2022年中考数学二轮复习之图形的变化（含解析及考点卡片）

2022年中考数学二轮复习之图形的变化

一、选择题（共10小题）

1.（2021•商河县校级模拟）如图，AABC与关于直线MV轴对称，则以下结论中错

误的是（）

AD

△A

cF

,V

A.AB//DFB.ZB=/E

C.AB=DED.A£＞所连的线段被MN垂直平分

2.（2021•娄底模拟）一平面镜以与水平面成45。角固定在水平面上，如图所示，一个小球

以lm/s的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（）

A.以1H7/S的速度，做竖直向上运动

B.以l〃z/s的速度，做竖直向下运动

C.以迫，”/s的速度运动，且运动路线与地面成45。角

2

D.以2m/s的速度，做竖直向下运动

3.（2021•海淀区校级模拟）下列图形中，是轴对称图*形的是（）

A.B.

4.(2020•长丰县二模)如图，矩形438中，AB=4,对角线AC、BD交于点O,

ZAOD=nO°,£为皮)上任意点，F为AE中点，则下。+所的最小值为()

A.2不B.2+6C.5D.373

5.(2020•新都区模拟)平面直角坐标系中，己知点P(a,3)在第二象限，则点P关于直线，"

(直线加上各点的横坐标都是2)对称的点的坐标是()

A.(―〃,3)B.(。,一3)C.(—〃+2,3)D.(―〃+4,3)

6.(2020•大连)平面直角坐标系中，点尸(3,1)关于x轴对称的点的坐标是()

A.(3,1)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-1)

7.(2019•郑州二模)如图，弹性小球从点P(0,l)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正

方形D4BC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点

为［(-2,0),第2次碰到正方形的边时的点为？，…，第〃次碰到正方形的边时的点为

则点4n,,的坐标是()

A.（0,1）B.（-4,1）C.（-2,0）D.（0,3）

8.（2019•唐山二模）如图所示，平面上有两条相等的线段4?和8,李明用尺规作轴对称,

经过几次轴对称变换之后两条线段重合，其具体作法如下：

①作线段AB关于直线n的对称线段DA'；

②连接即，作线段即的垂直平分线”；

③作NA'DC的平分线机；

④A'。沿着直线m对折即可得到CD；

A.①②③④B.④③②①C.④③①②D.②①③④

9.（2019•荷塘区一模）如图，在2x2网格中放置了三枚棋子,在其他格点处再放置1枚棋

子，使图形中的四枚棋子成为轴对称图形的概率是（）

10.（2019•赤峰）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：

①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角

形扔掉；

②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）

-A----------1

C.击D.—^―

22020

二、填空题（共5小题）

11.（2021•宿迁模拟）已知点A（加+1,3）与点3（2,关于x轴对称，贝1"根+〃）239的值

为.

12.（2021•封丘县二模）如图，在RtAABC中，ZC=90°,ZA=3O°,BC=2,点M为边

AC的中点，点。为边AC上一动点，连接8D,作MCZ）关于直线处的轴对称图形，点C

的对应点为点E,连接ME,则ME长度的取值范围为.

13.（2020•瓯海区二模）如图是一个可调节花盆支架，外围是一个圆形框架，如图1,支架

AC,比＞的长度均为14ca,端点C,。固定在花盆圆形套圈的直径两端，端点A,8可

在外围圆形框架上移动，整个花盆支架始终成轴对称，已知花盆高哥'=1557,圆形套圈的

直径CQ=2（kw,且所被8平分为上下比为1:2,当端点A,3向上调节至最高时，AC,

8。和8同一直线上（如图2所示），此时，花盆底到圆形框架最低点的距离为FG=6cm,

则圆形框架的半径为—on,为了整体美观要求，花盆底到圆形框架最低点的距离尸G要

14.（2019•拱墅区校级模拟）在日常生活中，你会注意到有一些含有特殊数字规律的车牌号

码，如：浙A80808,浙A22222,浙A12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一

个数字“对称”的，给人以对称美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照.如

果让你负责制作只以8或9开头且有5个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作个.

15.（2019•滨海县二模）如图，在平面直角坐标系中，0（0,0）,46,6向,8（12,0）,将

△OAfi沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段03上的点E处，若OE=3,则的值

是.

三、解答题（共7小题）

16.（2021•包河区二模）将正方形ABCZ）和等腰RtAADE如图所示摆放，正方形的边长为2,

将此图剪后拼成一个新的正方形.

