2024届河北滦平县数学九年级上册期末检测模拟试题含解析

2024届河北滦平县数学九上期末检测模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.下列事件中，随机事件是（）

A.任意画一个三角形，其内角和为180°B.经过有交通信号的路口，遇到红灯

C.在只装了红球的袋子中摸到白球D.太阳从东方升起

2.二次函数丁=0^+历:+，中》与〉的部分对应值如下表所示，则下列结论错误的是（）

X-1013

y-1353

A.a+c<3B.当χ>1.5时，丁的值随X值的增大而减小

C.当y<3时，%<0D.3是方程4?+（力一I）%+。=。的一个根

3.已知a、b、CNd是比例线段.a=2>b=3>d=l.那么C等于（）

A.9B.4C.1D.12

4.若二次根式万行在实数范围内有意义，则X的取值范围是

A.x‹LB.XdLC.x≤2D.x≥2

22

5.一个不透明的盒子里只装有白色和红色两种颜色的球，这些球除颜色外没有其他不同。若从盒子里随机摸取一个球,

有三种可能性相等的结果，设摸到的红球的概率为P,则P的值为（）

11Iil1-2

A.-B.—C.一或一D.一或一

323233

6.已知直角三角形中30。角所对的直角边为2cm,则斜边的长为（）

A.2cmB.AcmC.6cmD.8cm

7.方程x2-2χ-4=0的根的情况（)

A.只有一个实数根B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根D.没有实数根

8.已知丁=2/"，是关于X的反比例函数，贝∣J（）

A.m=-B.m=--C.m≠0D.为一切实数

22

9.二次函数y=加+fex+c(α≠O通图象如图所示，下列结论：①。儿>0；(g)⅛2-4<ac<0；③4α+c>2);

④(α+c)2>∕Λ⑤X(OX+8)Wa-b,其中正确结论的是()

A.①③④B.②③④C.①®⑤D.③④@

10.二次函数y=aχ2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么下列说法正确的是()

A.a>0,b>0,c>OB.a<0,b>0,c>OC.a<0,b>0,c<OD.a<0,b<0,c>0

11.如图，在正方形ABeD中，AADE绕点A顺时针旋转90°后与ΔABE重合，CF=6,CE=4,则Ae的长度

A.4B.4√2C.5D.5√2

12.如图，在ABC中，点。在边AB上，且Ao=50〃，DB=3cm,过点。作小〃3C,交边AC于点E,将

沿着。E折叠，得MDE,与边BC分别交于点EG.若A6C的面积为320√,则四边形。EGF的面积

是()

10.5c*m2C.12cm2D.12.5cm2

二、填空题（每题4分，共24分）

13.已知点在直线y=-x+2上，也在双曲线y=—,上，则n?+!?的值为.

X

14.如图，将。O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O,点P是优弧AMB上一点，则NAPB的度数为

15.若二次函数的图象与X轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线.如图,

自左至右的一组二次函数的图象八，T2,Ti……是标准抛物线，且顶点都在直线产也X上，Tl与X轴交于点4（2,

3

0）,4（4在Al右侧），乃与X轴交于点4,A3,人与X轴交于点A3,A4,.........则抛物线7“的函数表达式为

16.如图，设点P在函数y=9的图象上，PC_LX轴于点C,交函数y=2的图象于点A,PD_Ly轴于点D,交函数

XX

2

y=一的图象于点B,则四边形PAOB的面积为.

X

17.已知：二次函数y=aχ2+bx+c图象上部分点的横坐标X与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与X轴的另

一个交点坐标是

X•••-1O12•••

y・・・O343♦・・

18.比较大小：√io1.(填，”、“=”或“V”)

三、解答题(共78分)

19.(8分)(1)计算：sin230°+cos245o

(2)解方程：X(x+l)=3

20.(8分)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线＞=-1*2+_1%+3与1：轴交于/1、B两点(点A在点B的右侧)，与

84

y轴交于点C,过点C作X轴的平行线交抛物线于点P∙连接AC.

