2022-2023学年湖北省部分重点高中高三年级上册12月联考数学试题

湖北省优质重点高中高三联考

数学考试

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号，座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。可答非选择题时，

将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，不等式，三角函

数与解三角形，平面向量与复数，数列，立体几何，直线与圆。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={%,>2工一1},3={不卜<2%2},则AB=()

A.(g/)B.(一。o,0)C.(o,g)D.(-。o,0)

2.若复数z满足方程Z2-4Z+6=0,则2=()

A.2±V3iB.2±V2iC.-2±V3iD.-2土"

3.在公比为负数的等比数列{q}中，4+4=-1，。7=256。3,贝|」4+2%+4=()

A.48B.-48C.80D.-80

2*+xx<2

4.己知函数/(x)=1,''则是“/(x)有2个零点”的()

x'+2a,x>2,

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必

要条件

5.智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外界噪音的声波曲线为

y=Asin(&x+e)时，通过降噪系统产生声波曲线y=—Asin(tux+9)将噪音中和，达到

降噪目的.如图，这是某噪音的声波曲线旷=4411(妙+夕)(4>0,力〉0,|夕|<m)的一部

分，则可以用来智能降噪的声波曲线的解析式为()

A.y=2sinf2x-^jB.y=2sinf2x+^jC.y=2cosf2x+—I

D.y=2cos|^2x--J

6.已知某圆台的体积为(9+3万)乃，其上底面和下底面的面积分别为31,6万，且该圆台

两个底面的圆周都在球。的球面上，则球。的表面积为()

A.257B.26TTC.27/rD.28乃

7.若直线x+y+/%=0是曲线y=/+心一52与曲线y=/-31nx的公切线，则

m-n=()

A.-30B.-25C.26D.28

8.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB，平面ABC。，底面ABC。是正方形，△248

是边长为2的正三角形，E,F分别是棱PD,PC上的动点，则AE+所+8厂的最小值是

()

A.s/2+2B.\/2+3C.A/V+2D.■'/v+1

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.

9.已知函数/(x)=d嬴，设命题p：对任意me(0,位),/(无)的定义域与值域都

相同.下列判断正确的是()

A./,是真命题B.p的否定是“对任意me(0,M),/(x)的定义域与值域都不相同”

C.p是假命题D.0的否定是“存在加6((),+8),使得了(X)的定义域与值域不相同”

10.某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品

为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费.抽奖结果共分5个等级，等级工与购物卡

的面值y(元)的关系式为y=eg+)+Z,3等奖比4等奖的面值多100元，比5等奖的面

值多120元，且4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，则()

A.a=-ln5B.左=15

C.1等奖的面值为3130元D.3等奖的面值为130元

11.已知点A(〃+2,0),B(-M,0),若圆C:(x-4/+(y-4>=9上存在唯一的点尸，使得

PA1PB,则“的值可能为()

A.-9B.-5C.1D.7

12.已知lnW+更>0,设a=1.92,/=4,c=2.1'",1=2?」，则()

2121

A.a>bB.0bC.c>aD.d>c

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设向量a”的夹角的余弦值为一!，且12al=|3回=6,贝『2。+切=.

3

14.sinl2345。的值为.

15.若a>b>l,且a+3Z?=5,则一-—14的最小值为_________,ab-b2-a+h

a-bb-\

的最大值为.(本题第一空2分，第二空3分)

16.颇受青年朋友喜欢的蛋白石六角锥灵摆吊坠如图(1)所示，现在我们通过DIY手工制

作一个六角锥吊坠模型.准备一张圆形纸片，已知圆心为O,半径为10cm,该纸片上的正

六边形户的中心为O，A，用,G，Q,昂片为圆。上的点，如图(2)所

示.△AAB,△gBC,△GC。,△与£77,/\片£4分别是以

AB,BC,CD,DE,EF,FA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以

AB,BC,CD,DE,EF,FA为折痕折起

△AAB,ABIBC,AGCD,/\DQE,Z\EIEF,AKFA,使4，g，G，2，片,片重合，得到

六棱锥，当底面六边形的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为cm3.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.(10分)

分别为ZSABC的内角A,B,C的对边.已知5acos(〃-A)=bcos(〃-C)-ccosB.

(1)求cosA；

(2)若—c==4/?+<?2,求ZkABC的面积.

18.(12分)

如图，在正四棱柱中，A8=2,点E在CG上，且CE=2EG=2.

(1)若平面AfE与相交于点凡求。尸;

(2)求二面角A—8E—4的余弦值.

19.(12分)

/\

将函数y=2sin3xcos3x+&cos6x的图象向左平移/Q<(p<—个单位长度后得到

V2,

函数/(%)的图象.

(1)若/(九)为奇函数，求°的值;

(2)若/(%)在上单调，求°的取值范围.

20.(12分)

已知数列｛«„｝的前n项和为S“，且6=1,｛旦卜是公差为2的等差数列.

(1)求｛a,J的通项公式以及S.；

(2)证明：—+---+H-----<一.

同12a21na„2

21.(12分)

己知圆W经过43,3),3(2,2V2),C(2,-2A/2)三点.

(1)求圆W的方程.

(2)若经过点P(—1,0)的直线4与圆W相切，求直线4的方程.

(3)已知直线4与圆W交于例，N(异于A点)两点，若直线A",AN的斜率之积为2,

试问直线4是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.

22.(12分)

QX

己知函数/(X)=--kx+2k\nx.