（1）新正方形的边长为—；

（2）在原图中画出剪拼示意图（保留剪和拼的痕迹）；

（3）剪拼过程中，RtAADE被分割成两部分，求这两部分的面积比.

17.（2020•新吴区二模）如图，在RtAAOC中，24=30。，点0（0,0）,C（l,0）,点A在y轴

正半轴上，以AC为一边作等腰直角AACP,使得点尸在第一象限.

（1）求出所有符合题意的点P的坐标；

（2）在A4OC内部存在一点Q,使得AQ、0Q、C。之和最小，请求出这个和的最小值.

18.（2020•武汉模拟）如图，在下列8x8的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点.例

如A（l,5）、8（4,1）、C（4,6）都是格点.

（1）直接写出A/U5C的面积；

(2)要求在图中仅用无刻度的直尺作图，。为线段3c上一动点，当+最小时,

5

找出点。，操作如下：

第一步：作点A关于直线的对称点£，连接8E;

第二步：找格点F,使所，BE,AF交BC于点D,交BE于点H,

请你按照步骤完成作图，并直接写出尸点的坐标和4的最小值.

5

19.(2020•海淀区校级模拟)如图，在AAfiP中，ZABP=60°,90°<ZAPB<120°,过点A

的直线/垂直于线段3P所在的直线.设点5,P关于直线/的对称点分别为点9，P'

(1)在图中画出尸关于直线/对称的三角形AA89.

(2)若NBAP=a,求NAP3的度数.(用a表示)

(3)若点P关于直线4r的对称点为连接AM,PM.请写出A4、RW之间的数量

关系和位置关系，并证明你的结论.

20.(2019•长春四模)探究：如图①点E、F分别在正方形A8C。的边8C、CD±,连接

AE.AF,£F,将AAfiE、AAD尸分别沿越、”折叠，折叠后的图形恰好能拼成与A4EF

完全重合的三角形.若BE=2,DF=3,求他的长；

拓展：如图②点E、尸分别在四边形ABCD的边3C、CD上，且NB=ZT>=90。.连接他、

AF,将AASE、AAZ）下分别沿AE、AF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与AAE尸完全

重合的三角形.若NE4F=30。，AB=4,则A£C产的周长是.

图①图②

21.（2019•石景山区二模）如图在AABC中，ZACB=9O°,AC=BC,E为外角NBCD平

分线上一动点（不与点C重合），点E关于直线BC的对称点为F,连接连接AF并延

长交直线BE于点G.

（1）求证：AF=BE；

（2）用等式表示线段FG,EG与CE的数量关系，并证明.

22.（2019•鼓楼区校级模拟）下面的方格纸中，画出了一个“小老鼠”的图案，已知每个小

正方形的边长为1

（1）在上面的方格纸中作出“小老鼠”关于直线上对称的图案（只画图，不写作法）.

（2）以G为原点，GE所在直线为x轴，GH所在直线为y轴，小正方形的边长为单位长

度建立直角坐标系，问：是否存在以点。为顶点，且过点，和E的抛物线，并通过计算说

2022年中考数学二轮复习之图形的变化

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题）

1.（2021•商河县校级模拟）如图，AA8C与AD砂关于直线轴对称，则以下结论中错

误的是（）

鼠

AD

AA

cF

,V

A.AB//DFB.NB=NE

C.AB=DED.A£＞所连的线段被MN垂直平分

【答案】A

【考点】轴对称的性质

【分析】根据轴对称的性质作答.

【解答】解：A、至与小不是对应线段，不一定平行，故错误；

B、AABC与AD£F关于直线MN轴对称，MAAfiC=,ZB=ZE.正确；

C、AABC与ADEF关于直线MN轴对称，则AABCMADE/7,AB=DE,正确；

D、A48C与ADEF关于直线A7N轴对称，A与。的对应点，A£）所连的线段被垂直

平分，正确.

故选：A.

【点评】本题主要考查了轴对称的性质：①如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形

全等；②如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段或者平行，或者共线，或者相交于对

称轴上一点；③如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.

2.（2021•娄底模拟）一平面镜以与水平面成45。角固定在水平面上，如图所示，一个小球

以bn/s的速度沿桌面向点。匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（）

_Qr__

A.以山?/s的速度，做竖直向上运动

B.以lm/s的速度，做竖直向下运动

C.以变机/s的速度运动，且运动路线与地面成45。角

2

D.以2w/s的速度，做竖直向下运动

【考点】尸4：镜面对称

【专题】16：压轴题

【分析】利用镜面对称的性质求解.镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好

顺序颠倒，且关于镜面对称.

