中考数学一轮复习课件二次函数综合题

二次函数综合题类型一

二次函数的图象与性质综合题一、二次函数解析式确定①抛物线的对称轴确定，自变量取值范围确定1.已知二次函数y＝x2－2x－3.（1）当－4≤x≤－1时，y的取值范围为

0≤y≤21

⁠；（2）当－2≤x≤3时，二次函数的最大值为

5

⁠，最小值为

－4

⁠；（3）当2≤x≤5时，二次函数最大值与最小值的和为

9

⁠.0≤y≤215－492.二次函数y＝x2－2x－3的图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度得到新的二次函数L.（1）当0≤x≤4时，二次函数L的最小值为－4，求m的取值范围；解：∵y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，∴平移后的二次函数L的解析式为y＝（x－1－m）2－4，∴其对称轴为直线x＝1＋m.∵当0≤x≤4时，二次函数L的最小值为－4，∴0≤1＋m≤4，解得－1≤m≤3.∵m＞0，∴0＜m≤3.②抛物线的对称轴不确定，自变量取值范围确定（2）当5≤x≤6时，二次函数L的值随x的增大而增大，求m的取值范围.解：∵当5≤x≤6时，二次函数L的值随x的增大而增大，∴m＋1≤5，解得m≤4.∵m＞0，∴0＜m≤4.3.已知函数y＝x2－2x－3.（1）当0≤x≤a时，二次函数的最大值为5，求a的值；解：∵y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，∴当x＝1时，函数有最小值－4.当x＝0时，y＝－3＜5.令y＝5，即x2－2x－3＝5，解得x＝－2或x＝4.∵a＞0，∴a的值为4.（2）当－3≤x≤a时，二次函数的最大值为12，求a的取值范围.解：当x＝－3时，y＝12.令y＝12，即x2－2x－3＝12，解得x＝－3或x＝5.∵a≥－3，∴a的取值范围为－3≤a≤5.③自变量取值范围不确定【夺分宝典】二次函数在区间内的最值：当m≤x≤n时，求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的最大值和最小值.

若a＞0，最大值是ym，最小值为yn；若a＜0，最大值为yn，最小值为ym；

若a＞0，在对称轴处取得最小值，在离对称轴远的点处取最大值；若a＜0，在对称轴处取得最大值，在离对称轴远的点处取最小值；

若a＞0，最大值为yn，最小值为ym；若a＜0，最大值为ym，最小值为yn.二、二次函数解析式不确定①开口方向确定，对称轴不确定4.已知二次函数y＝2x2－4mx＋2m2＋1.当－2≤x≤1时，二次函数的最小值为3，求m的值.解：∵二次函数的解析式为y＝2x2－4mx＋2m2＋1＝2（x－m）2＋1，∴对称轴为直线x＝m.分两种情况讨论：（1）当m≤－2时，对称轴在区间左侧，函数在x＝－2处取得最小值，即2（－2－m）2＋1＝3，解得m＝－1（舍去）或m＝－3；（2）当m≥1时，对称轴在区间右侧，函数在x＝1处取得最小值，即2（1－m）2＋1＝3，解得m＝0（舍去）或m＝2.综上所述，m的值为－3或2.②开口方向不确定，对称轴确定5.已知二次函数y＝ax2－4ax＋3a（a≠0），当－2≤x≤0时，二次函数的最小值为1，求a的值.解：∵y＝ax2－4ax＋3a＝a（x－2）2－a，∴二次函数的对称轴为直线x＝2.分两种情况讨论：

（2）若a＜0，当－2≤x≤0时，y随x的增大而增大，∴当x＝－2时，y有最小值，∴4a＋8a＋3a＝1，

类型二

二次函数与线段、面积问题1.如图1，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线第一象限内一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q，顶点为D.图1

（－1，0）（3，0）（0，3）y＝－x＋3（t，－t2＋2t＋3）（t，－t＋3）（t，0）（t2－2t，－t2＋2t＋3）－t2＋3t－t2＋3t

图1（3）如图2，点D的坐标为

（1，4）

⁠，△CDB的面积有两种求法：图2

（1，4）

3

3×13×43×33（4）如图3，P是第一象限抛物线上一动点，设点P的横坐标为t，试用含t的式

子表示△PCB的面积，并求其最大值.图3解：过点P作PQ∥y轴，交线段BC于点Q，则PQ＝yP－yQ＝－t2＋3t，

【夺分宝典】1.表示点的坐标（1）垂直于x轴（平行于y轴）的直线上的点的横坐标相同；（2）垂直于y轴（平行于x轴）的直线上的点的纵坐标相同.2.表示线段长（1）水平方向上线段长度表示为x右－x左，左右方向不明确表示为｜x1－x2｜；（2）铅垂方向上线段长度表示为y上－y下，上下方向不明确表示为｜y1－y2｜.3.涉及动态几何中求函数最值时，先“化动为静”，表示出相关线段与t的函数式，再利用几何关系（面积、相似、三角函数）列出目标函数的解析式，再由函数的性质求最值.命题点1

