2024初中数学竞赛9年级竞赛辅导讲义专题10 最优化含答案

2024初中数学竞赛9年级竞赛辅导讲义专题10最优化阅读与思考数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有：1．配方法由非负数性质得．2．不等分析法通过解不等式（组），在约束条件下求最值．3．运用函数性质对二次函数，若自变量为任意实数值，则取值情况为：（1）当，时，；（2）当，时，；4．构造二次方程利用二次方程有解的条件，由判别式确定变量的取值范围，进而确定变量的最值．例题与求解【例1】当变化时，分式的最小值是．（全国初中数学联赛试题）解题思路：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方确定最小值．【例2】已知，且，则的最小值为（）A.B.3C.D.13（太原市竞赛试题）解题思路：待求式求表示为关于x(或y)的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的是变量x、y的隐含限制．【例3】，在的范围内最小值2a，最大值2b，求实数对(a，b).解题思路:本题通过讨论a，b与对称轴的关系得出结论．【例4】（1）已知的最大值为a，最小值b，求的值．（“《数学周报》杯”竞赛试题）求使取得最小值的实数的值．（全国初中数学联赛试题）（3）求使取得最小值时x，y的值．（“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题）解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等．【例5】如图，城市A处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B需从A市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B修筑一条公路到铁路边，使从A到B的运费最低？（河南省竞赛试题）解题思路：设铁路与公路的交点为C，AC＝x千米，BC＝y千米，AD＝n千米，BD＝m千米，又设铁路每千米的运费为a元，则从A到B的运费，通过有理化，将式子整理为关于的方程．【例6】（1）设，，…，（），为k－r＋1个互不相同的正整数，且xr＋xr＋1＋…＋xk＝2003，求的最大可能值．（香港中学竞赛试题）（2）a，b，c为正整数，且，求c的最小值．（全国初中数学联赛试题）解题思路：对于(1)，因r＝1，对k－r＋1＝k－1＋1＝k个正整数x1，x2，…，xk，不妨设x1＜x2＜…＜xk＝2013，可见，只有当各项x1，x2，…，xk的值愈小时，才能使k愈大（项数愈多），通过放缩求k的最大值；对于（2），从入手．能力训练A级1．已知三个非负数a，b，c，满足3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，则m的最小值为___________，最大值为．2．多项式p＝2x2－4xy＋5y2－12y＋13的最小值为．3．已知x，y，z为实数，且x＋2y－z＝6，x－y＋2z＝3，那么x2＋y2＋z2的最小值为．（“希望杯”邀请赛试题）4．若实数a，b，c，满足a2＋b2＋c2＝9，则代数式(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2的最大值为()（全国初中数学联赛试题）5．已知两点A(3，2)与B(1，－1)，点P在y轴上且使PA＋PB最短，则P的坐标是（）A.(0，)B.(0，0)C.(0，)D.(0，)（盐城市中考试题）6．正实数，满足，那么的最小值为（）A.B.C.1D.E.（黄冈市竞赛试题）7．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量(件)与销售单价(元/件)可近似看作一次函数的关系（如图所示）.（1）根据图象，求一次函数的解析式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S元．①试用销售单价表示毛利润；②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多少？（南通市中考试题）8．方程有一根不大于，另一根不小于，（1）求的取值范围；（2）求方程两根平方和的最大值与最小值．（江苏省竞赛试题）9．已知实数a，b满足，求的最大值与最小值．（黄冈市竞赛试题）10.已知a，b，c是正整数，且二次函数的图象与x轴有两个不同的交点A，B，若点A，B到原点的距离都小于1，求a＋b＋c的最小值．（天津市竞赛试题）11．某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x天应付的养护与维修费为元．（1）如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买设备费用的总和均摊到每一天，叫作每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y（元）表示为使用天数x（天）的函数．（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问：该设备投入使用多少天应当报废？（河北省竞赛试题）B级1．a，b是正数，并且抛物线和都与x轴有公共点，则的最小值是．