【解答】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对

称，

则小球在平面镜中的像是以l〃z/s的速度，做竖直向下运动.

故选：B.

【点评】本题考查了镜面反射的原理与性质.解决此类题应认真观察，注意技巧，充分发挥

想象能力.

【答案】C

【考点】轴对称图形

【专题】平移、旋转与对称；几何直观

【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可.

【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、是轴对称图形，故此选项符合题意；

不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

故选：C.

【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁

的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

4.（2020•长丰县二模）如图，矩形ABCD中，AB=4,对角线AC、8D交于点O,

ZAOD=\20°,E为BD上任意点,尸为他中点，则尸O+EB的最小值为（）

A.2sB.2+6C.5D.3石

【考点】LB：矩形的性质；KM-.等边三角形的判定与性质；PA-.轴对称-最短路线问

题

【专题】556：矩形菱形正方形；558：平移、旋转与对称；554：等腰三角形与直角三角

形

（分析】取回的中点M和AD的中点N,先证明尸在上,再作B关于MN的对称点H,

BH与MN交于点、G,连接OH,O"与MN交于点尸，并证明此时尸点使FO+

为最小值，最后求出O”便可.

【解答】解：过43的中点M和AD的中点N作直线MN,

BC

•••k为AE的中点，

:.MF!/BE,FNHED,

：.M,F、N三点共线，即F点在线段MN上，

作B关于M/V的对称点H,BH与MN交于点、G,连接0",OH与MN交于点、F,

则班'="F,

此时，BF+OF=HF+OF=OH,其值为最小值.

•.­ZAOD=120°,

.•.Z4OB=60°,

•.•四边形/WCD为矩形，

OA=OB，

为等边三角形，

:.OB=AB=4,ZABO=60°,

-,-MF//BE,

:.ZGMB^ZMBE=60°,

GH=BG=BM.sin60°=-A3・sin60°=有，NHBM=30°.

2

BH=2y/3,ZHBO=90°,

OH=y/BH2+OB2=2y/l,

故选：A.

【点评】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，轴对称的

性质，勾股定理，关键是确定使BF+OF值最小时F点的位置.

5.(2020•新都区模拟)平面直角坐标系中，已知点P(a,3)在第二象限，则点P关于直线机

(直线m上各点的横坐标都是2)对称的点的坐标是()

A.(―。,3)B.(a,—3)C.(—a+2,3)D.(—a+4,3)

【答案】D

【考点】坐标与图形变化-对称

【专题】平面直角坐标系；推理能力

【分析】利用已知直线，“上各点的横坐标都是2,得出其解析式，再利用对称点的性质得出

答案.

【解答】解：•.•直线旭上各点的横坐标都是2,

直线为：x=2,

•.•点P(a,3)在第二象限，

到直线机的距离为：2-4，

.•.点P关于直线机对称的点的横坐标是：2-a+2=4-a,

故P点对称的点的坐标是：(-“+4,3).

故选：D.

【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意得出对称点的横坐标是解题关键.

6.(2020•大连)平面直角坐标系中，点尸(3,1)关于x轴对称的点的坐标是()

A.(3,1)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-1)

【答案】B

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标

【专题】应用意识；平面直角坐标系

【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案.

【解答】解：点P(3,l)关于x轴对称的点的坐标是(3,-1)

故选：B.

【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:

关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横

坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

7.(2019•郑州二模)如图，弹性小球从点尸(0,1)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正

方形D48c的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点

为4(-2,0),第2次碰到正方形的边时的点为鸟，…，第〃次碰到正方形的边时的点为巴，

则点刍“9的坐标是()

A.(0,1)B.(-4,1)C.(-2,0)D.(0,3)

【答案】D

【考点】规律型：点的坐标；生活中的轴对称现象

【专题】平移、旋转与对称

【分析】按照反弹规律依次画图，写出点的坐标，再找出规律即可.

【解答】解：如图，根据反射角等于入射角画图，可知光线从巴反射后到6(0,3),再反射

到巴(-2,4),再反射到4(-4,3),再反射到P点(0,1)之后，再循环反射，每6次一循环，

2019+6=336...3,即点/&的坐标是(0,3),

【点评】本题是生活中的轴对称现象，解答时要注意找到循环数值，从而得到规律.