(1)求点P的坐标及直线AC的解析式；

(2)如图2,过点尸作X轴的垂线，垂足为E,将线段OE绕点。逆时针旋转得到。尸，旋转角为α(0。VaV90。)，

2

连接£4、FC.求AF+—C尸的最小值；

3

(3)如图3,点M为线段04上一点，以OM为边在第一象限内作正方形OMNG,当正方形OMNG的顶点N恰好落

在线段AC上时，将正方形。MNG沿X轴向右平移，记平移中的正方形OMNG为正方形O，MNG,当点M与点A重

合时停止平移.设平移的距离为f,正方形0,MNG的边MN与AC交于点R,连接。7、ORPR,是否存在f的值,

使△。尸K为直角三角形？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.

21.(8分)已知。为AABC的外接圆，点E是AABC的内心，AE的延长线交BC于点F,交。0于点O.

(1)如图1,求证：BD=ED.

3

(2)如图2,AD为1。的直径.若BC=I2,s比∕B4C=g,求OE的长.

AA

3

22.（10分）如图，在AABC中，CD±AB,垂足为点D.若AB=12,CD=6,tank=-,求s）B+co5B的值.

2

23.（10分）如图，已知二次函数、=一/+2/加+3加2（机＞0）的图象与“轴交于4,6两点（点4在点8的左侧）,

与）’轴交于点C,顶点为点。.

（1）点3的坐标为,点。的坐标为;（用含有加的代数式表示）

（2）连接CD,BC.

①若CB平分NOCD,求二次函数的表达式；

②连接AC,若CB平分NACD,求二次函数的表达式.

24.（10分）如图，矩形（MBC中，A（6,0）、C（0,2√3）＞D＜0,W射线/过点。且与X轴平行，点尸、。

分别是/和X轴正半轴上动点，满足NPQO=6（T.

（1）①点8的坐标是；

②当点。与点A重合时，点尸的坐标为;

（2）设点P的横坐标为X,AOPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S,试求S与X的函数关系式及相应的自变量X

的取值范围.

25.（12分）现有三张分别标有数字-1,0,3的卡片，它们除数字外完全相同，将卡片背面朝上后洗匀.

（1）从中任意抽取一张卡片，抽到标有数字3的卡片的概率为；

（2）从中任意抽取两张卡片，求两张卡片上的数字之和为负数的概率.

26.某果园有果树8（）棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照

就会减少，单棵树的产量随之降低，若该果园每棵果树产果》（千克），增种果树X（棵），它们之间的函数关系如图

（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、B

【分析】由题意根据随机事件就是可能发生也可能不发生的事件这一定义，依次对选项进行判断.

【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和为180°,是必然事件，不符合题意；

B、经过有交通信号的路口遇到红灯，是随机事件，符合题意；

C、在只装了红球的袋子中摸到白球，是不可能事件，不符合题意；

D、太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；

故选：B.

【点睛】

本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能

事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事

件是解题的关键.

2、C

【分析】根据表格中的数值计算出函数表达式，从而可判断A选项，利用对称轴公式可计算出对称轴，从而判断其增

减性，再根据函数图象及表格中y=3时对应的X,可判断C选项，把对应参数值代入即可判断D选项.

a-b+c--l[a--∖

【详解】把(一1,—1),(0,3),(1,5)代入y=0√+bx+c得<c=3,解得<b=3,

a+b+c-5c=3

∙*∙y———x~+3x+3,

A.α+c=-1+3=2<3>故本选项正确；

33

B.该函数对称轴为直线X=-四二D=],且α=-l<0,函数图象开口向下，所以当x>L5时，y随X的增大而减

小，故本选项正确；

C.由表格可知，当X=。或x=3时，产3,且函数图象开口向下，所以当产3时，x<0或x>3,故本选项错误；

D.方程为-炉+2犬+3=0,把x=3代入得-9+6+3=0,所以本选项正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数表达式求法，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等知识，”待定系数法”是求函数表

达式的常用方法，需熟练掌握.

3、B

【分析】根据比例线段的定义得到α:b=c；d,即2：3=c：1,然后利用比例性质求解即可.