2．设x，y，z都是实数，且满足x＋y＋z＝1，xyz＝2，则的最小值为．3．如图，B船在A船的西偏北45°处，两船相距km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离为km．（全国初中数学竞赛试题）4．若a，b，c，d是乘积为1的四个正数，则代数式a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋bc＋ac＋ad＋bd＋cd的最小值为（）A.0B.4C.8D.10（天津市竞赛试题）5．已知x，y，z为三个非负实数，且满足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2.若s＝2x＋y－z，则s的最大值与最小值的和为（）A.5B.C.D.（天津市选拔赛试题）6．如果抛物线与x轴的交点为A，B，顶点为C，那么△ABC的面积的最小值为（）A.1B.2C.3D.47．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？（“祖冲之杯”邀请赛试题）8．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p（万元）和q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式：.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？（绍兴市竞赛试题）9．已知为x，y，z为实数，且，，试求的最大值与最小值．10．已知三个整数a，b，c之和为13，且，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的b与c值．（四川省竞赛试题）11．设x1，x2，…，xn是整数，并且满足：①－1≤xi≤2，i＝1，2，…，n②x1＋x2＋…＋xn＝19③x12＋x22＋…＋xn2＝99求x13＋x23＋…＋xn3的最大值和最小值．（国家理科实验班招生试题）12．已知x1，x2，…，x40都是正整数，且x1＋x2＋…＋x40＝58，若x12＋x22＋…＋x402的最大值为A，最小值为B，求A＋B的值．（全国初中数学竞赛试题）专题10最优化例1.4提示：原式=.例2.B提示：由-1≤y≤1有0≤x≤1，则z=2x2+16x+3y2=14x2+4x+3是开口向上，对称轴为的抛物线.例3.分三种情况讨论：①0≤a<b，则f(x)在a≤x≤b上单调递减，∴f(a)=2b，f(b)=2a，即解得②a<b≤0，则f(x)在a≤x≤b上单调递增，∴f(a)=2a，f(b)=2b，即此时满足条件的（a，b）不存在.③a<0<b，此时f(x)在x=0处取得最大值，即2b=f(0)=,b=,而f(x)在x=a或x=b处取最小值2a.∵a<0，则2a<0，又∵f(b)=f()=，∴f(a)=2a，即2a=，则综上，（a，b）=(1，3)或（，）例4.（1），y2=+2.当x=时，y2取得最大值1，a=1；当或x=1时，y2取得最小值，b=.故a2+b2=.(2)如图，AB=8，设AC=x，则BC=8-x，AD=2，CD=，BE=4，CE=BF=AD=2.当且仅当D，C，E三点共线时，原式取最小值.此时△EBC∽△DAC，有,从而x=AC=.故原式取最小值时，x=.(3)如图，原式==AB+BC+CD≥AD，其中A（-2,0），B（0，3x）,C(1,2y),D(3,4),并且当点B，C在线段AD上时，原式取得最小值，此时，.例5.由S=，得an-S+2ay=a，两边平方，经整理得.因为关于y的一元二次方程有实数解，所以，可化为.∵S>an，∴，即，故S最小=.例6（1）设x1≥1，x2≥2，xk≥k，于是1+2+…+k≤x1+x2+…+xk=2003，即k(k+1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴k≤62.当x1=1，x2=2，…x61=61，x62=112时，原等式成立，故k的最大可能值为62.（2）若取，则由小到大考虑b，使为完全平方数.当b=8时，c2=36，则c=6，从而a=28.下表说明c没有比6更小的正整数解.显然，表中c4-x3的值均不是完全平方数，故c的最小值为6.cC4x3(x3<c4)C4-x32161，817,83811,8,27,6480,73,54,1742561,8,27,64,125,216255,248,229,192,131,4056251,8,27,64,125,216,343,512624,617,598,561,500,409,282,113A级1．2．13．14提示：y=5－x,z=4－x，原式=3(x－3)2+14．4．A提示：原式=27－(a+b+c)2．5．D6．C7．(1)y=－x+1000(500≤x≤800)(2)①S=(x－500)(－x+1000)=－x2+1500x－500000(500≤x≤800);②S－(x－750)2+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，此时销量为250件．8．（1）－4≤m≤2（2）设方程两根为x1，x2，则x12+x22=4(m－)2+10，由此得x12+x22最小值为10，最大值为101．9．