圆的基本性质第2课时垂径分弦课件沪科版数学九年级下册

九年级下

沪科版24.2圆的基本性质第2课时

垂径分弦1.了解圆是轴对称图形；2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.3.灵活运用垂径定理解决相关的计算与应用．

学习目标重点难点我们知道，等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等图形都具有对称性.那么，圆是否具有对称性呢?

新课引入探究在纸上任意画一个⊙O，以⊙O的一条直径为折痕，把⊙O折叠，如图，你发现了什么?圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线.一

圆的轴对称性新知学习易错警示：因为对称轴是直线，而直径是线段，所以不能说圆的直径是圆的对称轴.该怎么证明前面的结论呢？ODMA·C证明：连接OA，OB.思路点拨：证明⊙O关于CD对称，也就是AM=BM.已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为M．在△OAB中，∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形.又∵AB⊥CD，∴AM=MB.即CD是AB的垂直平分线对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.B你能证明你的发现吗？根据圆的对称性又能推出圆的哪些性质呢？1.在折叠⊙O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点A，B，如图.把折叠的圆摊平，那么折痕CD是直径，点A，B是关于直线CD的一对对应点.连接AB，得弦AB，如图，这时直径CD与弦AB有怎样的位置关系?直径CD⊥弦AB二

垂径定理探究2.直径CD把劣弧

分成

与

两部分，把优弧

分成

与

两部分，这时

与

，

与

各有怎样的关系?探究归纳由上面的探究，我们可以发现并证明如下定理:*垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.几何语言：∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，∴AE=BE试着证明垂径定理.

*已知:如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，并且CD⊥AB，垂足为E.求证:AE=EB，

=

(或

=

).证明证明：连接OA，OB，则OA=OB，△OAB为等腰三角形，所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称.同理，如果点Р是⊙O上任意一点，过点Р作直线CD的垂线，与⊙O相交于点Q，则点P与点Q关于直线CD也对称，所以⊙O关于直线CD对称.当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，AE与BE重合，点A与点B重合，

与

重合，

与

重合.因此，AE=EB，

垂径定理的几个基本图形：试一试1如果把垂径定理的条件与结论用数学语言描述如下：①CD是直径；②CD⊥AB；③AP=BP；④

；⑤.

·ODPABC

已知①②

可推出③④⑤猜想1：已知①③

？②④⑤猜想1：如图，AB

是⊙O

的一条弦，直径CD

平分弦

AB

于点

E.（1）证明：CD⊥AB（2）解：(1)连结

AO、BO，则

AO=BO.又∵AE=BE，∴

CD⊥AB.∴△AOE≌△BOE(SSS).(2)由垂径定理可得

与

是什么关系？

与

呢？

·ODEABC

我们还可以得到：

平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.归纳·ODPABC

∵CD

是⊙O

的直径，

数学语言：AP=BP，∴

CD⊥AB，·OABCD圆的两条直径是互相平分的.

思考“平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧”中“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.试一试2如果把垂径定理的条件与结论用数学语言描述如下：①CD是直径；②CD⊥AB；③AP=BP；④

；⑤.·ODPABC

猜想2：已知①⑤

？②③④请试着证明这条结论.

我们还可以得到：

平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.归纳∵CD

是⊙O

的直径，

数学语言：AP=BP，∴

CD⊥AB，·ODPABC

垂径定理：①CD是直径；②CD⊥AB；③AE=BE；④

；⑤.·ODEABC

已知结论

命题①②③④⑤垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧①③②④⑤平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧①④②③⑤平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦①⑤②③④②③①④⑤弦的垂直平分线过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧②④①③⑤垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧②⑤①③④③④①②⑤平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧③⑤①②④④⑤①②③平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦垂径定理的本质是:上述五个条件中的任意

个条件，都可以推出其他

个结论.两三①CD是直径；②CD⊥AB；③AE=BE；④

；⑤.·ODEABC

例1如图，☉O中的半径为5cm，弦AB是为6cm，求圆心O到弦AB的距离.解：连接OA，过圆心O作OE⊥AB，垂足为E.弦心距·OABE在Rt△OEA中，有答：圆心O到弦AB的距离为4cm.圆心到弦的距离叫弦心距.例2赵州桥建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州桥桥拱所在圆的半径.(精确到0.1m)分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交弧AB于点C，交AB于点D，则CD=7.2m，由垂径定理，得AD=AB=×37.4=18.7(m)，设☉O的半径为

Rm，在Rt△OAD中，AO=R，OD=R-7.2，AD=18.7由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.72+(R-7.2)2.解得R≈27.9.因此，赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.9m.涉及垂径定理时辅助线的添加

在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.ABCDOhrd1.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形木材的直径是（）（1尺＝10寸）A．12寸

B．13寸

C．24寸 D．26寸D针对训练2.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为

5cm，油面宽

AB为

6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为

8cm，则油面

AB上升了（）cm．A．1 B．3 C．3或4 D．1或7D思路点拨：上升的过程中油面宽度为8cm不止是一个时刻.注意圆中的多种情况1.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，若AB=10，CD=8，则图中阴影部分的面积为

.

20随堂练习2.如图，⊙P与y轴交于点M（0,﹣4），N（0,﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3B．4C．5

D．6C思路点拨：将点坐标转化为线段长度3.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图(1)所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图(1)所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图(2)是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥C