安徽省安庆石化第一中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含答案)

石化一中2023—2024学年第二学期期中随堂练习初二年级数学试卷一．选择题（本大题共10小题，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．估计的值在（）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间3．下列各组数中，能组成直角三角形的一组是（）A．6，8，11 B．，3， C．4，5，6 D．2，2，24．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（）A．x2﹣2x＝5 B．2x2﹣4x＝5 C．x2+4x＝5 D．x2+2x＝55．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+2＝0 B．2x2+3x+2＝0 C．4x2﹣12x+9＝0 D．3x2+5x﹣8＝06．一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值是（）A．2 B．1 C．2或﹣2 D．﹣27．如果，那么a一定是（）A．负数 B．正数 C．正数或零 D．负数或零8．已知直角三角形纸片的两条直角边分别为m和n（m＜n），过此三角形锐角的顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则有（）A．m2+2mn+n2＝0 B．m2﹣2mn+n2＝0 C．m2+2mn﹣n2＝0 D．m2﹣2mn﹣n2＝09．小华早上从家出发到离家5千米的国际会展中心参观，实际每小时比原计划多走1千米，结果比原计划早到了15分钟，设小华原计划每小时行x千米，可列方程（）A． B． C． D．10．如图1，以直角三角形的各边边长分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大正三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积 B．较小两个正三角形重叠部分的面积 C．最大正三角形的面积 D．最大正三角形与直角三角形的面积差二．填空题（本大题共4小题，共20分）11．函数y＝的自变量x的取值范围是．12．在实数范围内分解因式：2x2﹣10＝．13．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2020＝．14．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为．三．解答题（共9小题）15．计算：4．16．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：（1）在图中画一条线段MN，使MN＝；（2）在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角△DEF．17．已知等腰三角形ABC的底边BC＝2cm，D是腰AB上一点，且CD＝4cm，BD＝2cm．（1）求证：CD⊥AB；（2）求△ABC的面积．18．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简﹣．19．晓明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是晓明的探究过程，请你补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：＝，特例4：（填写一个符合上述运算特征的例子）．（2）观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：．（3）应用运算规律，化简：．20．3月20号上午，2021合肥蜀山区桃花文化节在小庙镇结义桃园景区开幕，开幕的当天吸引了大批市民前来赏花、踏青、摄影，感受大自然的魅力．一花卉商户购进了一批单价为50元的盆景，如果按每盆60元出售，可销售800盆，如果每盆提价0.5元出售，其销售量就减少10盆，现在要获利12000元，且销售成本不超过24000元，问这种盆景销售单价确定多少？这时应进多少盆盆景？21．已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k+3＝0的两根是x1，x2．（1）证明：无论k为何值，该方程总有两个实数根；（2）若该方程的一个根为1，求它的另一个根和k的值；（3）无论k为何值，方程总有一个不变的根为．22．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值．解：x2+6x﹣1＝x2+2×3•x+32﹣32﹣1＝（x+3）2﹣10∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0．∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10．即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数．问题：（1）已知y＝x2﹣4x+7，求证y是正数．知识迁移：（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最大值．23．如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝米；（2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB；（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．求丙房间的宽AB．石化一中2023—2024学年第二学期期中随堂练习初二年级数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）一．选择题（共10小题）1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】先把各个二次根式化简，再判断．【解答】解：∵＝3；＝2；＝；故选：B．2．估计的值在（）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【分析】利用二次根式的性质，得出＜＜，进而得出答案．【解答】解：∵＜＜，∴6＜＜7，∴的值在整数6和7之间．故选：C．3．下列各组数中，能组成直角三角形的一组是（）A．6，8，11 B．，3， C．4，5，6 D．2，2，2【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：A、62+82≠112，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；B、（）2+32≠（）2，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；C、42+52≠62，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；D、22+22＝（2）2，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故此选项正确．故选：D．4．