设a2－ab+b2=k，又a2+ab+b2=1②，由①②得ab=(1－k)，于是有（a+b)2=(3－k)≥0，∴k≤3，从而a+b=．故a，b是方程t2t+=0的两实根，由Δ≥0，得．10．设A（x1,0)，B（x2，0)，其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根，则有x1+x2=<0，x1x2=>0，得x1<0，x2<0，由Δ=b2－4ac>0，得b>．∵|OA|=|x1|<1，|OB|=|x2|<1，∴－1<x1<0，－1<x2<0，于是=x1x2<1，c<a．由于a是正整数，已知抛物线开口向上，且当x=－1时，对应的二次函数值大于0，即a－b+c>0，a+c>b．又a，b，c是正整数，有a+c≥b+1>2+1，从而a+c>2+1，则，于是a>4，即a≥5，故b>2≥2，即b≥5．因此，取a=5，b=5，c=1，y=5x2+5x+1满足条件，故a+b+c的最小值为11．11．（1）该设备投入使用x天，每天平均损耗为y===．(2)y=．当且仅当，即x=2000时，等号成立．故这台设备投入使用2000天后应当报废．B级1．20提示：a2－8b≥0，4b2－4a≥0，从而a4≥64b2≥64a，a≥4，b2≥4．2．4提示：构造方程．3．提示：设经过t小时后，A，B船分别航行到A1，B1，设AA1=x，则BB1=2x，B1A1==．4．D提示：a2+b2≥2ab，c2+d2≥2cd，∴a2+b2+c2+d2≥2(ab+cd)≥4=4．∴ab+cd≥2，同理bc+ad≥2，ac+bd≥2．5．A提示：x=s－2≥0,y=5－s≥0，z=1－s≥0，解得2≤s≤3，故s的最大值与最小值的和为5．6．A提示：|AB|=，C(），，而k2+2k+5=(k+1)2+4≥4．7．设此商品每个售价为x元，每日利润为S元．当x≥18时，有S=[60－5（x－18)](x－10)=－5(x－20)2+500，即当商品提价为20元时，每日利润为500元；当x≤18时，S=[60+10（18－x)](x－10)=－10(x－17)2+490，即当商品降价为17元时，每日利润最大，最大利润为490元，综上，此商品售价应定为每个20元．8．设对甲、乙两种商品的资金投入分别为x，(3－x)万元，设获取利润为s，则s，s－=，两边平方，经整理得x2+(9－10s)x+25s2－27=0，∵关于x的一元二次方程有实数解，∴（9－10s)2－4×（25s2－27)≥0，解得，进而得x=0.75（万元），3－x=2.25(万元）．即甲商品投入0.75万元，乙商品投入2.25万元，获得利润1.05万元为最大．9．y=5－x－z，代入xy＋yx＋zx=3，得x2＋(z－5)x＋(z2－5z＋3)=0．∵x为实数，∴Δ=(z－5)2－4(z2－5z＋3)≥0，解得－1≤z≤,故z的最大值为，最小值为－1．10．设，则b=ax，c=ax2，于是，a＋b＋c=13，化为a(x2＋x＋1)=13．∵a≠0，∴x2＋x＋1－=0①．又a，b，c为整数，则方程①的解必为有理数，即Δ=－3>0，得到1≤a≤，且为有理数，故1≤a≤16．当a=1时，方程①化为x2＋x－12=0，解得x1=－4，x2=3．故amin=1，b=－4，c=16或amin=1，b=3，c=9．当a=16时，方程①化为x2＋x＋=0．解得x1=－，x2=－．故amin=16，b=－12，c=9；或amin=16，b=－4，c=1．11．设x1，x2，…，xn中有r个－1，s个1，t个2，则，得3t＋s=59，0≤t≤19．∴x13＋x23＋…＋xn3=－r＋s＋8t=6t＋19．∴19≤x13＋x23＋…＋xn3≤6×19＋19=133．∴在t=0，s=59，r=40时，x13＋x23＋…＋xn3取得最小值19；在t=19，s=2，r=21时，x13＋x23＋…＋xn3取得最大值133．12．∵把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，∴x12＋x22＋…＋x402的最大值和最小值存在．不妨设x1≤x2≤…≤x40．若x1>1，则x1＋x2=(x1－1)＋(x2＋1)，且(x1－1)2＋(x2＋1)2=x12＋x22＋2(x2－x1)＋2>x12＋x22．于是，当x1>1时，可以把x1逐步调整到1，此时，x12＋x22＋…＋x402的值将增大．同理可以把x2，x3，…，x39逐步调整到1，此时x12＋x22＋…＋x402的值将增大．从而，当x1，x2，…，x39均为1，x40=19时，x12＋x22＋…＋x402取得最大值，即A=＋192=400．若存在两个数xi，xj，使得xj－xi≥2（1≤i＜j≤40），则（xi＋1)2＋(xj－1)2=xi2＋xj2－2(xi－xj－1)<xi2＋xj2．这表明，在x1，x2，…，x40中，若有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1此时，x12＋x22＋…＋x402的值将减小，因此，当x12＋x22＋…＋x402取得最小值时，x1，x2，…，x40中任意两个数的差都不大于1．故当x1=x2=…=x22=1，x23=x24=…=x40=2时，x12＋x22＋…＋x402取得最小值，即=94从而，A+B=494.专题11是偶然还是必然—概率初步阅读与思考统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此基础上作出推断的学科．