（2）若动点P从点A出发，以每秒6个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度向左匀速运动．①若P、Q同时出发，问点P运动多少秒追上点Q？②若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．【分析】（1）根据非负数的性质可得a﹣6＝，b+4＝0，计算出a、b的值，然后可计算出AB的长度；（2）①设点P运动t秒时追上点Q，由题意可得等量关系：点P运动的路程﹣点Q运动的路程＝10，根据等量关系列出方程，再解即可；②此题要分两种情况：当P在线段AB之间时；当P在线段AB的延长线上时，分别画出图形，根据线段之间的关系进行计算即可．【答案】解：（1）∵（a﹣6）2+|b+4|＝0，∴a﹣6＝，b+4＝0，解得a＝6，b＝﹣4，∴AB＝10，故答案为：6；﹣4；10；（2）①设点P运动t秒时追上点Q，则6t﹣4t＝10，∴t＝5，即：点P运动5秒时追上点Q；②答：线段MN不发生变化，理由：当P在线段AB之间时：MN＝AB﹣（BN+AM），＝AB﹣（BP+AP）＝AB﹣（BP+AP），＝AB﹣AB＝5，当P在线段AB的延长线上时，MN＝AP﹣PB＝AB＝5，故MN的长不发生变化．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，以及线段的和差，关键是正确理解题意，考虑全面，画出图形．【变式10-2】如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．（1）出发多少秒后，PB＝2AM（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．（3）当P在AB延长线上运动，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MN+PN的值不变．选出一个正确的结论，并求其值．【分析】（1）分两种情况讨论，①点P在点B左边，②点P在点B右边，分别求出t的值即可．（2）AM＝x，BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x，表示出2BM﹣BP后，化简即可得出结论．（3）PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PN＝PB＝x﹣12，分别表示出MN，MN+PN的长度，即可作出判断．【答案】解：（1）如图1，设出发x秒后PB＝2AM，当点P在点B左边时，PA＝2x，PB＝24﹣2x，AM＝x，由题意得，24﹣2x＝2x，解得：x＝6；当点P在点B右边时，P′A＝2x，P′B＝2x﹣24，AM＝x，由题意得：2x﹣24＝2x，方程无解；综上可得：出发6秒后PB＝2AM．（2）∵AM＝x，BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x，∴2BM﹣BP＝2（24﹣x）﹣（24﹣2x）＝24；（3）选①；如图2，∵PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PN＝PB＝x﹣12，∴①MN＝PM﹣PN＝x﹣（x﹣12）＝12（定值）；②MN+PN＝12+x﹣12＝x（变化）．【点睛】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度，有一定难度．【变式10-3】如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA：OB＝2．（1）A、B对应的数分别为、；（2）点A、B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距1个单位长度？（3）点A、B以（2）中的速度同时向右运动，点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得4AP+3OB﹣mOP为定值，若存在请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意求出OA、OB的长，根据数轴的性质解答；（2）分点A在点B的左侧、点A在点B的右侧两种情况，列方程解答；（3）根据题意列出关系式，根据定值的确定方法求出m即可．【答案】解：（1）设OA＝2x，则OB＝x，由题意得，2x+x＝15，解得，x＝5，则OA＝10、OB＝5，∴A、B对应的数分别为﹣10、5，故答案为：﹣10；5；（2）设x秒后A、B相距1个单位长度，当点A在点B的左侧时，4x+3x＝15﹣1，解得，x＝2，当点A在点B的右侧时，4x+3x＝15+1，解得，x＝，答：2或秒后A、B相距1个单位长度；（3）设t秒后4AP+3OB﹣mOP为定值，由题意得，4AP+3OB﹣mOP＝4×[7t﹣（4t﹣10）]+3（5+3t）﹣7mt＝（21﹣7m）t+55，∴当m＝3时，4AP+3OB﹣mOP为定值55．【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用、数轴的应用，根据题意正确列出一元一次方程、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．七上专题8七年级数学上册期末考试重难点题型【举一反三】【考点1利用数轴判断符号】【方法点拨】解决此类问题需由数轴得知字母所表示的数的正负性，再根据有理数加、减、乘、除、乘方、绝对值的意义以及数轴上右边点的数总比左边的数大判断即可.