【详解】Y"'b、c、d是比例线段，

.".a：b=c：d,即2：3=c：1,

.*.3c=12>解得：c=2.

故选：B.

【点睛】

本题考查了比例线段：对于四条线段。、b、c、d,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等,

如a：b=c：d(即“d=儿)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.

4、A

【分析】根据二次根式被开方数为非负数即可求解.

【详解】依题意得2-4x≥0

解得x≤'

2

故选A.

【点睛】

此题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数.

5、D

【分析】分情况讨论后，直接利用概率公式进行计算即可.

2

【详解】解：当白球1个，红球2个时：摸到的红球的概率为：P=-

当白球2个，红球1个时：摸到的红球的概率为：P=I

3

12

故摸到的红球的概率为：彳或一

33

故选：D

【点睛】

本题考查了概率公式，掌握概率公式及分类讨论是解题的关键.

6、B

【详解】由题意可知，在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半，所以斜边=2x2=4cm∙

考点：含3()。的直角三角形的性质.

7,B

【详解】∖=b2-4ac=(-2)2-4×l×(-4)=20>0,所以方程有两个不相等的实数根.

故选B.

【点睛】

一元二次方程根的情况：

(I)b2-4ac>0,方程有两个不相等的实数根；

(2)护一4°c=0,方程有两个相等的实数根；

(3)⅛2-4ac<0,方程没有实数根.

注：若方程有实数根，那么从一4〃企0.

8^B

【分析】根据题意得，2m=T,即可解得m的值.

【详解】∙.∙y=2∕，〃是关于犬的反比例函数

:∙2m=-1

解得根=一?

2

故答案为：B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质以及定义，掌握反比例函数的指数等于-1是解题的关键.

9、C

【分析】利用图象信息以及二次函数的性质一一判断即可；

【详解】解：Y抛物线开口向下，

Λα<0,

对称轴X=-1=—一,

2a

Λft<0,

Y抛物线交y轴于正半轴，

Λc>O,

.∖abc>09故①正确，

Y抛物线与工轴有两个交点，

/.⅛2-4ac∙>0,故②错误，

Vx=-2时，j>0,

Λ4π-2*+c>0,

.∖4a+c>2bf故③正确，

*∙χ=T时，j>0,X=I时，j<0,

:∙a-⅛+c>0,a+⅛+c<0,

∙'∙(α-b+c)(a+b+c)<O

.∖(a+c)2-b2<0,

.∖(a+c)2<b2,故④错误，

Vx=-1时，y取得最大值a-b+c,

.*.ax2+bx+c<a-b+c,

X(αx+⅛)<a-b,故⑤正确.

故选C.

【点睛】

本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考

常考题型.

10、B

【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定6的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定

C的符号.

【详解】V抛物线开口向下，

Λa<0,

∙.∙抛物线的对称轴在y轴的右侧，

：.b>0,

Y抛物线与y轴的交点在X轴上方，

Λc>0,

故选B.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=af+如c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和

大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数6和二次项系数a共同决定对称轴的

位置：当a与b同号时(即ab>O),对称轴在y轴左；当a与6异号时ORaAVO),对称轴在y轴右；常数项C决

定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(O,c)；抛物线与X轴交点个数由△决定：a=g-4ac>0时，抛物线

与X轴有2个交点；4=4-4ac=0时，抛物线与X轴有1个交点；A=Z∕-4acV0时，抛物线与X轴没有交点.

11,D

【分析】先根据旋转性质及正方形的性质构造方程求正方形的边长，再利用勾股定理求值即可.

【详解】ΔAZ)E绕点A顺时针旋转90°后与ΔA3厂重合

.ADE合ABF

■■DE=BF

四边形ABCD为正方形

CD=BC=AD

CD-DE=A

CD+DE=6

CD=5

DE=I

在HLAZ)C中，AC=√AT>2+CD2ɪ√52+52=5√2

故选D.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质、旋转的性质、正方形的性质、勾股定理，找到直角三角形运用勾股定理求值是解题的

关键.