在自然界和人类社会中，严格确定性的现象十分有限，不确定性现象却是大量存在的，而概率正是对随机现象的一种数学描述．数学中用概率来表示事件发生的机会大小，概率是一个比值，用字母P表示，计算公式是：事件发生的概率P=在具体的计算中，常用到树形图、列表、穷举等方法．统计与概率互为基础，概率这一概念是建立在概率这一统计量稳定性的基础上的，而推断、估计等统计方法的科学性有赖于概率理论的严密性．例题与求解【例1】一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是．（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）解题思路：用列表法列出所有情形．【例2】一项“过关游戏”规定：在第n关要掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关；否则不算过关．现有下列说法：①过第一关是必然事件；②过第二关的概率是；③可以过第四关；④过第五关的概率大于0．其中，正确说法的个数为（）A．4个 B．3个C．2个 D．1个解题思路：对于（2），在理解“过关”意义的基础上，逐步计算相关概率．【例3】如图，用红、蓝、黄三色将图中区域A，B，C，D染色，要求有公共边界的相邻区域不能染相同的颜色，则满足区域A恰好染蓝色的概率为．解题思路：用树形图列出所有可能情形，或从整体考虑．【例4】小明准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上的小陈手机号码中，有两个数字已模糊不清．如果用x，y表示这两个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x370y580（手机号码由11个数字组成），小明记得这11个数字之和是20的整数倍．求小明一次拨对小陈手机号码的概率．解题思路：建立关于x，y的不定方程，由此可得x，y可能的对应值的所有情况．【例5】杨华与李红用五张相同规格的硬币纸片做拼图游戏．硬纸片正面如下图1所示，背面完全一致．将它们背面朝上洗匀后，同时抽出两张．规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，李红得1分；问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？解题思路：游戏对双方公平是指双方积分相同．解题的关键是分别求出杨华、李红的得分．【例6】一个正三角形ABC的每一个角各有一只蚂蚁，每只蚂蚁开始朝另一只蚂蚁做直线运动，目标角是随机选择．求蚂蚁不相撞的概率．（微软公司招聘面试试题）解题思路：三只蚂蚁在每个角上都有两种选择的方向（顺时针或逆时针），因每只蚂蚁选择的不确定性，故组成的各种情形似乎繁杂．出题用意就在于考查应试者摒除习惯因素的干扰、切中要害、化繁为简的能力．

能力训练A级1．如图1，图中有一个黑球，图2有3个同样大小的球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；图3为6个同样大小的球叠成德图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；…则从第n个图中随机取一个球，是黑球的概率为．（株洲市中考试题）2．有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将他们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为．（重庆市中考试题）3．小丁、小明、小倩在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序．他们约定用“剪刀、布、锤子”的方式确定．那么，在一个回合中三个人都出“布”的概率是．（海南省中考试题）对于平面内任意一个凸四边形ABCD，现从以下四个关系式①AB=CD；②AD=BC；③AB//CD；④∠A=∠C中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是．（广州市中考试题）5．在0，1，2三个数中任取两个，组成两位数，则在组成的两位数中是奇数的概率为（）A． B．C． D．（泰安市中考试题）6．从分别写有数字1，2，3，4，5的五张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率为（）A． B．C． D．（全国初中数学联赛试题）7．经过某十字路口的汽车，可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性大小相同，则两汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（）A． B．C． D．（呼和浩特市中考试题）8．盒子里有十个球，每个球上写有1～10中的一个数字，不同的球上数字不同，其中两个球上的数字之和可能是3，4，…，19．现从盒中随意取两个球，这两个球上的数之和最有可能出现的是（）A．2 B．10C．11 D．209．一个口袋中有三个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，……不断重复上诉过程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（）A．