【例1】有理数a，b在数轴上的表示如图所示，则下列结论中：①ab＜0，②﹣a＞﹣b，③a+b＜0，④a﹣b＜0，⑤a＜|b|，正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据数轴知b＜0＜a，且|a|＜|b|，再利用有理数的乘法、加法、减法及绝对值性质等知识点逐一判断可得．【解答】解：由数轴知b＜0＜a，且|a|＜|b|，则①ab＜0，此结论正确；②﹣a＜﹣b，此结论错误；③a+b＜0，此结论正确；④a﹣b＞0，此结论错误；⑤a＜|b|，此结论正确；故选：B．【点评】本题考查的是数轴和绝对值，熟知数轴上右边的数总比左边的大及有理数的混合运算法则是解答此题的关键．【变式1-1】如图，数轴上A，B两点对应的数分别是a和b，对于以下四个式子：①2a﹣b；②a+b；③|b|﹣|a|：④，其中值为负数的是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【分析】根据图示，可得b＜﹣3，0＜a＜3，据此逐项判断即可．【解答】解：根据图示，可得b＜﹣3，0＜a＜3，①2a﹣b＞0；②a+b＜0；③|b|﹣|a|＞0；④＜0．故其中值为负数的是②④．故选：D．【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及数轴的特征和应用，要熟变式掌握，解答此题的关键是判断出a、b的取值范围．【变式1-2】如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，则下列结论：①ab＜0；②a+b＞0；③a﹣b＞1；④a2﹣b2＜0，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据数轴的性质，可以得到两个点表示数的大小关系和符号，根据有理数计算法则可得出结论【解答】解：∵b＜﹣1＜0，0＜a＜1∴①ab＜0，正确②a+b＞0，错误③a﹣b＞1，正确④a2﹣b2＜0，正确故选：C．【点评】该题考查了数轴及有理数计算，属于常考题，难度不大【变式1-3】有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置，如图所示：①abc＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；④|a|＜1﹣bc，以上四个结论正确的有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】先根据数轴上a、b、c的位置判断它们的正负、大小，利用乘法的符号法则、有理数的减法法则、绝对值的化简等知识点逐个判断得结论．【解答】解：由数轴知：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1．∵a＜0．b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确；∵a＜b，b＜c，a＜c，∴|a﹣b|+|b﹣c|＝b﹣a+c﹣b＝c﹣a，|a﹣c|＝c﹣a，∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|，故②正确；∵a＜b，b＜c，a＜c，∴a﹣b＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0∴（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故③正确；∵a＜﹣1，∴|a|＞1，∵0＜b＜c＜1，∴0＜bc＜1，∴1﹣bc＜1，∴|a|＞1﹣bc，故④不正确．故选：B．【点评】本题考查了数轴上点的特点，有理数乘法的符号法则，有理数的大小比较，绝对值的化简等知识点，掌握减法、乘法的符号法则是解决本题的关键．【考点2有理数混合运算】【方法点拨】解决此类问题需熟变式掌握有理数混合运算的先后顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里，值得注意有些题可能会运用运算律进行简便运算.【例2】计算：（1）（2）【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可求出值；（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝﹣6+27﹣15＝6；（2）原式＝9××（﹣）+4+4×（﹣）＝﹣﹣+4＝﹣．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟变式掌握运算法则是解本题的关键．【变式2-1】计算：（1）（2）【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算；（2）先算乘方，再算除法，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号和绝对值，要先做括号和绝对值内的运算．【解答】解：（1）﹣15﹣[﹣1﹣（4﹣22×5）]＝﹣15﹣[﹣1﹣（4﹣4×5）]＝﹣15﹣[﹣1﹣（4﹣20）]＝﹣15﹣（﹣1+16）＝﹣15﹣15＝﹣30；（2）﹣12019﹣（1﹣）÷|3﹣（﹣3）2|＝﹣1﹣÷|3﹣9|＝﹣1﹣÷6＝﹣1﹣＝﹣1．【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【变式2-2】计算：（1）．（2）．