8.(2019•唐山二模)如图所示，平面上有两条相等的线段AB和8,李明用尺规作轴对称,

经过几次轴对称变换之后两条线段重合，其具体作法如下：

①作线段AB关于直线n的对称线段DA'；

②连接班＞,作线段或»的垂直平分线〃；

③作ZA,DC的平分线m；

④A'£＞沿着直线机对折即可得到CD；

A.①②③④B.④③②①C.④③①②D.②①③④

【考点】KG-.线段垂直平分线的性质；P7：作图-轴对称变换；N2：作图-基本作图

【专题】13：作图题；64：几何直观

【分析】连接应），作线段8。的垂直平分线〃；作线段反关于直线”的对称线段D4'；作

ZA'DC的平分线m;AT）沿着直线m对折即可得到CD.

【解答】解：如图所示，连接作线段应）的垂直平分线〃；作线段A3关于直线〃的对

称线段DA；作NA7X7的平分线机；A'。沿着直线〃:对折即可得到CD；即正确的作图步

骤是②①®@,

故选：D.

【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图，几何图形都可看做是有点组成，在画一个图

形的轴对称图形时，是先从确定一些特殊的对称点开始.

9.（2019•荷塘区一模）如图，在2x2网格中放置了三枚棋子，在其他格点处再放置1枚棋

子，使图形中的四枚棋子成为轴对称图形的概率是（）

【考点】P8：利用轴对称设计图案；X4：概率公式

【专题】1：常规题型

【分析】根据图形设计出第四枚棋子的位置，进而可得答案.

【解答】解：如图所示：

使图形中的四枚棋子成为轴对称图形的概率是：-=

故选：C.

【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，以及概率公式，关键是掌握随机事件A的

概率尸（A）=事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数.

10.（2019•赤峰）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：

①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角

形扔掉；

②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）

【考点】KW：等腰直角三角形；P9：剪纸问题

【专题】38：猜想归纳；556：矩形菱形正方形；64：几何直观

【分析】根据将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，余下面积

为原来面积的一半即可解答.

【解答】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，

第一次：余下面积

12

1

第二次：余下面积邑-

21

-

第三次：余下面积邑

23

当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为$239=击，

故选：C.

【点评】本题考查图形的变化，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考

常考题型.

二、填空题（共5小题）

11.（2021•宿迁模拟）已知点A（m+1,3）与点关于x轴对称,则（m+〃）2"9的值为

【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标

【专题】62：符号意识；531：平面直角坐标系

【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得加、〃的

值，进而可得答案.

【解答】解：•.•点AO+1,3)与点8(2,〃—1)关于x轴对称，

.\m+l=2,—1=-3»

.*.777=1,n=—2,

•・・(m+n)2019=-1,

故答案为：-1.

【点评】此题主要考查了关于X轴对称的点的坐标，关键是掌握关于X轴的点的坐标坐标特

点.

12.(2021•封丘县二模)如图，在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=2,点、M为边

AC的中点，点。为边AC上一动点，连接5。，作ABCD关于直线的轴对称图形，点。

的对应点为点£,连接ME,则"E长度的取值范围为—g-2麴EM3_.

【答案】6-2颊EM3.

【考点】含30度角的直角三角形；轴对称的性质；轴对称图形

【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力

【分析】如图，连接8M.求出8M,根据EM..3M-EM=>/7-2,推出E例的最小值为

将-2,当点。与A重合时，的值最大，求出EM的最大值，可得结论.

【解答】解：如图，连接8M.

B

在RtAABC中，ZC=90,ZA=30°,BC=2,

:.AC=6BC=26,

•：AM=MC=6

BM=IBC2+CM?=百+（扬②=V7,

由对称的性质可知，BE=BC=2,

,:EM..BM-EM=币-2,

二EM的最小值为"-2,

当点。与A重合时，EM的值最大，此时EM_LAC,=AW-tan60°=3,

故答案为：77-2麴EM3.

【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是求出EM的最小值与最大

值，属于中考常考题型.

