2024届海南省海口市高三上学期一模数学试卷及答案

机密★启用前海口市2024届高三摸底考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.､一选择题：本题共小题，每小题分，共8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A{2xB2„1，则ABx1.若集合（）A.{xC.{„xB.{2xD.{2„，则z（z1i）z2.已知复数满足A.1iB.1iC.1iD.1im,b2abbaa3.已知向量，若，则（）A.25B.210C.45D.404.一个近似圆台形状的水缸，若它的上､下底面圆的半径分别为和，深度为，则该水缸灌满水时的蓄水量为（）A.12253B.49003C.73503D.2205035.在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（）1949138A.B.C.D.12111636.已知函数的定义域为R,fxf2xfxf，则ffx为偶函数，32（）121312D.A.B.C.0it7.三相交流电是我们生活中比较常见的一种供电方式，其瞬时电流（单位：安培）与时间（单位：秒）满iIt（其中为供电的最大电流，单位：安培；Im足函数关系式：为角速度，单位：弧度/m01秒；为初始相位），该三相交流电的频率（单位：赫兹）与周期T（单位：秒）满足关系式f.某f0T实验室使用10赫兹的三相交流电，经仪器测得在t0.025秒与t0.5秒的瞬时电流之比为3，且在πt0.8秒时的瞬时电流恰好为1.5安培.若,0，则该实验室所使用的三相交流电的最大电流为02（）A.1安培B.3安培C.2安培D.3安培x22y228.已知椭圆C:ab0)的左右焦点分别为､F,F,P为CPF12，以C上一点，满足的短12ab轴为直径作圆O，截直线PF的弦长为b，则C的离心率为（）123553A.B.C.D.323､二多选题：本题共小题，每小题分，共4520分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据2,5,4,1的第45百分位数是4x,x,x,,x2x,2x,2x,,2xs的标准差为，则数据B.若数据的标准差为2s123n123n31C.随机变量X服从正态分布，若N1,2P(X0)P(0X2)，则42327D.随机变量X服从二项分布Bp，若方差VX，则PX2412810.已知首项为正数的等差数列的前项和为，若151115，则（）annS120naa0A.B.1314SSS111512C.当n时，Sn取最大值S0nn时，的最小值为27D.当C:(x4)y,B是C上的两个动点，且.设，，线段2223Ax,yBx,y11.已知1122AB的中点为M，则（）πA.ACB3(x4)2y12B.点M的轨迹方程为xxyy的最小值为612C.D.12xy1xy1的最大值为21122fxx1x1x12.设函数，则（）fxf1xA.B.函数有最大值fxln2xx1xfxxfx…ln221C.若D.若，则，且12121xx121，则f2fx1212､三填空题：本题共小题，每小题分，第4516题第一问分，第二问3分，共220分.13.在x2y(xy)6的展开式中xy的系数为__________.25yxayxa__________.14.已知直线是曲线的一条切线，则5cos2,tantan，写出符合条件的一个角415.已知的值为__________.6axy10过抛物线C:x2py(p0)的焦点，且与C,B两点.过,B两点分别作216.已知直线交于C的切线，设两条切线交于M点，线段AB的中点为N.若a1，则MN__________；ABM面积的最小值为__________.､四解答题：本题共小题，共670分解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤..､17.（10分）0.81.51a.若数列满足nyx称为高斯函数，xx已知函数表示不超过的最大整数，如12aa2n3，记nn.，且nn1（1）求数列的通项公式；an（2）求数列的前2024项和.bn18.（12分）一次跳高比赛中，甲同学挑战某个高度，挑战规则是：最多可以跳三次.若三次都未跳过该高度，则挑战失2败；若有一次跳过该高度，则无需继续跳，挑战成功.已知甲成功跳过该高度的概率为，且每次跳高相互独3立.（1）记甲在这次比赛中跳的次数为X，求X的概率分布和数学期望；（2）已知甲挑战成功，求甲第二次跳过该高度的概率.19.（12分）已知四棱锥P的底面为矩形，AD2AB2，过CD作平面，分别交侧棱两,PB于M,N点，且MNPA（1）求证：CDPD；（2）若PAD是等边三角形，求直线PC与平面所成角的正弦值的取值范围.20.（12分）5π记ABC的内角的对边分别为，已知ABC是边上的一点，且,B,Ca,b,c,D6sinBADsinCAD3.bc2a1a（1）求证：；3（2）若CD2，求cos.21.（12分）x22y22xOyab0)的左顶点为A，离心率为2，焦点到在平面直角坐标系中，已知双曲线C:ab渐近线的距离为2.直线l过点Pt,0(0t2)，且垂直于轴，过P两点，的直线l交C的两支于G,HxAG,lM,N分别交于两点.直线（1）求C的方程；AN,OM12k,k1kk，求点P的坐标.（2）设直线22.（12分）的斜率分别为，若212已知函数exxm.fx（1）若的最小值为1，求；fxm11aba,bab，证明：a2b22.