【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值；（2）原式利用乘方的意义，以及乘法分配律计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝﹣8﹣81﹣27＝﹣113；（2）原式＝﹣1+8﹣2+4＝9．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟变式掌握运算法则是解本题的关键．【变式2-3】有理数的计算：（1）（2）【分析】（1）去括号，再利用加法交换律和结合律计算可得；（2）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：（1）原式＝﹣1+2+1+3﹣1＝﹣1+6＝5；（2）原式＝﹣2﹣1××（12﹣+）＝﹣2﹣×12＝﹣2﹣9＝﹣11．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算律．【考点3有关数轴的探究题】【方法点拨】解决此类问题数形结合思想是关键.【例3】如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆，有一个公共点与数轴上的原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位，（1）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动的时间记为正数，向左滚动时间即为负数，依次滚动的情况录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6①第次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离最远；②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）（2）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．【分析】（1）①算出每次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离，然后比较大小即可；②总路程与方向无关把每次的移动的距离相加即可；（2）分同向和反相两种情况讨论，同向路程之差为9π，反向路程之和为9π，然后求出相应时间，再根据不同方向确定两圆与数轴重合的点所表示的数【解答】解：（1）①：第1次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π|＝2π第2次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π|＝2π第3次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π|＝6π第4次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π|＝10π第5次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π|＝4π第6次滚动后，大圆与数轴的公共点到原点的距离：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π所以第四次滚动后大圆与数轴的公共点到原点的距离最远．故答案为4；②总路程为：|﹣1×2π|+|+2×2π|+|﹣4×2π|+|﹣2×2π|+|+3×2π|+|+6×2π|＝36π此时两圆与数轴重合的点之间的距离为：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π（2）当它们同向运动时秒，小圆与数轴重合的点所表示的数为9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为18π，或小圆与数轴重合的点所表示的数为﹣9π，大圆与数轴重合的点所表示的数为﹣18π，当它们反向运动时秒，小圆与数轴重合的点所表示的数为﹣3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为6π，或小圆与数轴重合的点所表示的数为3π，大圆与数轴重合的点所表示的数为﹣6π，【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．【变式3-1】如图，数轴上A，B两点对应的数分别﹣4，8．有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，…按照如此规律不断地左右运动（1）当运动到第2018次时，求点P所对应的有理数．（2）点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出此时点P的位置，若不可能请说明理由．【分析】（1）根据题意可以发现点P运动后对应的点的规律，从而可以解答本题；（2）根据题意分两种情况：①当P点在A点的左边时；②当P点在AB之间时；可以求得点P对应的有理数．【解答】解：（1）﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣…﹣2017+2018＝﹣4+1009＝1005．故点P所对应的有理数是1005．（2）①当P点在A点的左边时，∵PB＝3PA，∴AB＝2PA，∴PA＝6，∴P点对应的数为﹣10，﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8﹣9+10﹣11＝﹣10，∴可以；②当P点在AB之间时，∵PB＝3PA，∴AB＝4PA，∴PA＝3，∴P点对应的数为﹣1，﹣4﹣1+2﹣3+4﹣5+6＝﹣1，∴可以．