二次函数性质综合1.已知二次函数y＝ax2＋4ax＋b.（1）求二次函数图象的顶点坐标；（用含a，b的代数式表示）解：（1）∵y＝ax2＋4ax＋b＝a（x＋2）2－4a＋b，∴二次函数图象的顶点坐标为（－2，－4a＋b）.考点训练解：（2）由（1）得二次函数图象的对称轴为直线x＝－2.分两种情况：①当a＞0时，二次函数图象开口向上，∵3－（－2）＞1－（－2）＞（－1）－（－2）＝（－2）－（－3），∴d＞c＞e＝f；②当a＜0时，二次函数图象开口向下，∵3－（－2）＞1－（－2）＞（－1）－（－2）＝（－2）－（－3），∴d＜c＜e＝f.（2）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过（1，c），（3，d），（－1，e），

（－3，f）四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；

（3）M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当－2≤m≤1时，n的取值范围

是－1≤n≤1，求该二次函数的解析式.

2.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（－1，0）.（1）求二次函数的解析式；

（2）连接BC，若点P在y轴上，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长；

（3）当a≤x≤a＋1时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最小值为2a，求a的值.

命题点2

二次函数与线段及面积问题3.如图，抛物线C1：y＝x2－2x与抛物线C2：y＝ax2＋bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，A，OA＝2OB.（1）求抛物线C2的解析式；解：（1）令y＝x2－2x＝0，则x＝0或2，∴点B（2，0）.∵OA＝2OB，∴A（4，0）.∵抛物线C1，C2的开口大小相同、方向相反，∴a＝－1.将点A（4，0）代入y＝－x2＋bx，得0＝－16＋4b，解得b＝4，∴抛物线C2的解析式为y＝－x2＋4x.（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA＋PC的值最小？若存在，求出

点P的坐标；若不存在，请说明理由；解：（2）存在.联立C1，C2解析式并解得点C（3，3）.如图1，作点C关于C2对称轴的对称点C'（1，3），连接AC'，交抛物线C2的对称轴于点P，此时PA＋PC的值最小，为线段AC'的长.易得点P（2，2）.图1图1（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC.当点M运动到什么位

置时，△MOC的面积最大？并求出最大面积.

图2图24.已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A（1，0）和点B（－3，0），

与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上的动点.（1）抛物线的解析式为

y＝－x2－2x＋3

⁠，顶点坐标为

（－1，4）

⁠；（2）如图1，连接OP，交BC于点D，当S△CPD∶S△BPD＝1∶2时，点D的坐标

为

（－1，2）

⁠；图1y＝－x2－2x＋3（－1，4）（－1，2）（3）如图2，点E的坐标为（0，－1），G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，

连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，求出点P的坐标；图2

（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的

坐标；若不存在，请说明理由.图3（4）不存在.理由如下：连接BC，过点P作y轴的平行线，交BC于点F.易得直线BC的解析式为y＝x＋3.设点P（x，－x2－2x＋3），点F（x，x＋3），

整理，得3x2＋9x＋7＝0，∴Δ＝81－4×3×7＝－3＜0，故方程无解，则不存在满足条件的点P.

1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（－1，0），B（3，0），C（0，3）.（1）抛物线的解析式为

y＝－x2＋2x＋3

⁠；y＝－x2＋2x＋3巩固训练（2）设P是直线BC上方抛物线上一点，求△PBC的最大面积及此时点P的坐标.解：由点B，C的坐标，得直线BC的解析式为y＝－x＋3，连接PB，PC，过点P作y轴的平行线，交BC于点H.设点P（x，－x2＋2x＋3），则点H（x，－x＋3），

2.在平面直角坐标系中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t.（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；

（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上.若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围.

（1）求点A，B的坐标；

（2）求b，c的值；

（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，连接CD，且CD∥x轴.如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的解析式.

4.如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上.设点B（t，0），当t＝2时，BC＝4.

（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求