《离散数学》教学大纲

课程教案

课程名称：离散数学

《离散数学》教学大纲

一、课程简介

本大纲根据2009版应用型人才培养方案制订。

（一）教学对象：网络工程、计算机科学与技术专业本科学生

（二）开课学期：第三学期

（三）课程类别：专业基础课

（四）考核方式：考试

（五）参考教材：《离散数学》第2版邓辉文清华大学出版社2010.

主要参考书目：

[1]邵学才，叶秀明.离散数学[M].北京电子工业出版社，2009.

[2]邵志清，虞慧群.离散数学[M].北京电子工业出版社，2003.

[3]屈婉玲.离散数学习题解析[M].北京大学出版社，2008.

本课程的先修课程是高等数学、线性代数，后续课程包含数据结构、数据库原理

及应用、操作系统、数字逻辑、人工智能、算法分析与设计等。

二、教学基本要求与内容安排

（一）教学目的与要求

离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的学科，它在各学科领域特别在

计算机科学领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程

必不可少的先行课程。

本课程的教学目的旨在通过对离散数学的教学，让学生不但可以掌握处理如

集合、代数结构和图等离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件,

而且为学生今后提高专业理论水平，从事计算机行业的实际工作提供必备的抽象

思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基

础。

(二)教学内容安排

学时分配

教学教学重点:难点

教学内容实上其备注

要求方法(☆)(A)讲课

验机他

第一部分数理逻辑讲授15.5

1命题逻辑的基本概念2

1.1命题与联接词B☆1

1.2命题公式及其赋值A☆△1

2命题逻辑等值演算3.5

2.1等值式B☆1

2.2析取范式与合取范式A☆△1

2.3联接词的完备集C0.5

2.4可满足性与消解法B1

3命题逻辑的推理理论2

3.1推理的形式结构A☆1

3.2自然推理系统PB△1

4一阶逻辑基本概念2

4.1一阶逻辑命题符号化A☆1

4.2一阶逻辑公式及解释A☆△1

5一阶逻辑等值演算与推

3

理

5.1一阶逻辑等值式与置

A☆1

换规则

5.2一阶逻辑前束范式A☆1

5.3一阶逻辑的推理理论A☆△1

6数理逻辑在计算机中的

3

应用

第二部分集合论讲授13

1集合代数2

1.1集合的基本概念B0.5

1.2集合的运算A☆0.5

1.3有穷集的计数C0.5

1.4集合恒等式A☆0.5

2二元关系6

2.1有序对与笛卡尔积A☆1

2.2二元关系A☆1

2.3关系的运算A☆1

2.4关系的性质A☆△1

2.5关系的闭包A☆1

2.6等价关系与划分A☆A1

3函数3

3.1函数的定义与性质A☆0.5

3.2函数的复合与反函数A☆0.5

3.3双射函数与集合的基

CA1

数

3.4一个电话系统的描述

CA1

实例

4集合论在计算机中的应

2

用

第三部分代数结构讲授61.5

1代数系统3

1.1二元运算及其性质A☆1

1.2代数系统A☆1

1.3代数系统的同态与同

BA1

构

2群与环3

2.1群的定义及其性质A☆1

2.2循环群与置换群A☆△2

第四部分图论讲授12

1图的基本概念2.5

1.1图A☆0.5

1.2连通与回路A☆0.5

1.3图的连通性A☆0.5

1.4图的矩阵表示A☆0.5

1.5图的运算A☆△0.5

2欧拉图与哈密顿图2

2.1欧拉图A☆0.5

2.2哈密顿图A☆0.5

2.3最短路问题与货郎担

C△1

问题

3树1.5

3.1无向树及其性质A☆0.5

3.2生成树A☆0.5

3.3根树及其应用B0.5

4平面图3

4.1平面图的基本概念B0.5

4.2欧拉公式B☆0.5

4.3平面图的判断B1

4.4平面图的对偶图C1

5图论在计算机中的应用3

（教学要求：A一熟练掌握；B一掌握；C一了解）

三、实验内容

本课程无实验

制订人（签字）：审核人（签字）:

教学进度表

2012-2013学年第1学期

授课教师姓名赵欢欢职称助教周数16周计划学时48学时

授课专业网络工程班级级

2011讲课48学时课堂讨论_0_学时

课程名称______________离散数学________________实验课—学时习题课旦学时

教材名称_______________离散数学________________

其他环节0学时

出版社____________清华大学出版社______________

其中

周

其

课

实

习教学内容摘要

学

他

堂

周次讲

验

题（章节名称、讲述的内容提要、实验的名称、课堂讨论的题目

时

课

讨

日期环

课

课等）

论

节

第一讲集合、映射与运算（一）

集合的基本概念

第一周1.1

理论：集合、子集、嘉集、元组、笛卡尔积

月日至n

9344第二讲集合、映射与运算（二）

9月9日

1.2映射的有关概念

理论：映射的定义、映射的性质、逆映射、复合映射

第二周第三讲集合、映射与运算（三）

月日

910运算的定义和性质

至月221.3

916理论：运算的定义、运算的性质

0

第四讲集合、映射与运算（四）

1.4集合的运算1.5集合的划分1.6集合的对等

第三周理论：集合的并、交、差、补、对称差等基本运算，集合的划

9月17日分与覆盖、集合对等、可数集合、不可数集合

44

至9月23第五讲关系（一）

02.1关系的概念

理论：n元关系的定义、2元关系、关系的定义域和值域、关

系的表示、函数的关系定义

第四周

第六讲关系（二）

月日

924关系的运算

至月2.1

93022理论：关系的集合运算、逆运算、复合运算、关系的其他运算

0

国庆放假

第五周

第七讲关系（三）

10月1日

2.3关系的性质2.4关系的闭包

至月44

107理论：关系的性质：自反性、反自反性、对称性、反对称性、

S

传递性；自反闭包r（R）、对称闭包s（R）、传递闭包t（R）

第六周第八讲关系（四）

10月8日2.5等价关系2.6相容关系2.7偏序关系

22

至10月14理论：等价关系的定义、等价类；相容关系的定义；偏序关系

B的定义、哈斯图的、偏序集中的特殊元素

第七周第九讲命题逻辑（-）

10月15日3.1命题的有关概念3.2逻辑联接词

44

至10月21理论：命题的定义与真值、原子命题和复合命题、各种逻辑连

0接词的含义，真假的判断

第十讲命题逻辑（二）

3.3命题公式及其真值表

理论：命题公式的定义、命题的符号化、命题公式的真值表、

命题公式的类型

第八周第十一讲命题逻辑（三）

10月22日3.4逻辑等值的命题公式

22

至10月28理论：逻辑等值的定义、基本等值式、等值演算法、对偶原

0理

第十二讲命题逻辑（四）

3.5命题公式的范式

第九周理论：命题公式的析取范式和合取范式的定义域求法

10月29日命题公式的主析取范式及主合取范式的定义和求法

44

至11月4第十三讲命题逻辑（五）

日3.7命题逻辑中的推理

理论：推理形式有效性的定义；基本推理规则；命题逻辑的自

然推理系统

第十周第十四讲谓词逻辑（一）

11月5日4.1个体、谓词、量词和函词

22

至11月11理论：谓词逻辑概念，谓词的概念与表示，量词的概念与表示，

H个体域，辖域，约束变元和自由变元的含义

第十五讲谓词逻辑（二）

4.2谓词公式及命题的符号化4.3谓词公式的解释及类型

第十一周理论：谓词公式的定义，将命题用用符号（个体，量词，谓词）

11月12来表示，消去量词的逻辑等值式，永真式，科满足式，永假式

44

日至11月友中性式的概念

18日第十六讲谓词逻辑（三）

4.4逻辑等值的谓词公式4.5谓词公式的前束范式

理论：谓词公式等值的定义，基本等值式，前束范式

第十二周第十七讲图论（一）

月日图的基本概念节点的度数子图，图的运算和图

1119226.16.26.3

至11月25同构

0理论：图的定义，邻接，关联，简单图，节点的度数，子图

第十八讲图论（二）

6.4路与回路6.5图的连通性

第十三周理论内容：路，回路，无向图的连通性，无向连通图的点连通

11月26日度与边连通度，有向图的连通性

44

至12月2第十九讲图论（三）

06.6图的矩阵表示6.7赋权图及最后蓝径

理论内容：图的邻接矩阵，可达矩阵，关联矩阵，赋权图，最

短路径

第十四周第二十讲图论（四）