∴点P对应的数为﹣10或﹣1．【点评】本题考查数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用分类思想、数形结合的思想解答．【变式3-2】已知在纸面上有一数轴（如图1），折叠纸面．（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣4表示的点与表示的点重合；（2）若﹣2表示的点与8表示的点重合，回答以下问题：①16表示的点与表示的点重合；②如图2，若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是、．（3）如图3，若m和n表示的点C和点D经折叠后重合，（m＞n＞0），现数轴上P、Q两点之间的距离为a（P在Q的左侧），且P、Q两点经折叠后重合，求P、Q两点表示的数分别是多少？（用含m，n，a的代数式表示）【分析】（1）由表示1与﹣1的两点重合，利用对称性即可得到结果；（2）由﹣2表示的点与8表示的点重合，确定出3为对称点，得出两项的结果即可；（3）根据（2）的计算方法进行解答．【解答】解：（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则原点为对称点，所以﹣4表示的点与4表示的点重合；（2）由题意得：（﹣2+8）÷2＝3，即3为对称点，①根据题意得：2×3﹣16＝﹣10；②∵3为对称点，A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，∴A表示的数＝﹣+3＝﹣1006，B点表示的数＝+3＝1012；（3）点P表示的数为：；点Q表示的数为：．故答案为：（1）4；（2）①﹣10；②﹣1006，1012．【点评】本题考查了数轴的运用．关键是利用数轴，数形结合求出答案，注意不要漏解．【变式3-3】下面材料：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|当A、B两点都不在原点时，（1）如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|（2）如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|（3）如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|综上，数轴上A、B两点的距离|AB|＝|a﹣b|回答下列问题：（1）数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A、B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x为；（3）当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．【分析】本题应从绝对值在数轴上的定义（绝对值定义是坐标轴上的点到原点的距离）下手，分别解出答案．【解答】解：（1）﹣2﹣（﹣5）＝﹣2+5＝3；所以﹣2与﹣5两点之间的距离是3；（2）因为|x+1|＝2，所以x＝1或﹣3；（3）根据绝对值的定义，|x+1|+|x﹣2|可表示为x到﹣1与2两点距离的和，根据绝对值的几何意义知，当x在﹣1与2之间时，|x+1|+|x﹣2|有最小值3．故答案为：（1）3（2）1或﹣3（3）﹣1≤x≤2【点评】本题考查了绝对值的集合意义．读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键．【考点4整式加减化简求值】【方法点拨】整式加减化简求值的一般步骤：①去括号、合并同类项.；②代入求值.【例4】先化简，再求值：，其中，．【思路点拨】先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值即可．【答案】解：原式＝5a2b﹣（3a2b﹣4ab+2a2b﹣4a2）﹣3ab＝5a2b﹣（5a2b﹣4ab﹣4a2）﹣3ab＝5a2b﹣5a2b+4ab+4a2﹣3ab＝ab+4a2，当a＝﹣3，b＝﹣2时，原式＝﹣3×（﹣2）+4×（﹣3）2＝42．【方法总结】本题主要考查了化简求值问题，给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．【变式4-1】先化简，再求值：已知，求的值．【思路点拨】原式先去括号，再合并同类项化简，继而由x2﹣2y﹣5＝0知x2﹣2y＝5，代入原式＝2（x2﹣2y）计算可得．【答案】解：原式＝3x2﹣6xy﹣x2+6xy﹣4y＝2x2﹣4y，∵x2﹣2y﹣5＝0，∴x2﹣2y＝5，则原式＝2（x2﹣2y）＝2×5＝10．【方法总结】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．【变式4-2】已知，，先求，并求当，时，的值．【思路点拨】此题需要先去括号，再合并同类项，将原整式化简，然后再将a，b的值代入求解即可．【答案】解：﹣B+2A＝﹣（2ab﹣3b2+4a2）+2（3a2+b2﹣5ab）＝﹣2ab+3b2﹣4a2+6a2+2b2﹣10ab＝2a2+5b2﹣12ab，当a＝﹣，b＝2时，原式＝2×（﹣）2+5×22﹣12×（﹣）×2＝2×+5×4+12＝+20+12＝32．【方法总结】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式4-3】化简求值：已知整式与整式的差不含和项，试求的值．