2023-2024学年白银市靖远县高一数学（下）4月考试卷附答案解析

-2024学年白银市靖远县高一数学（下）4月考试卷时间：120分钟满分：150分2024.04一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，，若，（

）A．8 B．6 C．4 D．22．已知向量满足，则（

）A．8 B． C． D．43．在中，若为边上的中线，点在上，且，则（

）A．B．C． D．4．向量，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．5．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．6．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是A． B．C． D．7．某校共有学生2500人，为了解学生的身高情况，用分层抽样的方法从三个年级中抽取容量为50的样本，其中高一抽取14人，高二抽取16人，则该校高三学生人数为（

）A．600 B．800 C．1000 D．12008．在边长为2的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分.9．下列关于平面向量的说法中不正确的是（

）A．，,若,则B．单位向量，，则C．若且，则D．若点为的重心，则10．下列命题中是真命题的有（

）A．一组数据2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同；B．有A、B、C三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30；C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲；D．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的80%分位数为4.5．11．的内角、、的对边分别为、、，则下列命题正确的是（

）．A．若，则是的垂心B．若，则直线必过的外心C．若，则为直角三角形D．若，则角的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=.13．已知某企业有男职工人，女职工人，为了解该企业职工的业余爱好，采用抽样调查的方式抽取人进行问卷调查，最适当的抽样方法是；其中女职工被抽取的人数为．14．在中，，，，则四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤.15．已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，求与的夹角的余弦值．16．为了解同学们每天进行户外锻炼的时长，某兴趣小组在高一年级随机调查了500位同学，得到如下的样本数据的频率分布直方图．(1)求a，并估计每天户外锻炼时长在40min～70min的人数；(2)用样本估计总体，估计高一年级同学每天进行户外锻炼的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(3)求高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数．17．设，为两个不共线的向量，若，.(1)若与共线，求实数的值；(2)若，为互相垂直的单位向量，且，求实数的值.18．已知向量，，其中，.求：（1），；（2）与的夹角的余弦值.19．如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.(1)若，求的值；(2)设，，，，求的值；1．A【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可得到的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解得：，故选：A.2．D【分析】根据模长平方可得.【详解】因为，所以，又因为所以，所以.故选：D.3．A【分析】利用三角形法则和平行四边形法则表示向量.【详解】如图所示，在中，因为为边上的中线，所以为的中点，所以由平行四边形法则有：，又点在上，且所以，所以，故选：A.4．D【分析】直接由投影向量公式求解即可.【详解】在上的投影向量为.故选：D.5．B【分析】根据向量垂直数量积等于，结合已知条件求出，利用向量夹角公式即可求解.【详解】由，所以，即，因为，设向量的夹角为，所以，所以.故选：B.6．A【详解】∵∴−=3(−)；∴=−.故选A.7．C【分析】利用分层抽样的方法直接求解.【详解】高三应抽取人，所以高三的学生人数为故选：C8．B【分析】建立平面直角坐标系，设，表达出，求出取值范围.【详解】以A为坐标原点，分别以AB，AD为x轴，y轴，建立直角坐标系，则，设，则，因为，所以，.故选：B9．AC【分析】利用向量共线的坐标表示即可判断A，将展开后结合即可判断B，向量数量积不满足消去律，可判断选项C，根据向量的线性运算及三角形重心的性质可判断选项D.【详解】对于选项A：因为，则，解得：，故选项A不正确；对于选项B：，所以，故选项B正确；对于选项C：根据向量的几何意义可知若且，则不一定成立，故选项C不正确；对于选项D：若点为的重心，取的中点，则，故选项D正确，故选：AC10．AD【分析】对于A，直接求出平均数，众数和中位数即可判断；对于B，利用分层抽样直接求样本容量即可判断；对于C，计算出乙组数据的方差为4.4，利用方差的意义即可判断；对于D，直接求出该组数据的分位数即可判断．【详解】A：数据的平均数为，众数和中位数都是3，故A正确；B：根据样本的抽样比等于各层的抽样比知，样本容量为，故B错误；C：乙组数据的平均数为，乙组数据的方差为，所以这两组数据中较稳定的是乙，故C错误；D：该组数据共10个数，由，则该组数据的分位数为4.5，故D正确．故选：AD11．ACD【分析】推导出，同理可得，，可判断A选项；利用设，，则，以、为邻边作平行四边形，利用菱形的几何性质可判断B选项；由可得，利用平面向量垂直的数量积表示可判断C选项；分析可知，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值，结合角的取值范围可判断D选项.【详解】对于A选项，由题意可得，所以，，同理可得，，故为的垂心，A对；对于B选项，设，，则，以、为邻边作平行四边形，则平行四边形为菱形，则，所以，，又因为平分，故必经过的内心，B错；对于C选项，由可得，整理可得，即，故为直角三角形，C对；对于D选项，，则，所以，，即，当且仅当时，等号成立，又因为，故，即角的最大值为，D对.故选：ACD.12．【详解】∵平面向量与的夹角为，∴.∴故答案为.点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2)常用来求向量的模．13．分层抽样【分析】根据特征可知最佳抽样方法为分层抽样，按抽样比例计算可得女职工被抽取的人数.【详解】最适当的抽样方法是分层抽样．女职工被抽取的人数为．故答案为：①分层抽样；②60.14．【分析】根据角的余弦定理形式求解出的值，再根据余弦定理求解出的值.【详解】因为，所以，所以，故答案为：.15．(1)或(2)【分析】（1）根据向量平行列方程，即可求得的值；（2）根据平面向量垂直列方程，求出的值，再结合坐标运算求与的夹角的余弦值即可．【详解】（1）因为，，，所以，

即，所以或．（2）因为，所以，即所以，所以，即，

所以,，则，所以.16．(1)，220(2)37(3)49.5【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积之和为1求，然后用总人数乘以频率即可估计；（2）由平均数的计算公式直接计算即可求解；（3）由百分位数的定义直接列方程求解即可.【详解】（1）∵，∴，估计每天户外锻炼时长在40min～70min的人数为（人）．（2）由题意知，平均时长为（min）．（3）∵，．∴高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数在之间，设高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数为x，则，解得，∴高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数是49.5min．17．(1)(2)【分析】（1）由与共线，设，由，可得且，即可求得结果；（2）由已知可得，化简计算即可求得结果.【详解】（1）根据题意，，为两个不共线的向量，且，；若与共线，则存在实数k，使得则有，则有且，解可得；（2），为互相垂直的单位向量，若，则有，变形可得：，故.18．（1），；（2）【分析】（1）根据，，得到的坐标，再利用坐标运算求数量积及.（2）设与的夹角为，先求得，再利用夹角公式求解.【详解】（1）因为，，所以，，所以，所以，所以.（2