13.（2020♦瓯海区二模）如图是一个可调节花盆支架，外围是一个圆形框架，如图1,支架

AC,9的长度均为14cm,端点C,D固定在花盆圆形套圈的直径两端，端点A,8可

在外围圆形框架上移动，整个花盆支架始终成轴对称，已知花盆高防=15C7〃，圆形套圈的

直径CD=2（km,且所被CD平分为上下比为1:2,当端点A,3向上调节至最高时，AC,

3。和8同一直线上（如图2所示），此时，花盆底到圆形框架最低点的距离为叩=6加,

则圆形框架的半径为26cm,为了整体美观要求，花盆底到圆形框架最低点的距离FG

【考点】轴对称的性质

【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；应用意识

【分析】如图2中，设圆心为O,连接OG,交花盆的上底于E,交花盆的下底于F,交AB

于T.连接设。4=OG=r.在RtAAOT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.如

图1中，如图1中，连接OG交8于T,连接OC,OB,观察图象可知：当，O,C,A

共线，O,D,B共线时，OC=8=26-14=12最小，此时OE■的值最小，FG的值最大.

【解答】解：如图2中，设圆心为O,连接0G,交花盆的上底于E,交花盆的下底于F,

交43于T.连接。4,设。4=OG=r.

图2

2

由题意AB=AC+CZ)+8£>=14+20+14=48(cm),FG=6cm,TF=-EF=W(cm),

.-.TG=TF+FG=16(cm).

在RtAAOT中，•/OA2=OT2+AT2,

.-.r2=(r-16)2+242,

解得r=26.

如图1中，连接OG交8于T,连接OC,OB,

图1

观察图象可知：当，O,C,A共线，O,D,B共线时，OC=OD=26-14=12最小,

此时OE的值最小，FG的值最大，

在RtAOCT中，CT=10,OC=Y1,

OT=-JOC2-CT2=V122-102=2y/ti(cm),

,：TF=EF=10(cm))

FG=OG-OT-TF=26-2Vi7-10=(16-2Vn)tvn.

故答案为26,（16-2而）.

【点评】本题考查轴对称，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知

识解决问题.

14.（2019•拱墅区校级模拟）在日常生活中，你会注意到有一些含有特殊数字规律的车牌号

码，如：浙A80808,浙7422222,浙A12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一

个数字“对称”的，给人以对称美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照.如

果让你负责制作只以8或9开头且有5个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作200

个.

【考点】P1：生活中的轴对称现象

【专题】558：平移、旋转与对称

【分析】根据数字对称的定义，分第1个数字是8,中间的数字分别是0~9和第1个数字

是9,中间的数字分别是0~9解答.

【解答】解：若第1个数字是8,则第5个数字也是8,

中间的数字分别是0~9时，第2、4个数字分别为0~9各有10种可能，

所以，共有10x10=100种，

同理第1个数字是9时，也有100种，

所以，最多可制作100+100=200种.

故答案为：200.

【点评】本题考查了轴对称，从最中间的数字考虑求解是解题的关键.

15.(2019•滨海县二模)如图，在平面直角坐标系中，0(0,0),A(6,6®8(12,0),将

△OAB沿直线8折叠，使点A恰好落在线段08上的点E处，若OE=3,则的值

【考点】坐标与图形变化-对称

【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；应用意识

【分析】过A作于尸，根据已知条件得到AAOB是等边三角形，推出

△CEO^ADBE,根据相似三角形的性质得到%=g=空，设CE=q,贝I」C4=a,

BDDEEB

CO^n-a,ED=b,则AD=0,OB=l2-b,于是得至U3匕=12«-ab,9a=\2b-ab,

两式相减即可得到结论.

【解答】解：过A作A尸_LO8于尸，

•/A(6,6扬,3(12,0),

AF=6y/3,OF=6,OB=12,

:.BF=6,

;.OF=BF,

:.AO=ABy

Af7/_

•/tanZAOB=——=瓜

OF

.\ZAOB=60°,

「.AAOB是等边三角形，

.\ZAOB=ZABO=60°9

•/将△。钻沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点£处,

:.ZCED=ZOAB=GO0,

:.ZOCE=ZDEB,

NCEO^NEDB，

.OE_CE_CO

茄一而一商’

设C£=a,则C4=a,CO=l2-a,ED=b,则AD=b,DB=12-b,

3_a

\2-b~~b'

「.3〃=12a—a〃①，

12-a_a

-----——,

9b

:.9a=l2h-ab②,

②一①得：15A=21a,

a5

—=一,

b7

B|JCE:DE=5:7,

解法二：•.△CEOsAEOB,ACOE周长15,ADEB周长21,

相似比就是5:7,

CE:DE=5:7,

故答案为：

【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和

性质，证得A4O8是等边三角形是解题的关键.