12、B

【分析】由平行线的性质可得丝=丝=3,9=（四],可设AH=5a,HP=3a,求出SAADE=g,由平行线

DBHP3Sabc[AB）2

S（PM¥4

的性质可得一3比二----=,可得SΔFGM=2,再利用S四边形DEGF=S∆DEM-SAFGM,即可得到答案.

SDEM\HMJ25

【详解】解：如图，连接AM,交DE于点H,交BC于点P,

VDE/7BC,

φADAH_5AD_5

ΛΛ~DB~~HP~39AB^8

.∑≡="Y="

,"

5ΛBCUeJ64

•：ABC的面积为32c〃/

2525

..S∆ΛDE=—×32=—

642

设AH=5a,HP=3a

••二AD石沿着OE折叠

25

・・AH=HM=5a,SAADE=SADEM=一

2

/.PM=2a,

VDE#BC

.SFGMJPMJ4

∙∙SDEMVHM)25

•∙SAFGM=2

.、25,

•∙S四边形DEGF=S∆DEM-SAFGM=---2=ɪ0.5fW

2

故选：B.

【点睛】

本题考查了折叠变换，平行线的性质，相似三角形的性质，熟练运用平行线的性质是本题的关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、1

【解析】分析：直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，再利

用完全平方公式将原式变形得出答案.

详解：V点P(m,n)在直线y=-x+2上，

n+m=2,

∙;点P(m,n)在双曲线y=.1上，

X

Λmn=-1,

.∖m2+n2=(n+m)2-2mn=4+2=l.

故答案为L

点睛：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m,n之间的关系是

解题关键.

14、60°

【解析】分析：作半径。CLAB于O,连结。4、OB,如图，根据折叠的性质得OO=CZ),则OD=LQ4,根据含30

2

度的直角三角形三边的关系得到NOAz)=30。，接着根据三角形内角和定理可计算出NAO8=120。，然后根据圆周角定

理计算NAPB的度数.

详解：如图作半径OCj于。，连结04、OB.

C

将。。沿弦A3折叠，圆弧恰好经过圆心0,

：.OD=CD,.,.OD=-OC=-OA,：.Z6>AD=30o.

22

VOA=OB,二N4BO=30°,：.ZAOB=IlOo,

1

：.ZAPB=-NAo8=60°.

2

故答案为60。.

点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一

半.也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质，求得NoAo=30。是解题的关键.

15、y=-真(X-3x2*+2"-/

【分析】设抛物线Ti,T2,八…的顶点依次为W,B2,B3...,连接A∣Bι,A2B1,A2B2,A3B2,A3B3,A4B3...,过抛物

线各顶点作X轴的垂线，由AAlIA2是等边三角形，结合顶点都在直线尸乎X上，可以求出生(3,6),A2(4,0),

进而得到Tl的表达式：y=-√3(x-3)2+√3,同理，依次类推即可得到结果.

【详解】解：设抛物线Ti,T2,八…的顶点依次为加，B2,Bi...,连接A2Bi,A2B2,AiB2,AiB3,A4B3...,过

抛物线各顶点作X轴的垂线，如图所示：

*∙-Z∖Aι3υ<2是等边三角形，

O

：•ZBIAIA2=60,

∙.∙顶点都在直线尸坐X上，设B∣(m,与m)，

J.OCl=m,BG=与乳,

ΛZBιOCι=30o,

：•ZOBιAι=30o,

:∙OA[=AiBι=2=A2Bι9

ΛA1Cι=A1B1∙cos6O0=l,

BICT=44,sin60o=∖∣3,

：•OCι=OAι+AιCι=3,

.∙.βl(3,√3),A2(4,0),

设Tl的解析式为：γ=Λ(x-3)2+√3,

则0=0(2-3)2+√L

∙,∙a——>/3，

2

.,.TliJ=-√3(Λ-3)+√3,

同理，心的解析式为：y=--^(x-6)2+2√3,

八的解析式为：ʃ=--(x-12)2+4√3»

贝UA的解析式为：y=—当(x—3X2"T)2+2"T√J,

故答案为：y=-J^(x-3×2n-')2+2',-'y∣3.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，直角三角形中锐角三角函数值的应用，直线表达式的应用，图形规律中类比归纳思想

的应用，顶点式设二次函数解析式并求解，掌握二次函数解析式的求解是解题的关键.