18个 B．15个C．12个 D．10个（青岛市中考试题）10．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针．若直角三角形的两条直角边长分别是2和1，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是（）A． B．C． D．（临沂市中考试题）11．有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字1，2，-1，-2．把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张，记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字．用字母b，c分别表示甲、乙两同学抽出的数字．（1）用列表法求关于x的方程有实数解的概率；（2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率．12．将背面完全相同，正面分别写有数字1，2，3，4的四张卡片混合后，小明从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数；将形状、大小完全相同，分别标有数字1，2，3的三个小球混合后，小华从中随机地抽取一个，把小球上的数字作为减数，然后计算出这两个数的差．（1）请你用画树形图或列表的方法，求这两个数差为0的概率；（2）小明与小华做游戏，规则是：若这两数的差为非负数，则小明赢；否则，小华赢．你认为该游戏公平吗？请说明理由．如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．（重庆市中考试题）B级1．一只盒子中有红球m个，白球10个，黑球n个，每个球除颜色外都相同．从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同．那么，m与n的关系是．（山东省竞赛试题）2．某广场地面铺满了边长为36cm的正六边形地砖．现在向上抛掷半径为cm的圆碟，圆碟落地后与地砖间的间隙不相交的概率大约是．（太原市竞赛试题）3．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100m接力跑比赛．如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么，恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（）A． B．C． D．（浙江省竞赛试题）4．一条绳子被任意割成两段，较长的一段至少是较短的一段的x倍的概率为（）A． B．C． D．E．（美国高中数学考试题）5．把一颗六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与轴有两个不同交点的概率是（）A． B．C． D．（全国初中数学竞赛试题）6．长为1，2，3，4，5的线段各一条，从这五条线段中任取三条，能构成钝角三角形的概率为（）A． B．C． D．7．一张数学游戏在两个同学甲、乙之间进行．裁判在黑板上先写出正整数2，3，…，2006，然后随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去另一个数，如此下去）．若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜．按照这种游戏规则，求甲获胜的概率．（四川省竞赛试题）8．任意选择一对有序整数(b，c)，其中每一个整数的绝对值小于或等于5，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的．求方程没有相异正实根的概率．（美国高中数学考试题）9．袋中有数字卡片九张，其数字分别为1～9．若随机一次抽出三张，求被抽出的卡的数字全是奇数的概率．（香港中学数学竞赛试题）10．将20个球放入两个袋中，每袋10个球，各袋中的球分别标上自然数1～10，其中一袋中的球全是白色，另一袋中的球全为黑色．若从两个袋中任意各取一个球，求白球上的数比黑球上的数大的概率．（香港中学生数学竞赛试题）11．如图，将三枚相同的硬币依次放入一个4×4的正方形格子中（每个正方形格子只能放一枚硬币）．求所放的三枚硬币中，任意两个都不同行且不同列的概率．（四川省竞赛试题）12．在一个口袋中有n个小球，其中两个是白球，其余为红球，这些球的形状、大小、质地完全相同．在看不到球的情况下，从袋中随机地取出一个球．（1）若取出的是红球的概率为，求n的值；（2）在（1）的条件下，把这n个球中的两个标号为1，其余分别标号为2，3，…，n-1，随机地取出一个小球后不放回，再随机地取出一个小球，请用列表法或树形图求第二次取出的小球标号大于第一次取出的小球标号的概率；（3）若第（2）问去掉“在（1）的条件下”，且第二次取出的小球标号大于第一次取出的小球标号的概率为，求n的值．专题11是偶然还是必然一概率初步例1P（朝上的面两数之和为7）==，例2B提示：①②③正确.例3由树形图知，共有12种不同的染色情形，其中，A处染蓝色共有4种情形，所求概率为=.例4手机号码的数字之和为，设36+x+y=20k(k为正整数)，则x+y=20k-36．