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（）A．x2﹣2x＝5 B．2x2﹣4x＝5 C．x2+4x＝5 D．x2+2x＝5【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方分别进行解答，即可得出答案．【解答】解：A、因为本方程的一次项系数是﹣2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；B、先在等式的两边同时除以2，得到x2﹣2x＝，因为此方程的一次项系数是﹣2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；C、因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项正确；D、因为本方程的一次项系数是2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；故选：C．5．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+2＝0 B．2x2+3x+2＝0 C．4x2﹣12x+9＝0 D．3x2+5x﹣8＝0【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号，可以判定个方程实数根的情况，注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，∴此方程没有实数根，故本选项不符合题意；B、∵Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×2＝﹣7＜0，∴此方程没有实数根，故本选项不符合题意；C、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣12）2﹣4×4×9＝0，∴此方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；D、∵Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×3×（﹣8）＝121＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项符合题意．故选：D．6．一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值是（）A．2 B．1 C．2或﹣2 D．﹣2【分析】把x＝0代入方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0得a2﹣4＝0，解得a1＝2，a2＝﹣2，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．【解答】解：把x＝0代入方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0得a2﹣4＝0，解得a1＝2，a2＝﹣2，因为方程为一元二次方程，所以a﹣2≠0，所以a＝﹣2．故选：D．7．如果，那么a一定是（）A．负数 B．正数 C．正数或零 D．负数或零【分析】由已知等式变形得＝﹣a，且a≠0，根据二次根式的非负性直接判断即可．【解答】解：如果，那么＝﹣a，且a≠0，所以a一定是负数．故选：A．8．已知直角三角形纸片的两条直角边分别为m和n（m＜n），过此三角形锐角的顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则有（）A．m2+2mn+n2＝0 B．m2﹣2mn+n2＝0 C．m2+2mn﹣n2＝0 D．m2﹣2mn﹣n2＝0【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2＝（n﹣m）2，整理即可求解．【解答】解：如图，m2+m2＝（n﹣m）2，2m2＝n2﹣2mn+m2，m2+2mn﹣n2＝0．故选：C．9．小华早上从家出发到离家5千米的国际会展中心参观，实际每小时比原计划多走1千米，结果比原计划早到了15分钟，设小华原计划每小时行x千米，可列方程（）A． B． C． D．【分析】根据“原计划早到了15分钟”．等量关系为：原计划所用时间﹣实际所用时间＝，根据等量关系列方程．【解答】解：设小华原计划每小时行x千米，依题意得：﹣＝，故选：B．10．如图1，以直角三角形的各边边长分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大正三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积 B．较小两个正三角形重叠部分的面积 C．最大正三角形的面积 D．最大正三角形与直角三角形的面积差【分析】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正三角形的面积公式、平行四边形的面积公式计算即可．【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝（c﹣b）（c﹣a），较小两个正三角形重叠部分的边长＝a+b﹣c，则较小两个正三角形重叠部分的面积＝（a+b﹣c）2＝[a2+b2+2ab+c2﹣2c（a+b）]＝[c2+2ab+c2﹣2c（a+b）]＝（c﹣b）（c﹣a），故知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正三角形重叠部分的面积．故选：B．二．填空题（共4小题）11．函数y＝的自变量x的取值范围是x＜3．【分析】根据被开方数大于或等于0，分母不等于0列式计算，即可得到自变量x的取值范围．【解答】解：根据题意，得3﹣x≠0且3﹣x≥0，∴3﹣x＞0，解得x＜3，故答案为：x＜3．12．在实数范围内分解因式：2x2﹣10＝2（x）（x﹣）．【分析】首先将原式提取2，再根据平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：原式＝2（x）（x﹣），故答案为：2（x）（x﹣）．13．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2020＝2024．【分析】先根据根的定义以及根与系数关系得出a2+a﹣3＝0，a+b＝﹣1，再把此代数式进行变形，代入数值计算即可．【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，a2+a﹣3＝0，∴a2＝﹣a+3，∴a2﹣b+2020＝﹣a+3﹣b+2020＝2023﹣（a+b）＝2023+1＝2024．故答案为：2024．14．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．【分析】先求得A的坐标，设点B的坐标为（m，0），分AO＝OB及AO＝AB两种情况考虑，根据两点间的距离公式结合等腰三角形的性质，即可得出关于m的方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵在y＝﹣x+3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝3，∴N（3，0），M（0，3），∴OM＝ON＝3，∵AN＝2AM，∴A（1，2），∴OA＝＝，当AO＝OB时，则OB＝，∴点B的坐标为（﹣，0）或（，0）；②当AO＝AB时，设点B的坐标为（m，0），则＝，整理得，（1﹣m）2＝1，解得m＝2或m＝0（舍去），∴点B的坐标为（2，0）．