三、解答题（共7小题）

16.（2021•包河区二模）将正方形和等腰RtAADE如图所示摆放，正方形的边长为2,

将此图剪后拼成一个新的正方形.

（1）新正方形的边长为_2石

（2）在原图中画出剪拼示意图（保留剪和拼的痕迹）;

(3)剪拼过程中，RtAADE被分割成两部分，求这两部分的面积比.

【答案】⑴2班.

(2)作图见解析部分.

(3)1:1.

【考点】图形的剪拼；等腰直角三角形；正方形的判定与性质

【专题】几何直观；矩形菱形正方形；等腰三角形与直角三角形

【分析】(1)求出新正方形的面积，可得结论.

(2)把正方形ABCD分割成4个直角三角形，直角边分别为2,4,A4DE分割成两个全等

的等腰直角三角形即可.

(3)利用全等三角形的性质求解即可.

【解答】解：(1)新正方形的面积为20,故边长为2石.

故答案为2逐.

(2)如图，正方形AMG”即为所求作.

(3)RtAADE被分割成两部分，求这两部分的面积比为：1:1.

【点评】本题考查图形的拼剪，等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质等知识，解题

的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

17.(2020•新吴区二模)如图，在RtAAOC中，NA=30。，点0(0,0),C(l,0),点A在y轴

正半轴上，以AC为一边作等腰直角AACP,使得点P在第一象限.

(1)求出所有符合题意的点尸的坐标；

问题

【分析】(1)根据C(l,0),得到OC=1,解直角三角形得到AC=2,OA=6,如图1,①

当AC=AP,NC4P=90。，过片作轴于5,②当AC=CP,ZACP=90°.过鸟作

轴于£>,③当CP=AP,NAPC=90。，过骂作《EJ_x轴于E,解直角三角形即可

得到结论；

(2)任取A4OC内一点。，连接AQ、BQ、CQ,将AACQ绕点C顺时针旋转60。得到△

A'CQ',于是得到当W。，，OQ,QQ，这三条线段在同一直线时最短，即AQ+OQ+CQ的

最小值=。A，过4作用3,x轴于8,解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：(1)•.•C(l,0),

：.oc=\,

•.•在RtAAOC中，NA=30。，

:.AC=2,OA=6，

如图1,①当AC=AP,ZC4P=90°.过［作6B_Ly轴于3,

则AABPt=\COA,

,-.AB=OC=\,B”AO=G,

OB=1+6,

.•.[(百，1+扬；

②当AC=CP,ZACP=90°,过鸟作轴于£>,

同理可得：CD=OA=&,P2D=\,

6(1+61)；

③当CP=”，ZAPC=90°,过鸟作BEJ_x轴于E,

则8是的中点，

:.OE=^OD=^^,4E=g(OA+£O)=t3,

匕乌上金

322

综上所述，P(y/3,1+75),(1+力，1),(匕走，上茁);

22

(2)如图2,任取A4OC内一点Q,连接A。、0Q、CQ,

将AAC。绕点C顺时针旋转60°得到△A'CQ',

.\A!C=AC=2,CQ=CQ',AQ=AQ,ZACA!=Z.QCQ=60°,

.1△QC。是等边三角形，

：.CQ=QQ,

：.AQ+OQ+CQ=A'Q+OQ+QQ

.•.当WQ,OQ,QQ，这三条线段在同一直线时最短，即AQ+OQ+CQ的最小值=OA,

•.-ZACO=ZAC4,=60°,

.\ZACB=6O°,

过A作A，3_Lx轴于3,

BC=-A'C=1,A'B=也，

2

，O8=2,

A/O=A/0B2+A'B2=布,

:.AQ,OQ、CQ之和的最小值是近.

【点评】本题考查了轴对称-最短距离问题，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，等

边三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键.

18.(2020•武汉模拟)如图，在下列8x8的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点.例

如A(l,5)、8(4,1)、C(4,6)都是格点.

(1)直接写出AABC的面积；

(2)要求在图中仅用无刻度的直尺作图，。为线段8c上一动点，当+最小时,

5

找出点£),操作如下：

第一步：作点A关于直线的对称点E,连接3E；

第二步：找格点F，使"AF交8C于点。，交BE于点H,

请你按照步骤完成作图，并直接写出F点的坐标和4。+』的最小值.