【思路点拨】根据两整式的差不含x和x2项，可得差式中x与x2的系数为0，列式求出a、b的值，然后将代数式化简再代值计算．【答案】解：2x2+ax﹣y+6﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）＝2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y+1＝（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+7，∵两个整式的差不含x和x2项，∴2﹣2b＝0，a+3＝0，解得a＝﹣3，b＝1，4（a2+2b3﹣a2b）+3a2﹣2（4b3+2a2b）＝4a2+8b3﹣4a2b+3a2﹣8b3﹣4a2b＝7a2﹣8a2b，当a＝﹣3，b＝1时，原式＝7a2﹣8a2b＝7×（﹣3）2﹣8×（﹣3）2×1＝7×9﹣8×9×1＝63﹣72＝﹣9．【方法总结】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【考点5代数式求值—整体代入法】【方法点拨】整体代入的思想是把联系紧密的几个量作为一个整体来看的数学思想，运用这种方法，有时可使复杂问题简单化.【例5】化简与求值：（1）若，则代数式的值为；（2）若，则代数式的值为；（3）若，请仿照以上求代数式值的方法求出的值．【思路点拨】（1）把m＝﹣5代入求出即可；（2）把2m+2n+1变成2（m+n）+1，把m+n的值代入求出即可；（3）把代数式化简得出10m﹣6n+2，推出2（5m﹣3n）+2，把5m﹣3n＝﹣5代入求出即可．【答案】（1）解：当m＝﹣5时，m2+1＝×（﹣5）2+1＝5+1＝6，故答案为：6．（2）解：∵m+n＝﹣5，∴2m+2n+1＝2（m+n）+1＝2×（﹣5）+1＝﹣9．故答案为：﹣9．（3）解：∵5m﹣3n＝﹣5，∴2（m﹣n）+4（2m﹣n）+2＝2m﹣2n+8m﹣4n+2＝10m﹣6n+2＝2（5m﹣3n）+2，当5m﹣3n＝﹣5时，原式＝2×（﹣5）+2＝﹣8．【方法总结】本题考查了求代数式的值，用了整体代入思想，题目都比较好，难度适中．【变式5-1】已知：，求的值．【思路点拨】把2x﹣y＝5整体代入代数式求得答案即可．【答案】解：原式＝﹣2（2x﹣y）2﹣3（2x﹣y），又∵2x﹣y＝5，∴原式＝﹣2×52﹣3×5，＝﹣65．【方法总结】此题考查代数式求值，利用整体代入是解答此题的关键．【变式5-2】已知当，时，，求当，时，式子的值．【思路点拨】将x＝2，y＝﹣4代入代数式使其值为2018求出4a﹣b的值，将x＝﹣4，y＝﹣代入所求式子，整理后将4a﹣b的值代入计算即可求出值．【答案】解：当x＝2，y＝﹣4时，得a×23+b×（﹣4）+8＝2018，8a﹣2b+8＝2018．8a﹣2b＝2010．4a﹣b＝1005，当x＝﹣4，y＝﹣时，原式＝3a×（﹣4）﹣24b×（﹣）3+6＝﹣12a+3b+6＝﹣3（4a﹣b）+6＝﹣3×1005+6＝﹣3009．【方法总结】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式5-3】先阅读下面例题的解答过程，再解答后面的问题．例：已知代数式的值为2，求的值．解：由得，所以．问题：（1）已知代数式的值为6，求的值；（2）已知代数式的值为，求的值．【思路点拨】（1）变形已知直接整体代入计算求值；（2）由已知得方程，把已知变形后代入计算即可求出值．【答案】解：（1）由2a2+3b＝6得a2+b＝3，所以a2+b﹣5＝3﹣5＝﹣2；（2）由14x+5﹣21x2＝﹣2得﹣7（3x2﹣2x）＝﹣7，即3x2﹣2x＝1，所以6x2﹣4x+5＝2（3x2﹣2x）+5＝2+5＝7．【方法总结】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【考点6列代数式】【例6】如图所示（1）用代数式表示长方形中阴影部分的面积；（2）当，时，求其阴影部分的面积．（其中取【思路点拨】（1）用长方形的面积减去2个半径为b的圆的面积，据此可得；（2）将a，b的值代入计算可得．【答案】解：（1）阴影部分的面积为ab﹣2××πb2＝ab﹣πb2；（2）当a＝10，b＝4时，ab﹣πb2＝10×4﹣×3.14×16≈14.88．【方法总结】此题主要考查了如何列代数式，以及代数式值的求法，对于阴影面积不规则时，可以借助规则图形的差求出阴影部分的面积．【变式6-1】如图（图中单位长度：求：（1）阴影部分面积（用含的代数式表示）；（2）当求阴影部分的面积取3.14，结果精确到．【思路点拨】（1）根据“阴影部分面积＝两个矩形的面积和﹣半圆的面积”列式、化简即可得；（2）将x的值代入计算可得．【答案】解：（1）阴影部分面积＝×（x+）+×（x+﹣）﹣×π×[×（+）]2＝x+﹣π；（2）当x＝时，阴影部分的面积为+﹣π≈1﹣×3.14≈0.61（cm2）．【方法总结】本题考查列代数式求值，涉及长方形的面积公式，圆的面积公式，代数式求值等问题．【变式6-2】福建省教育厅日前发布文件，从2019年开始，体育成绩将按一定的原始分计入中考总分．某校为适应新的中考要求，决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．现有、两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．网店：买一个足球送一条跳绳；网店：足球和跳绳都按定价的付款．已知要购买足球40个，跳绳条（1）若在网店购买，需付款元（用含的代数式表示）．若在网店购