厂

(1)若k=l,求/(x)的单调区间；

(2)若/(x)N(),求出的取值范围.

湖北省优质重点高中高三联考

数学考试参考答案

1.D

2.B

3.A

4.C

5.C

6.D

8.D

9.AD

11.ACD

12.BCD

13.472

V6+V2

14----------------

64小

16.----

3

17.解：(1)因为5acos(;r-A)=/?cos(4一C)-ccos8,

所以一5acosA=—Z?cosC—ccos5，即5acosA=Z?cosC+ccosB，

所以5sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，

即5sinAcosA=sin(3+C)=sinA,

又sinA>0,所以cosA=^.

(2)因为〃2=〃+。2-2Z?CCOSA=4/7+c2,

2

所以4=。——c,

5

又b—c=\,解得。=6,c=5,

所以/XABC的面积S=」/?csinA=工x30x亚=6#.

225

18.解：(1)如图，连接因为45〃平面CDRG，平面i平面

CDD£i=EF,所以.

GFCE_1

连接因为所以E尸〃CR,所以}

DF~CE~2

24

又GO=2,所以。吠=10。="

(2)以。为坐标原点，的方向分别为X，y，z轴的正方向建立空间直角坐标

系,贝(I

A(2,0,0),A(2,0,3),仅2,2,0),E(0,2,2),AB=(0,2,0),BE=(-2,0,2),A5=(0,2,-3).

设平面ABE的法向量为m=(西，如4),则・令%]=1,得m=(1,0,1).

—2%|+2Z|-0,

；窘—"令必=3,得〃=(2,3,2).

设平面ABE的法向量为〃=(%,%/2)，贝以

m-n42734

cos(m,n)

ImllnTV2xV17-17,

由图可知二面角A—BE—A为锐角，故二面角A—BE—A)的余弦值为•

19.解：(1)因为y=2sin3xcos3x+V3cos6x=sin6x+V3cos6x=2sinf6x+yL

所以%)=2sin(6x+(+60).

7T

因为/(X)为奇函数，所以耳+6°=br(ZeZ),

rrk/T71.J7C--,,,...7T5乃4"

即夕=7——(A:GZ),又。<9<彳，所以夕的值为大,二^,二-

61829189

—71/27r/।

(2)因为肛,所以6x+—+6(pGI67r+—+6(p、64H———F6(pI.

3

江717110万、2»2万1

因为0</<5，所以§+6夕€+6°£"

3'33"T'F

197rrrIT27r37r

又/(x)在万，----上单调，所以-<-+6(^<—+6^?<—或

182332

3冗冗，2%/54一5〃•万/2万/ITI

——<——卜6(p<-----FO69<——或——<—4-067<------F06?<——,

23322332

TT5万741\TC13417兀

所以"的取值范围是—5

3636363T宝，3r

rici

20.(1)解：由题意可知一上=1+2(〃-1)=2〃—1,

s“

n

整理可得S“=^——xq〃，①

2n-l

〃+1

则着x%+i，②

2H+1

〃+1II

由②-①可得《用=5不X",”「罚X%

士,一/〃

整理E可D得"罚乂区川二一罚得“，才""A二一2”+"1

因为q=1,所以

T+-讣｛-猾卜-1)"(2〃+1),

因为(―1)°(2X0+1)=q,所以4=(―1)"T(2〃-1),

510Q—(4+4)+(%+4)++(^99+4oo)=5°x(-2)——100.

（2）证明：当”=1时,

中<1成立

山3111111

当〃22时，—+---++---------1------F-H----------

q|26?2||nan\1x12x3nx(2n-l)

13

综上,+—L〈巳得证.

叫2

21.解：（1）设圆W的方程为％2+g2+£）%+£^+尸=0,

3。+3七+/+18=0,[D=-6,

则《2D+2&E+/+12=0,解得《E=0,

2。-2夜E+F+12=0,1/=。,

则圆卬的方程为f+y2-6x=0.

（2）由（1）可知，圆W的圆心坐标为（3,0）,半径为3.

若直线4的斜率不存在，则直线4的方程为x=—l,圆心W到直线4的距离为

3—（-1）=4>3,不符合题意.

若直线4的斜率存在，设直线4的方程为y=Z（x+l）,则圆心W到直线4的距离为

4===3,解得％=±侦，故直线4的方程为〉=±之且（x+1）.

a+177

（3）若直线4的斜率不存在，则设直线4的方程为％=/，"（入0，%），"（%0，-%），

则廉仆=君.学彳=2，整理得2（%-3）2+火=9.

又（%-3）2+巾=9,解得%=3,所以直线4的方程为x=3,此时4经过点A,不符合

题意.

若直线12的斜率存在，则设直线/2的方程为y=比+aM（占,％）,N（看,%），

联立方程组‘-o整理得（，+1）/+（2%一6）》+从=0,

则△=-4b2-24%+36>0,%+/=-

M—3必—3(比]+b-3)(比2+b—3)//电+(tb—3/)(玉+々—6b+9

X]-3x2-3(%]-3)(x2-3)x1x2-3(%j+x2)+9

9r+b2+6tb-lSt-6b+9

则9r+/+6力+187+6匕-27=0,整理得

9r+b2+6tb-9

(3t+b)2+6(3t+b)-27=(3t+b+9)(3t+b-3)=O,得b=—3r—9或b=-3f+3(舍

去).故直线4的方程为>=比一3t-9,经过定点(3,-9).

综上所述，直线4