5

【答案】(1)—:

2

(2)F(5,2),40+180的最小值为图形见解析.

【考点】胡不归问题；作图-轴对称变换

【专题】解直角三角形及其应用；平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力；应用意

识

【分析】(1)从网格图上找出A点BC的距离，再根据三角形的面积公式求出结果便可；

(2)按题目中的操作步骤作出图形，结合图形写出F点的坐标便可，再根据三角形的面积

法便可求得便是的最小值.

5

【解答】解：(1)AA8C的面积=".理由如下：

2

•.•3(4,1)、C(4,6),

.-.fiC=6-l=5,

由网格图可知，A点到3C的距离为3,

5M«c=1x5x3=y;

(2)根据题意作出图形如下：

由图网格图可知，F(5,2),人。+《a3。的最小值为弓94.

理由如下：

・・・1(5,2),A(l,5),

：.AM=4,MF=3,

3

/.tanZ.MAF=—，

4

・・•8(4,1)、C(4,6),A、石点关于3C对称，

.\AK=EK=3fBK=4,

KFq

/.tanZ/CBE=——=-,

KB4

：.ZMAF=ZKBE,

・.・ZADK=ZBDH,

.・.ZAKB=/BHD=90。,

:.AH±BE9

S(MSnRoLF.=-2AE，BK=2-BE・AH,

…AE・BK6x424

BE55

,KE3

,/sinZKBE=----=—,

BE5

3

/.DH=BZ).sinZDBH=—BD,

5

324

・•.AD+-BD=AD+DH=AD=—,

55

【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，点的坐标特点，解直角三角形的应用，垂线段

最短定理，第(2)关键是确定格点尸的位置.

19.(2020♦海淀区校级模拟)如图，在AABP中，ZABP=60°.90°<ZAPB<\20°,过点4

的直线/垂直于线段族所在的直线.设点3,P关于直线/的对称点分别为点夕，P'

(1)在图中画出AA5P关于直线/对称的三角形△A8P.

(2)若N54P=a,求/4PB的度数.(用a表示)

(3)若点产关于直线A夕的对称点为M,连接AM,PM.请写出PA、P历之间的数量

关系和位置关系，并证明你的结论.

【考点】P7：作图-轴对称变换

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；558：平移、旋转与对称；69：应用意识

【分析】(1)根据要求画出即可.(2)证明/$3=/铲尸，利用三角形的外角解决问题

即可.

(3)结论：PA=PM,P4与P”所成锐角为60。.证明是等边三角形即可解决问

题.

(2)解：如图1中，设直线/交PP于C,

•.P,P关于直线/对称，过点A的直线/垂直于线段所在的直线,

/.ACA-PP,CP=CP,

:.AP=AP,

：.ZAPP=ZAPB,

又•.•在AABP中，ZB=60。，ZBAP=a,

ZAPB=ZAPP=ZB+ZBAP=60°+a.

(3)如图2中，结论：PA=PM,必与PM所成锐角为60。.

1

理由：设直线/交火于C,AB交叱于

・；B,£关于直线/对称

.・.AC_L而，CB=CB,

f

:.AB=ABf

-.•ZB=60°,

.•.ZB="=60。，

在△叱9中/2=/8+23=60。+/3,

又・・・/2=60。+仪，

：.△=€!，

,.P,M关于A8对称，

:.ABLPM,DP=DM,

:.AP=AM,

.・.N4=Z3=a,

Z5—a，

.\Z4=Z5,

ZPAM=ZPA&+Z4=ZPAJ^+Z5=ZBAff,

,

-,AB=AB9ZB=60°,

.,.M48为等边三角形，

.\ZBAB,=ZPAM=60°,

又・・•由（2）得AP=A产，AP=AM,

:.AP=AM

为等边三角形

:.PA=PM,ZAPM=60°,

即=与R0所成角为60。.

【点评】本题考查作图-轴对称变换，等边三角形的判定和性质，三角形的外角的性质等知

识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

20.（2019•长春四模）探究：如图①点E、F分别在正方形ASCD的边8C、CD上，连接

AE、AF、EF,将AABE、AAD尸分别沿AE\AF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与AAEF

完全重合的三角形.若BE=2,DF=3,求4?的长；

拓展：如图②点E、F分别在四边形A88的边8C、8上，且NB=ND=90。.连接AE、

AF,E尸将A4BE、AATm'分别沿/场、"折叠，折叠后的图形恰好能拼成与A4EF完全

重合的三角形.若NE4尸=30。，AB=4,则AEC户的周长是—.