（2）设为两个不相等的正数，且ebeaee机密★启用前海口市2024届高三摸底考试数学试题参考答案､一选择题：本题共小题，每小题分，共8540...分分分题号答案12345678CDBCBADA､二选择题：本题共小题，每小题分，共4520题号答案91011BC12BCDABDACD三填空题：本题共小题，每小题分，共20､452π2π,13.2414.215.（答案不唯一）16.4，433､四解答题：本题共小题，共670分解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤..､17.（10分）aa2n3，【解】（1）因为nn1aaan22n5an2，所以所以，n1n2所以数列的奇数项，偶数项分别构成公差为2的等差数列.annnn2k1，则ana2k122k12kn1当当为奇数时，设，an2k22k12k1n1为偶数时，设n2k，则，an1n所以.（2）设的前n项和为T，nbnn10当„„8时，n，n11，当„„时，n当„„998时，n当„„2024时，nn12，n13，90190021026349681232024所以T.202418.（12分）iA,i2,3【解】记“第跳过该高度”分别为事件.i（1）X的可能取值为2,3，且21PA1PX；322292；PX2PAA1113322192PX3PAA.13所以X的概率分布为XP123221939221139EX123所以，.399（2）“甲同学挑战成功”为事件B，则2326327P(B)1PAAA1112322129PABPAAPAPA,21212332PABPB3P∣B所以.2133答：甲挑战成功，且第二次跳过该高度的概率.1319.（12分）【解】（1）证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.PAB,CD平面，又AB平面所以CD∥平面.因为CD，平面，所以CD∥.因为MNPA，所以CD.因为四边形ABCD为矩形，所以CDAD，,ADPAD,且PA又平面ADA，所以CD平面PAD.因为平面PAD，所以CDPD.AD,BC中点分别为O,E（2）设，因为PAD是等边三角形，所以POAD.因为四边形ABCD是矩形，点O,E分别为AD,BC的中点，所以OEOD，且OE∥CD.由（1）可知，CD平面PAD，又平面PAD，所以CDPO，所以OEPO.以O为原点，OE,OD,OP的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立xyz空间直角坐标系，P3,B0，则.C0,D0PB(0设PM„，PM,,则，M,,3所以.设平面的一个法向量为x,y,z，nCD1,0,0,CM3,PC3又由，xCDn得CMn1x1y3x解得3z,1y31不妨取z1，可得平面的一个法向量为,.n3设直线PC与平面所成的角为，PCn2sin|PC,n则设.|PC||n|2521ff，22121121111122.则1341210„1，所以…1，所以0f„1，因为155所以0sin„，155所以直线PC与平面所成角的正弦值的取值范围为.20.（12分）sinsinB【解】（1）在ABD中，由正弦定理，得，BD所以sinBADsinB，ADCD同理sinCADsinC.ADsinBADsinCAD3sinBsinCCD3代入，得，bc2abc2asinBsinCsinA在ABC中，由正弦定理，得，bcasinABDsinACD3sinABDCD3所以因为，即.aADaAD2aAD25πA,D是边BC上的一点，61a132a.所以2，即3AD2a（2）因为CD2，所以CDa,，3329a2c2在ABD中，由余弦定理，得，2a295a2b29cos同理，.4a292952a2c2ab29因为，所以，242a2a99化简，得a2b22c.2b2c2a23在ABC中，由余弦定理，得BAC，bc2所以cb,a7b，559a2b27b2b2139cos所以.4414a27b29921.（12分）ba【解】（1）不妨设双曲线C的焦点坐标为c,0，渐近线方程为yx.c2,abc由题意可得：a2b2c2ab,22解得ab2，所以双曲线C的方程为x2y21.44（2）由题意直线的斜率不为0.xmyt设直线方程为，22xy1m21y2mtyt40，4x，消去得：22由4xt210m1t40，得：m22.由t420m，则1y2Gx,y,Hx,y22124t2设.,1y21121m21m2112由题意可知A2,0，则直线:yx2.yt2112112xtyt2t,，令，得，所以M坐标为yt2t,2同理，N坐标为，22yt21y2k,k2所以因为.122tx21yt211y2kk1，所以，211222tx22t2x2221y221整理得：.t又x2x2t2t21212m2yymt2yyt2)212124t221mt2)1m2m2mt2t2)2，1m222t2)22t2x2221y22t2)21m21所以.t24t24t21m243因为0t2，所以t4t，即t4，所以点P的坐标为,0.322.（12分）【解】（1）函数的定义域为,fxx1x，fx1令fxex1x，则gxxgx0，x所以函数在上单调增.fx又0，f1x0,1时fx0xfx0，时所以当，当所以函数在上单调递减，在上单调递增，fx0,1f(x)f11m1所以，所以m0.11abab（2）由，得1b1aaabb，ebeaee即e.1bbb1aaa,即f