又0≤x≤9，0≤y≤9．∴0≤z+y≤18，即0≤20k-36≤18，解得l.8≤k≤2.7，∵k为整数，∴k=2．从而x+y=4，(x，y)=(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)．故小明一次拨对小陈手机号码的概率为．例5(1)∵P（拼成电灯）=，P（拼成小人）=，P（拼成房子）=，P（拼成小山）=.∴杨华平均每次得分为（分），李红平均每次得分为（分）．故游戏规则对双方不公平．(2)改为当拼成的图形是小人时杨华得3分，其余规则不变，就能使游戏规则对双方公平．例6选择一只蚂蚁A作为参照标准，一旦A确定了自己的运动方向，那么其他蚂蚁必须做相同方向的运动才能避免相撞，蚂蚁B，C分别有的概率选择与A相同的运动方向，故蚂蚁避免撞到一起的概率为A级1．2．3．4．提示：其中①②、①③、③④可得出四边形ABCD是平行四边形．5．A6.C7．C8.C9．C10．C11．(1)P=(2)P=12．(1)P==(2)该游戏不公平．游戏规则改为：若这两数的差为正数，则小明赢；否则，小华赢．B级1．m+n=102．提示：欲使圆碟不压地砖间的间隙，则圆碟的圆心必须落在与地砖同心、边与地砖边彼此平行、距离为cm的小正六边形内，如图，A2O=A1A2=36，作OC1⊥A1A2，C1C2=，A2C1=18,C1O=A2O=,C2O=C1O-C1C2=，又C2O=B2O,得BO2=24=B1B2.故P=．3.A提示：=．4．E提示：如图，设AB是这种绳子，P是AB上一点，使得AP：PB=1：x．若AP=s，则PB=sx．所求截点在AP上的概率为，又因为截点位于线段另一端B同样距离的线段上的可能性是一样的，则所求事件的概率是．5.C6．C提示：(2，3，4)，(2，4，5)满足a2+b2<c2.7.解题的关键是对数组进行恰当的分类，并根据裁判擦去的数是奇数还是偶数进行讨论：2，3，…，2006中有1002个奇数、l003个偶数．①若裁判擦去的是奇数，此时乙一定获胜．因为乙不管甲擦什么数，只要还有奇数就擦奇数，这样，最后两个数一定都是偶数，从而所剩的两个数不互质．②若裁判擦去的是偶数，此时甲一定获胜．设裁判擦去的数是2m，则将所剩的数配成1002对：(2，3)，…，(2m-2，2m-1)，(2m+l，2m+2)，(2005，2006)．这样，不管乙擦去哪一个数，甲都擦去所配对的数对中的另一个数，最后剩下的两个数必互质，故甲胜。故甲获胜的概率为.8．从问题的反面考虑，设方程x2+bx+c有两相异的正实根x1，x2，则b2-4c>0，x1x2=c>0，x1+x2=-b>0，，．于是b=-3且c=1或2；或b=-4且c=1，2，3；或b=-5且c=1,2，3，4，5．因此，有10对有序整数可使方程有相异正实根，而可取的有序整数共有ll2对．故所求的概率为．9．数字卡1,2,3，…，9中奇数卡有1,3,5,7,9，由这五个奇数中的三个奇数组成的所有不同的组合共有个,而直接由数字卡1,2,3，…，9中取三张卡组成的所有不同的组合共有个，故从九张卡1,2，…，9中抽出三张卡全是奇数的概率为．10．首先确定白球、黑球上的数出现的概率，再将所得的结果相乘、相加即可．在白（黑）球的袋中任取一个球，取到数为110的球的机会是一样的，因此取到各个球的概率都是，现假设从白球袋中取得的球上的数为10（概率为），要使从黑球袋中取得的球上的数小于10，那么黑球上的数只能是9，8．…，2，1（概率为）；同样，设从白球袋中取得的球上的数为9（概率为）．要使从黑球袋中取得的球上的数小于9，那么黑球上的数只能是8，…，2,1（概率为）．以此类推，设从白球袋中取得的球上的数为2(概率也为EQ\F(1,10))，要使从黑球袋中取得的球上的数小于2，那么黑球上的数只能是1(概率为EQ\F(1,10)).因此，从两个袋中任意各取一个球，白球上的数比黑球上的数大的概率为EQ\F(1,10)×EQ\F(9,10)＋EQ\F(1,10)×EQ\F(8,10)＋EQ\F(1,10)×EQ\F(7,10)＋……＋EQ\F(1,10)×EQ\F(2,10)＋EQ\F(1,10)×EQ\F(1,10)＝EQ\F(9,20).11.总的放法数n＝16×15×14＝3360种.第一枚硬币放入16个格子有16种放法，与第一枚硬币不同行且不同列的第二枚硬币有9种放法，与前两枚硬币不同行且不同列的格子有4种放法，满足题意要求的放法有m＝16×9×4＝576种.故所求概率为P＝EQ\F(m,n)＝EQ\F(16×9×4,16×15×14)＝EQ\F(6,35).12.⑴由EQ\F(n－2,n)＝EQ\F(3,5)，得n＝5.⑵P＝EQ\F(9,20).⑶P＝EQ\F(2(n－2)＋(n－3)＋…＋2＋1,n2－n)＝EQ\F((n－2)(n＋1),2n(n－1))＝EQ\F(22,45)，即n2－n－90＝0，解得n＝10或n＝－9(舍去).专题12三角函数阅读与思考三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的重要体现，解三角函数相关问题时应注意以下两点：1．理解同角三角函数间的关系．（1）平方关系：；（2）商数关系：，；（3）倒数关系：．2．善于解直角三角形．从直角三角形中的已知元素推求其未知的一些元素的过程叫作解直角三角形．解直角三角形，关键是合理选用边角关系，它包括勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的概念．