12月3日7.1欧拉图

22

至12月9理论内容：欧拉图的有关概念，欧拉定理，中国邮递员问题、

0Hamilton图

第二十一讲图论（五）

7.2无向树7.3有向树

第十五周理论内容：树的基本概念，最小生成树，二叉树的遍历与表

12月8日达式的计算

44

至12月16第二十二讲代数结构（一）

5.1代数结构简介

理论内容：代数结构的定义，半群及独异点，子代数，代数结

构的同态与同构

第十六周

第二十三讲代数结构（二）

12月17日

22群的定义及性质

至月5.2

1223理论内容：群的有关概念，子群，群的同态

0

第十七周

12月24日第二十四讲总复习

22

至12月30

B

系主任签名：院长签名：

年月日年月日

说明：1.本教学进度表由主讲教师负责填写，于每学期开学第一周内送交教师所在系，经领导审定、签字后备查。

2.此表一式三份，其中，任课教师一份，教师所在系一份，教务处一份。

第一讲：集合、映射和运算（一）

一'教学目标

1.掌握集合的概念与表示

2.理解子集、幕集、n元组与笛卡儿积的概念

3.掌握子集，暴集，笛卡尔积的求法

二'重点与难点分析

1.重点：集合的概念，子集，累集，笛卡尔积的概念及求法

2.难点：幕集

三、教学内容与教学过程

1.进行自我介绍（5分钟）

姓名，联系方式，专业方向。建议学生用电子邮件方式联系。

2.进行课程简介（10分钟）

离散数学是研究离散量的结构及相互之间关系的学科

是一门专业基础课，是数据结构、操作系统、计算机组成原理、数据库原理

等课程的数学基础。

特点：知识点集中，概念，定理多；方法性强；学数学就要做数学

成绩评定：平时成绩（到课情况，书面作业，平时测验）占30%,期末考试占

70%

3.进入主题，开始第一讲

（1）集合的有关概念（20分钟）

①集合

定义：集合是具有某种特定性质的对象汇集成的一个整体，通常用大写字

母A,B,C,D表示。

例如：滁州学院全体学生

计算机与信息工程学院所有女生

常见的数的集合：N,N+,Z,Q,R,C

②元素

集合中的每一个对象称为该集合的元素，通常用小写字母a,b,c,d,x,等表示

例如：滁州学院的每个学生

计算机与信息工程学院的每个女生

N：0、1、2、3...

③集合的表示方法

列举法:Z={...,2-1,0,12...}

描述法：{x|x是自然数且x小于10}

递归法

文氏图：

特殊集合：全集U,空集0

④元素与集合

xdA或A

|A|表示集合A中的元素个数

注意：集合中的元素可以是集合，如A={a,{a,b},b,c},|A|=4,{a,b}GA

注：集合中的元素无顺序；集合中无重复元素

例：指出下列哪些是集合，哪些不是集合？

中国人的集合；

百货商店里好看的花布的集合；

1000以内的素数的集合；

26个英文字母组成的集合；

这个班里高个子学生的集合；

直线y=2x-5上的点的集合。

（2）集合之间的关系

①子集（15分钟）

定义：若A中的任意元素都属于B,则A是B的子集，称A包含于B或B包

含A,A^B,包括的两层含义：包含与真包含（AWB）,Au3,A是B的真子集

注意：属于（元素与集合的关系）与包含于（集合与集合的关系）的区别

例:A={1,2例,4},B42,4}

B=A或4=8

定理IT：0cA

定理1-2：⑴A=（自反性）

（2）AqB,BqA,则A=B

（3）A=B,8=C〃iJA=C（传递性）

用定义进行证明

定理1-3：A=B的充要条件是

注：该定理是证明两个集合相等的基本方法

该定理与定理1-2中的⑵的区别

例1-2

注：A中有一个元素不属于C,则A<zC,反证法是一种很好的方法

②幕集(15分钟)

定义：由X的所有子集组成的集合，P(X)={A|A±X}

例：x={l,2}

P(X)={0,{1},{2},{1,2}},

Y={a,b,c)

P(X)={0,{a},{b},{c},{a,b},[a,c},{b,c},{a,b,c}}

例1-3

注：若|X|=n,P(x)的元素有：0；由一个元素构成的子集；由两个元素构

成的子集；…由n个元素构成的子集

计数的基本原理：

加法原理：图示

乘法原理：图示

定理1-4：若|X|=n,|P(X)|=2n

证明：

加法原理：二项式定理：(x+y)"=£c,Kyf

l+C；,+C；+...++C^=(1+1)"=2"

乘法原理：：2x2x...x2=2".