一3-

图①图②

【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）

【专题】压轴题；图形的全等

【分析】探究：设：正方形的边长为“，则EC=a-2,CF=a-3,则由勾股定理得:

EF2=EC2+CF2,即可求解；

拓展：证明AABC^AADC,ZBAE+Z.DAF=ZEAF=30°,贝IZS4D=60°,

ZBAC=ZDAC=-（ZBAD）=30°,CD=BC=ABtanABAC,即可求解.

【解答】解：探究：

设：正方形的边长为a,贝ljEC=a—2,CF=a—3,

则EF=BE+DF=5,贝UEF2=EC2+CF2,

即：25=3-2尸+（a-3）2,解得：a=6或—1（舍去-1）,

故AB=6；

拓展：

由题意得：AB=AD=4,连接AC,

图②

-.AB=AD,AC=AC,

:.BC=CD,ZBAC=ZDAC,

•.•点£、厂分别在四边形ABC。的边3C、C£)上，

故：ZBAE+ZDAF=ZEAF=30°,则NS4D=60。，

ABAC=NDAC=-(ZBAD)=30°,

CD=BC=ABtanZBAC=4x—=—,

33

AECF的周长=EF+EC+/C=AE+F£>+EC+FC=AC+CO=2CO=—,

3

故答案为：—.

3

【点评】本题考查的是翻折变换(折叠问题)，涉及到正方形的性质、三角形全等等，其中

(2)证明AABCMAAZXL是本题解题的关键.

21.(2019•石景山区二模)如图在AABC中，NACB=90。，AC=BC,E为外角N8CZ)平

分线上一动点(不与点C重合)，点E关于直线BC的对称点为尸，连接8E,连接相1并延

长交直线3E于点G.

(1)求证：AF=BE；

(2)用等式表示线段FG,EG与CE的数量关系，并证明.

【考点】KW；等腰直角三角形；P2：轴对称的性质

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；553：图形的全等

【分析】(1)根据边角边证明AFC4二AECB,所以=B石；

(2)FG,EG与CE的数量关系：GE2+GF2=2CE2,先证明/国开=/£。/=90。，然

后利用勾股定理证明即可.

【解答】解：(1)如图，连接Cr.

・・・，ZACB=90°,CE平分ZBCD,

ZBCE=45°,

•・•点E、/关于直线8c对称，

:.CE=CF,

/FCB=ZBCE=45。,

/.ZFG4=45°,

在AFC4与AFC8中，

CF=CE

<ZFCA=/ECB

AC=BC

:.AFCA=AECB(SAS),

:.AF=BE；

(2)FG,EG与CE的数量关系：GE2+GF2=2CE2.

证明：・.・AFC43AEC8,

:.ZAFC=ABEC，

・・・ZA尸C+NCFG=180。，

/.ZCFG+ZCEG=180°,

・•・NECF+NEG尸=180。，

vZ£CF=450+45°=90°，

iZEGF=90°,

连接£F,

.-.GE2+GF2=EF2,

•,CE=CF,

CE2+CF2=2CE2=EF~,

:.GE2+GF2=2CE2.

B

【点评】本题考查了轴对称的性质与等腰直角三角形的性质，熟练运用勾股定理、三角形全

等的判定与性质是解题的关键.

22.（2019•鼓楼区校级模拟）下面的方格纸中，画出了一个“小老鼠”的图案，已知每个小

正方形的边长为1

（1）在上面的方格纸中作出“小老鼠”关于直线。E对称的图案（只画图，不写作法）.

（2）以G为原点，GE所在直线为x轴，G4所在直线为y轴，小正方形的边长为单位长

度建立直角坐标系，问：是否存在以点。为顶点，且过点”和E的抛物线，并通过计算说

明理由？

【分析】（1）利用轴对称的性质作出对称图形即可.

（2）求出过点Q,，的抛物线的解析式，再判断点E是否在抛物线上即可.

【解答】解：（1）“小老鼠”关于直线上对称的图案如图所示：

(2)建立坐标系后：”(0,2),0(2,3),E(5,0)

假设存在这样的抛物线:

设函数式为：y=a(x-2)2+3,

因为H在抛物线上，所以把x=0,y=2代入抛物线2=W+