许多几何计算问题都可归结为解直角三角形，常见的基本图形有：例题与求解【例1】在△ABC中，BC＝1992，AC＝1993，AB＝，则．解题思路：通过计算，寻找BC2，AC2，AB2之间的关系，判断三角形形状，看能否直接用三角函数的定义解题．【例2】某片绿地形状如图所示，其中∠A＝600，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝200m，CD＝100m．求AD，BC的长．（精确到1m，）解题思路：本题的解题关键是构造直角三角形，构造的原则是不能破坏∠A，所以连结AC不行．延长AD和BC交于一点E（如图1），这样既构造出了直角三角形，又保全了特殊角∠A；或过点D作矩形ABEF（如图2）来求解．【例3】如图，已知正方形ABCD中，E为BC上一点．将正方形折叠起来，使点A和点E重合，折痕为MN．若，DC＋CE＝10．（1）求△ANE的面积；（2）求的值．解题思路：将与DC＋CE＝10结合起来，可求出相关线段的长，为解题铺平道路．【例4】如图，客轮沿折线A—B—C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A—B—C上的某点E处．已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝900，客轮速度是货轮速度的2倍．（1）选择：两船相遇之处E点（ ）A．在线段AB上B．在线段BC上C．可以在线段AB上，也可以在线段BC上（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）（南京市中考试题）解题思路：对于（2），过D作DF⊥CB于F，设DE=x，建立关于x的方程．【例5】若直角三角形的两个锐角A，B的正弦是方程的两个根．（1）那么，实数p，q应满足哪些条件？（2）如果p，q满足这些条件，方程的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A，B的正弦？（江苏省竞赛试题）解题思路：解本例的关键是建立严密约束条件下的含不等式、等式的混合组，需综合运用一元二次方程，三角函数的知识与方法．【例6】设a，b，c是直角三角形的三边，c为斜边，整数n≥3．求证：．（福建省竞赛试题）解题思路：由直角三角形的边可以转化为三角函数正余弦来解．其不等关系可以利用正弦、余弦的有界性来证明．能力训练A级1．如图，D是△ABC的边AC上一点，CD＝2AD，AE⊥BC于E．若BD＝8，，则AE＝．2．已知，则的最大值是，最小值是．（上海市理科实验班招生考试试题）3．如图，在△ABC中，∠C＝900，∠BAC＝300，BC＝1，D为BC边上的一点，是方程的一个较大的根，则CD＝．4．已知△ABC的两边长a＝3，c＝5，且第三边长b为关于x的一元二次方程的两个正整数根之一，则的值为．（哈尔滨中考试题）5．如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东600距离500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）A．250m B．m C．m D．m 6．如图，在△ABC中，∠C＝900，∠ABC＝300，D是AC的中点，则的值是（ ）A． B． C． D．（大连市中考试题）7．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东600方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行．半小时后到B处，在B处看见灯塔M在北偏东150方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）（黄冈市中考试题）A．海里 B．海里 C．7海里 D．14海里8．如图，四边形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，AD＝8，AB＝7，则BC＋CD等于（）A． B． C． D．9．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图．已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝300，另一根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝600．（1）求垂直支架CD的长度（结果保留根号）；（2）求水箱半径OD的长度（结果保留三位有效数字，参考数据：）．（扬州市中考试题）10．若为锐角，求证：．（宁波市竞赛试题）11．如图，已知AB＝CD＝1，∠ABC＝900,∠CBD＝300，求AC的长．（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）12．如图，在△ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于点D，CD＝1．若AD，BD的长是关于x的方程的两根，且，求p，q的值并解此二次方程．B级1．若，且（k为常数，k＜0），则m的取值范围是．2．设，，则．（武汉市选拔赛试题）3．已知在△ABC中，∠A，∠B是锐角，且，AB＝29cm，则△ABC的面积等于．