16、4

【解析】S四边形PAOo=S矩形OCPo—SAOBD-SQCA

=6—×2—×2

22

=4

【点睛】

本题考察了反比例函数的几何意义及割补法求图形的面积.通过观察可知，所求四边形的面积等于矩形

OCPD的面积减去△050和4OCA的面积，而矩形OCPD的面积可通过丫=勺的比例系数求得；ΔOBD

X

2

和^OCA的面积可通过y=-的比例系数求得，从而用矩形OCP。的面积减去△。8。和4OCA的面积

X

即可求得答案.

17、（3,0）.

【解析】分析：根据（0,3）、（2,3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可.

详解：抛物线y=aχ2+bx+c经过（0,3）、（2,3）两点，

,0+2

对称轴X=------=1；

2

点（-1,0）关于对称轴对称点为（3,0）,

因此它的图象与X轴的另一个交点坐标是（3,0）.

故答案为（3,0）.

点睛：本题考查了抛物线与X轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性.

18、>.

【解析】先求出I=囱，再比较即可.

【详解】Vl2=9<10,

ʌ√io>ι,

故答案为›.

【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法.

三、解答题(共78分)

IC∕ι∖3r、—1+ʌ/ɪ3—1—yj∖3

19、(1)—；(2)Xi=-------------,Xi=--------------,

422

1/ɔɪ/?3

【分析】(1)sin30°=—,cos45°=-----,sin230o+cos245°=(—)2+(——)2=-

22224

(2)用公式法：化简得/+1-3=0,a=1,b=1,c=-3,b-4ac=13,ΛX=—ɪ~.

2

【详解】解：(1)原式=(L)2+(41)2=3；

224

(2)X(x+l)=3,

x2+x-3=0,

Va=l,b=l9c=-3,b-4ac=l-4×1×(-3)=13,

.-1±√B-1+√13

•∙X-----------------------------,

2x12

.-1+√13-1-√13

..Xl=-------------，X2=--------------.

22

【点睛】

本题的考点是三角函数的计算和解一元二次方程.方法是熟记特殊三角形的三角函数及几种常用的解一元二次方程的

方法.

1ɔ∕oc2()

20、(1)P(2,3),JAC=--x+3;(2)幺一；(3)存在，，的值为J万-3或一，理由见解析

237

【分析】(1)由抛物线y=-Jχ2+1χ+3可求出点C,P,A的坐标，再用待定系数法，可求出直线AC的解析式；

84

422

(2)在OC上取点"(0,连接"F,AH,求出AH的长度，证A"0尸S△尸oc,推出“F=-CF,由AF+-CF

333

=AF+HF>AH,即可求解；

(3)先求出正方形的边长，通过AARMS将相关线段用含，的代数式表示出来，再分三种情况进行讨论：当

NO'KP=90。时，当/尸。火=90。时，当/0，尸/?=90。时，分别构造相似三角形，即可求出f的值，其中第三种情况不

存在，舍去.