综上所述：点B的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．三．解答题（共9小题）15．计算：4．【分析】利用平方差公式，绝对值的意义进行计算，即可解答．【解答】解：4＝4×﹣（﹣1）+3﹣4＝﹣+1+3﹣4＝0．16．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：（1）在图中画一条线段MN，使MN＝；（2）在图中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的直角△DEF．【分析】（1）根据勾股定理，则只需构造一个以1和4为直角边的直角三角形，则斜边MN即为；（2）根据正方形的性质，则只需构造两条分别是和2的对角线，即得到一个三边长均为无理数的直角三角形．【解答】解：如图所示：17．已知等腰三角形ABC的底边BC＝2cm，D是腰AB上一点，且CD＝4cm，BD＝2cm．（1）求证：CD⊥AB；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）先算CD2，BC2，BD2，发现三者之间的等量关系，再结合勾股定理判断垂直；（2）先设AD＝x，然后用含有x的式子表示AC，再结合勾股定理列出方程求x，最后求面积．【解答】（1）证明：∵BC＝2cm，CD＝4cm，BD＝2cm，∴CD2＝16，BC2＝20，BD2＝4，∴CD2+BD2＝BC2，∴三角形BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，∴CD⊥AB．（2）解：设AD＝xcm，则AB＝（x+2）cm，∵△ABC为等腰三角形，且AB＝AC，∴AC＝x+2，在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，∴x2+42＝（x+2）2，解得：x＝3，∴AB＝5cm，∴S△ABC＝×AB×CD＝×5×4＝10（cm2）．18．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简﹣．【分析】由三边关系定理，得到关系式；判断出被开方数的正负，再化简开方，得出结果．【解答】解：由三边关系定理，得3+5＞c，5﹣3＜c，即8＞c＞2，＝＝c﹣2﹣（4﹣c）＝c﹣2﹣4+c＝c﹣6．19．晓明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是晓明的探究过程，请你补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：＝，特例4：＝5（填写一个符合上述运算特征的例子）．（2）观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：＝（n+1）（n为正整数）．（3）应用运算规律，化简：．【分析】（1）利用前面三个特例中数与数的关系写出第四个特例；（2）根据四个特例中数子的变换规律写出用正整数n表示的运算规律；（3）根据（2）中规律得到原式＝2019×，然后根据二次根式的乘法法则运算．【解答】解：（1）答案为＝5；（2）答案为＝（n+1）（n为正整数）；（3）原式＝2019×＝2019＝2019．20．3月20号上午，2021合肥蜀山区桃花文化节在小庙镇结义桃园景区开幕，开幕的当天吸引了大批市民前来赏花、踏青、摄影，感受大自然的魅力．一花卉商户购进了一批单价为50元的盆景，如果按每盆60元出售，可销售800盆，如果每盆提价0.5元出售，其销售量就减少10盆，现在要获利12000元，且销售成本不超过24000元，问这种盆景销售单价确定多少？这时应进多少盆盆景？【分析】设这种盆景销售单价应定为x元，则每盆的利润为（x﹣50）元，可售出（2000﹣20x）盆，根据总利润＝每盆的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合销售成本不超过24000元，即可确定x的值，此题得解．【解答】解：设这种盆景销售单价应定为x元，则每盆的利润为（x﹣50）元，可售出800﹣×10＝（2000﹣20x）盆，依题意得：（x﹣50）（2000﹣20x）＝12000，整理得：x2﹣150x+5600＝0，解得：x1＝70，x2＝80．当x＝70时，2000﹣20x＝600（盆），600×50＝30000（元）＞24000元，不合题意，舍去；当x＝80时，2000﹣20x＝400（盆），400×50＝20000（元）＜24000元．答：这种盆景销售单价应定为80元，这时应进400盆盆景．21．已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k+3＝0的两根是x1，x2．（1）证明：无论k为何值，该方程总有两个实数根；（2）若该方程的一个根为1，求它的另一个根和k的值；（3）无论k为何值，方程总有一个不变的根为x＝﹣1．【分析】（1）证明方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝（k+4）2﹣4×1×（k+3）≥0即可．（2）把x＝1代入方程x2+（k+4）x+k+3＝0，得到关于k的方程，解答即可．（3）公式法求得方程根判断即可．【解答】（1）证明：∵方程x2+（k+4）x+k+3＝0，a＝1，b＝k+4，c＝k+3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（k+4）2﹣4×1×（k+3）＝k2+4k+4＝（k+2）2≥0，∴无论k为何值，该方程总有两个实数根．（2）解：把x＝1代入方程x2+（k+4）x+k+3＝0，得1+k+4+k+3＝0，解得k＝﹣4，∴方程x2﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1，故k＝﹣4，另一个根为﹣1．（3）解：∵方程x2+（k+4）x+k+3＝0，a＝1，b＝k+4，c＝k+3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（k+4）2﹣4×1×（k+3）＝k2+4k+4＝（k+2）2≥0，∴∴x1＝﹣1，x＝﹣k﹣3，此时方程总有一个不变的根为x＝﹣1；故答案为：x＝﹣1．22．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值．解：x2+6x﹣1＝x2+2×3•x+32﹣32﹣1＝（x+3）2﹣10∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0．∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10．即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数．问题：（1）已知y＝x2﹣4x+7，求证y是正数．知识迁移：（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最大值．【分析】（1）配方求最值．（2）先求s，再配方求最值．【解答】证明：（1）y＝x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3．∵（x﹣2）2≥0．∴y≥0+3＝3．∴y＞0．∴