注：每个元素的参与与否构成不同的子集

③n元组(5分钟)

定义：论域U中选取的n个元素按照一定的顺序排列，得到n元有序组，称

n元组，记为：(xl,x2,x3,…,xn)或<xl,x2,x3,…,xn>

例：平面直角坐标系中点的坐标是2元组；空间直角坐标系中点的坐标是3

元组；n元组在数据结构中是一个表

有序对，序偶：2元组

注：(x,y)W(y,x)

④笛卡尔积(10分钟)

定义.设加是集合称A.i=1,2,为

Al,A2,...An的笛卡尔积(直积，叉积)，记为：A1XA2X,...,A〃

例:A={a,b},B={l,2},

例1-4

注：Ax0-0xA-0

一般来说，AXB^BXA

定理1-5：若|A|=m,|B|=n，则|A*8|=mXn

4.教学小结(5分钟)

本讲首先介绍了集合的概念与表示方法，接着介绍了集合之间的关系一一子

集与暴集，n元组，笛卡尔积的概念及相关定理。

四'作业与实验（5分钟）

1.书面作业：习题1.11、2、3、7、10

2.上机作业：无

第二讲：集合、映射和运算（二）

一'教学目标

1.掌握映射的概念与表示

2.理解映射的三种性质：单射、满射、双射，会判断某个具体映射是否具有

这些性质

3.掌握逆映射的含义，复合映射的定义及性质

二'重点与难点分析

1.重点：理解和判断映射的三种性质，逆映射，复合映射

2.难点：映射三种性质的判断，复合映射的性质

三'教学内容与教学过程

1.习题讲解（10分钟）

2.上讲内容回顾（3分钟）

集合的概念：集合、元素、集合的表示方法

集合间的关系：子集、幕集、n元组、笛卡尔积

（1）映射的定义（15分钟）

定义：对于A,B,若存在对应法则f,对于^^人，三唯一的丁€8与它对应,

称f是A到B的一个映射或一个函数。记为：f:A-B（图示）

例：Ceilingfunctionfg=gf

Floorfunction］司

取整函数［H

定义域：自变量X的取值范围do时

值域：函数值y的取值范围如4

像:/（*）="（幻|"€乂｝为乂在映射£下的像

原像：尸（X）=｛x"（x）U｝为Y在映射f下的原像

注：全函数即而何1=A；丁=/*）为x在映射f下的像

A

B=｛f\f-.A^B｝：A到B的所有映射组成的集合

定理1-6：|A|=m,|B|=n,则=（证明）

（2）映射的性质

①单射（一对一映射）（10分钟）

定义：Vxl,x2eA,/（xl）=/（x2）可推出xl=x2

或2GA,若xlWx2,可得出了（xl）w/（%2）

例1-6：设广NrNJ（x）=2x,则f是N到N的单射，试证明之。

证：对于―eN,由/（只）=/（%2）得出2H=2X2,进而xl=x2

（使用定义证明）

②满射（10分钟）

定义：对于VycBJxeA,使得丫=£6）

充要条件：ranf=B

例1-7：设/:ZfNJ（x）=凶，则f是Z到N的满射，试证明之。

证：对于VyeN,Wx=ycZ,显然有y=/(x)

(使用定义证明)

③双射(——对应)(5分钟)

定义:既单射又满射

例1-8

例1-9：建立一个(0,1)到R的——对应

解：/:(O,1)-R,/(x)=tan(x—1/2)万

置换：A到A的双射

(3)逆映射(逆函数，反函数)(10分钟)

定义：f:A-B,将f的方向逆转后，得到的集合B到集合A的映射/t

定理1-7：f的逆映射存在的充要条件是f是双射

(加以说明解释)

注：若f是双射，则广’也是双射，且(尸|尸=/

例1T1：判断所给出的映射是否有逆射，若有，求出其逆映射

①f:R^R,f(x)=x2

②g:RrR,f(x)=x3

解：①•.♦f(2)=f(-2)=4,

.••根据单射定义知f不是单射，进而其不是双射，根据定理厂7知

其不存在逆映射

②显然g是双射，其逆映射为R,gT(y)=V7

(4)复合映射(20分钟)

定义:设厂Af8,g：8fC,对于VxeA,令〃(幻=g(/*)),则h是A

到C的映射，h为f和g的复合映射或复合函数，记为/g(图示)

注：(/g)(x)=g(/(x))

条件：f(A)工dom(g)

例1-12

例1-13

注：一般来说即使/g和g/都有意义，也不能保证/g=g/成立

恒等映射(h)：/：A-A,/(幻=x

定理1-9：若是双射，则/f-'=IA.f'f=IB

定理ITO：f:AiB,g:BfC

若f和g是单射，贝g是单射（证明）

若f和g是满射，贝Mg是满射（证明）

若f和g是双射，则/g是双射且（/g）T=gT广'

定理1T1：设f8,g:8-C

若/g是单射，则f是单射，但g不一定（证明）

定理1T2设/：Af-〃：C一°,则(/g)h=f(gk)

4.教学小结（5分钟）

本讲首先介绍了映射（函数）的定义及定义域、值域、像、原像等相关概念;

接着介绍了映射的三种性质：单射，满射，双射；最后介绍了逆映射的定义及复

合映射的定义及其具有的相关性质。

四、作业与实验（2分钟）

1.书面作业：习题1.21、2,6、11、14.