【详解】(1)在抛物线y=-gx2+}x+3中，

当X=O时，y=3,

：.C(0,3),

当y=3时，Xi=O,Xz=I,

：.P(2,3),

当y=0时，则-Lχ2+Lχ+3=0,

84

解得：Xi=-4,X2=6,

B(-4,0),A(6,0),

设直线AC的解析式为y=kx+3,

将A(6,0)代入，

得，k=--,

2

・力=-'χ+3,

2

・•・点尸坐标为尸(2,3),直线AC的解析式为y=-；x+3；

4

(2)在。。上取点H(0,-),连接HRAH

39

则OH=I,AH=yjOH2+OA2=J(∣)2+62=ɪɪɪ,

4

OF2

VOHɪ2,——=-,且NHOF=NFoC,

-OC3

~OF2

...△H0尸S△尸OC,

：.AF+~CF=AF+HF≥AH=

33

ΛAF+-CF的最小值为您I；

33

（3）；正方形OMNG的顶点N恰好落在线段AC上,

.,.GN=MN,

工设N（G,。），

将点N代入直线AC解析式，

得，a—--α+3,

2

；・q=2,

・•・正方形OMNG的边长是2,

Y平移的距离为，，

，平移后OM的长为什2,

ΛAΛf=6-（Z+2）=4-

•：RM〃OC,

：.∆ARM^AACO9

AMRM

AoCO

4-rRM

即ππ——=——，

63

1

；.RM=2--t,

2

如图3-1,当N。R尸=90。时，延长RN交CP的延长线于Q,

VZPRQ+ZO,RM=90°,NRo'M+NO'RM=90°,

.".ZPRQ=ZROIM,

又∙.∙NQ=NO'MR=90。，

Λ∆PρΛ^∆ΛΛ∕O',

•PQ_QR

∙∙RM_MO''

解得，4=-3-Jr7(舍去)，,2=Λ∕Γ7-3;

如图3-2,当/尸。/=90。时，

•：NPO'E+NRO'M=90°,NPo'E+NEPO'=90°,

：.NRCTM=NEPOl

又,：NPEo'=N0,MK=90。，

.∙.∆PEO,<^∆O'MR,

.PEEO'

"O'M~~MR,

3_t-2

即5=R，

2

如图3-3,当N。'PR=90。时，延长O，G交CP于K,延长MN交CP的延长线于点7,

VNKP(T+NTPR=90。,ZKO'P+ZKPO'=90°,

：.NK(TP=NTPR,

又'.'NO'KP=NT=90°,

：.AKo'PS4TPR,

.KPKO'

""τΓR~yp,

2-t_3

BP3-(2-∣∕)T'

整理，得产-—f+3=0,

2

,47

VΔλ=⅛2-4ac=------<0,

4

.∙.此方程无解，故不存在NOTR=90。的情况;

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象和相似三角形的综合，添加合适的辅助线，构造相似三角形，是解题的关键.

21、（1）证明见解析；（2）OE=10-2√10

【分析】（1）连接半径跖，根据内心的性质、圆的基本性质以及三角形外角的性质求得NZ）BE=N即可得证

结论；

（2）连接半径OB,由A。为。的直径、点E是AABC的内心以及等腰三角形的三线合一可得45LBC、

BF=FC=6,然后依次解RjBO/7、RrVBz）F'即可得出结论.

【详解】解：（1）证明：连接3E,如图：

VE是AAHC的内心

；.ZABE=NCBE,ZBAD=ZCAD

∙:ZDBC=ZCAD

:./DBC=/BAD

ΛZDBE=ZBAD+ZABE

VZBED=ZBAD+ZABE

∙∙∙ZDBE=ZDEB

BD=ED.

（2）连接。8,如图：

TAD是直径，AE平分N&4C

.∙.ADLBe且BF=FC=6

3

VZBAC=ZBOD,SinABACɪ-,BF=6

5

/ɔr~'Xɔ

在RtBOF中，sinNBoD-......=-----=—

OBOB5

.,.OB=↑0

•''OFOB2-BF2=8

；OD=OB=IO

：.DF=OD-OF=I

.∙.在RtVBDF中，BD=^BF2+DF2=√62+22=2√iθ

，由（1）可知，DE=BD=2√Iθ

--OE=OD-DE=}Q-24]Q.

故答案是：（1）证明见解析；（2）OE=IO—2J访

【点睛】

本题考查了三角形内心的性质、圆的一些基本性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质、垂径定理、锐角三角函

数以及勾股定理等知识点，难度不大，属于中档题型.

22、

5

CD3

【分析】试题分析：先在RtAACD中，由正切函数的定义得tanA=∙—-=求出AD=4,贝!]BD=AB-AD=I,再解

AD2

Rt∆BCD,由勾股定理得BC=RBD?+Ca=10,sinB=-=-,cosB=-=-,由此求出SinB+cosB=1.