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且，则有．（全国初中数学联赛试题）5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝900,∠CAB＝300，AD平分∠CAB，则的值为（）A． B． C． D．（湖北省选拔赛试题）6．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一点，∠ABE＝450，则的值等于（）（天津市竞赛试题）A． B．2 C． D．37．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝900,∠CBD＝300，则＝（）A． B． C． D．（山东省竞赛试题）8．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道是由两段互相平行并且与地面成370角的楼梯AD，BE和一段水平天台DE构成．已知天桥高度BC＝4.8米，引桥水平跨度AC＝8米．（1）求水平天台DE的长度；（2）若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比．（参考数据：取）（长沙市中考试题）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c＝．若关于x的方程有两个相等的实根，又方程的两实数根的平方和为6，求△ABC的面积．（武汉市中考试题）10．如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为，且与都是锐角．已知四边形EFGH的面积为S．（1）求证：；（2）试用来表示正方形ABCD的面积．（全国初中数学联赛试题）11．如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝900，BC＝CD＝10，．(1)求梯形ABCD的面积；（2）点E，F分别是BC，CD上的动点，点E从点B出发向点C运动，点F从点C出发向点D运动．若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF，求△EFC面积的最大值，并说明此时E，F的位置．（济宁市中考试题）12．如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面．已知当冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为300，此时，求：（1）如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？（2）如果甲楼的影子刚好落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少？（山东省竞赛试题）专题12三角函数例1AC2－BC2＝(1993＋1992)(1993－1992)＝1993＋1992＝AB2，∴AC2＝AB2＋BC2，得∠B＝90°，故原式＝(EQ\F(1992,1993))2.例2AD＝227m，BC＝146m.解法一:延长AD，BC交于点E，如图1.在Rt△ABE中，AB＝200m，∠A＝60°，∴BE＝AB·tanA＝200EQ\r(,3)(m)，AE＝EQ\F(AB,cos60°)＝EQ\F(200,0.5)＝400(m).在Rt△CDE中，CD＝100m.∠E＝90°－∠A＝30°，∴CE＝2CD＝200(m.∵cot∠E＝EQ\F(DE,CD)，DE＝CD·cot30°＝100EQ\r(,3)(m)，∴AD＝AE－DE＝400－100EQ\r(,3)≈227(m)，BC＝BE－CE＝200EQ\r(,3)－200≈146(m).解法二:如图2，过点D作矩形ABEF.设AD＝x.在Rt△AFD中，∠DAF＝90°－60°＝30°，∴DF＝EQ\F(1,2)AD＝EQ\F(1,2)x，AF＝EQ\F(EQ\r(,3),2)x，在Rt△CED中，∠CDE＝30°，∴CE＝EQ\F(1,2)CD＝50(m)，DE＝EQ\F(EQ\r(,3),2)CD＝50EQ\r(,3)(m)，∵DE＋DF＝AB.∴50EQ\r(,3)＋EQ\F(1,2)x＝200，解得x＝400－100EQ\r(,3).∴AD＝400－100EQ\r(,3)≈227(m).∵BC＋CE＝AF，∴BC＝AF－CE＝EQ\F(EQ\r(,3),2)(400－100EQ\r(,3))－50＝200EQ\r(,3)－200≈146(m).例3⑴EQ\F(10,3)⑵EQ\F(3,5)提示：tan∠AEN＝tan∠EAB＝EQ\F(EB,AB).例4⑴设DE＝x(海里)，则客轮从A点出发到相遇之处E点的距离为2x海里.若2x<200，则x<100，即DE<EQ\F(1,2)AB，而从D点出发，货轮到相遇点E处的最短距离是100海里，所以x≥100，即2x≥200，故相遇处E点应在CB上，选B.⑵设货轮从出发点D到两船相遇处E共航行了x海里，如图，过D作DF⊥CB于F，连DE，则DE＝x，AB＋BE＝2x，DF＝100，EF＝300－2x，由x2＝1002＋(300－2x)2，得x＝200－EQ\F(100EQ\r(,6),3)(海里).例5⑴p，q应满足以下条件：EQ\B\lc\{(\a