BC5BC55

【详解】解：在Rt∆ACD中,YZADC=90o,

.CD63

•∙tanA=-----=------=-9

ADAD2

ΛAD=4,

ΛBD=AB-AD=12-4=1.

在RtABCD中，VZBDC=90o,BD=I,CD=6,

.∙.BC=√BD2+CD2=10.

.CD3BD4

..SinB=-------COSB=-------=—

BC5BC5

.347

..sinB+cosB=—I—=

555

故答案为(7

考点：解直角三角形；勾股定理.

23、(1)(3∕n,0),(∕n,4m2)；(2)①y=-χ?+∙x+l,®y=-x1++-

2"x

355

【解析】(1)令尸0,解关于X的方程，解方程即可求出X的值，进而可得点8的坐标；把抛物线的解析式转化为顶

点式，即可得出点。的坐标；

(2)①如图1,过点。作DH_LAB,交BC于点E,作。尸，y轴于点R则易得点C的坐标与C尸的长，利用8H

的长和NB的正切可求出HE的长，进而可得OE的长，由题意和平行线的性质易推得8=DE,然后可得关于机的

方程，解方程即可求出，〃的值，进而可得答案；

(3)如图2,过点5作5K〃)，轴，过点C作CK〃丫轴交5K于点K,交DH于点G,连接AE,利用锐角三角函数、

抛物线的对称性和等腰三角形的性质可推出Nl=N2=N3=N4,进而可得AC=A£,然后利用勾股定理可得关于

机的方程，解方程即可求出机，问题即得解决.

【详解】解：(1)令产0,贝D-Y+2TnX+3租2=0，

解得：x1=3m,x2=-m,

/.点B的坐标为(3m,0)∙

∙/y=-x2+2mx+3m2=—(x-m)"+4m2,

：•点D的坐标为(m,4w2);

2

故答案为：(3m,0),(m,4m)i

(2)①如图1,过点。作Ag于点"，交BC于氤E,作。尸，y轴于点八则C(0,3>),A(-m,0),DF=m,

CF=4m2-3∕n2=m2,

・・・5C平分NOC。，

：•ZBCO=ZBCD9

9

:DH//OC9

：,NBCo=NDEC,

：•NBCD=NDEC,

：•CD=DE9

VtanZABC=—=-=m,BH=Im,

OB3m

ʌHE=2m2,

ΛDE=DH-HE=4m2-2m2=2m2,

VCD=DE,

ACD2=DE2，

•24Λ4

∙∙m+m=4m，

解得：加=立(…是舍去),

33

.∙.二次函数的关系式为：y=—f+毡χ+i;

3

②如图2,过点8作3K〃y轴，过点C作CK〃x轴交8K于点K,交DH于点G,连接AE,

m2,CBK3小

∙.3=丝——=m.tanZ2=----=------=m,

CGmCK3m

：・tanZl=tanZ2,

・•・Nl=N2,

•；EA=EB,

：•N3=N4,

又•・•/2=/3,

:・NI=N2=N3=N4,

VZDCB=Z1+Z2,∠S4EC=Z3+Z4,

：•ADCB=ZAEC=ZACE,

:・AC=AE9

・•・AC2=AE1=EH2+AH2,

即病+9∕TI4=4m4+4m2,

解得：m=ɔʌɪ（〃？=一把5舍去），

55

.∙.二次函数的关系式为：y=—/+哀i5χ+2.

55

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线图象上点的坐标特征、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角

形的外角性质、勾股定理、锐角三角函数和一元二次方程的解法等知识，综合性强、难度较大，正确作出辅助线、利

用勾股定理构建方程、熟练掌握上述知识是解答的关键.

拽^+4百(0≤尤≤3)

√32,136√3

--------XH------------X-------(3<X≤5)

232v

24、(1)①(6,2√3).②(3,3而；(2)S=<

——Λ+12∙^3(5<X≤9)

【分析】（I）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；②由正切函数，即可求得NCAo

的度数，③由三角函数的性质，即可求