2.上机作业：无

第三讲：集合、映射和运算（三）

一'教学目标

1.理解运算的定义

2.掌握运算的表示及常用运算

3.理解运算的性质并能判断具体运算是否具有某些性质

二'重点与难点分析

1.重点：运算的定义，运算的性质

2.难点：运算性质的判定

三'教学内容与教学过程

1.习题讲解(5分钟)

2.上讲内容回顾(5分钟)

映射的定义

映射的性质：单射，满射，双射

逆映射

复合映射

3.进入主题，开始第二讲。

本讲知识点概括

(1)运算的定义(25分钟)

①定义：设4，A2,“.,A〃和B是集合，若/：AlxA2x...xA〃-8,称f为

Ai,A2,...,An至B的n元运算。

n

A到B的n元运算，或A上的n元运孽彳黑屋…_>B

A上的n元封闭运算(代数运算)：

f-AxAxxAfA，Vxl，x2,...x〃eA^/(xl,x2,...,x")=yeA

例,：判定M绝对值运算II、加法运算+、取大运算max是否是自然数集合N(Z)

上的代数运算。

解：VxeN=W=xeN

Vx,yeNnx+ywN

\fx\,x2,...xneNnmax(xl,x2,…GN

例：判定减法运算-,取小运算min是否是自然数集合N上的代数运算。

解：

例：判断数的加法运算是否是集合人={2"|nSN}上的代数运算？

解：21+2?=6e2"

例：将十进制数273转换成八进制

解：273=34x8+1,34=4x8+2,

n273=34x8+1=((4x8)+2)x8+l

=4X82+2X8+1

273=(421)8

②模运算

定义：/:ZfN,/(x)=x(mod〃z)x(modm)是使x=q/w+r,O4厂＜〃？成立

的整数r,即x除以m的余数。

例:16(mod3)>-8(mod5)、9(mod2)

模m加法，模m乘法

x+吁=(x+y)(modm)

x•my=(x•y)(modm)

例：m=5,3+5（—5）=3,3・5（-5）=0

③最大公约数，最小公倍数

Vm,"eZ,若d|m且d|n,则d是m,n的公约数，用gcd（m,n）表示m,n的最大

公约数

Vm,"eZ,若皿d且n|d,则d是m,n的公倍数，用lcm（m,n）表示m,n的最

小公倍数。

注：Gcd与1cm分别记为［,］和（，）

gcd（，〃，〃）=gcd（|m|,|川）且1cm（加,〃）=lcm（依

素因数分解：（对于大于1的正整数n都可以分解成一些素数乘积）

m=p；P2PkGZ+i,n=p：P2PkGZ+'

（见为素数，为非负整数）

gcd（m,ri）=琢必力）.产.）...球讪“风）

（一）「广（3）…戊风小外）

Euclid算法

机=4〃+{,0<。<n,n=q2rx+r2,Q<r2<4<n,...rt_2+*〃Tf

rk=gcd（m,ri）=mx+ny

例1-19

若gcd（m,n）=l,称m和n互素。

欧拉函数以〃）：表示小于等于n且与n互素的正整数的个数

④运算表

给定集合A,则集合A上的1元或2元运算可以用运算表来表示

例：A={a,b,c},*

*abc

abca

babc

cbca

思考：A上的封闭的1元，2元，3元运算的个数是多少？

3339327

（2）运算的性质

①对合性（5分钟）

定义：设*是A上的一元代数运算，*（*x）=x，VxeA

例：Vxe:-（—%）=x

（A-I）T=AW），=A

②幕等性（5分钟）

幕等元：x*x-x,x&A

定义：A中的每个元素对于*都是嘉等元

例：

*123

1123

2232

3313

例：R,,?

③交换性（5分钟）

定义：对于A上的二元运算*,Vx,yeA,均有％*，=）'*

例：R上的+具有交换性

R上的映射的复合运算/g?

④结合性（5分钟）

定义：Vx,y,zeA:（x*y）*z=x*（y*z）.

例:映射的复合运算（/g）h=f（g/i）具有结合性

R上的+具有结合性

R上的-?

⑤单位元素（幺元素）（5分钟）

定义：对于A上的二元运算*,3e,使得对于Vx

x*e-x.e*x—x.

例：R关于加法运算+的单位元素是0

R关于乘法运算•的单位元素是1

R关于减法运算-的单位元素是？

定理1-3：若A关于*有单位元素，则单位元素是唯一的

证明：设明,e2是A关于*的单位元素,则el=el*e2=e2

⑥零元素（5分钟）

定义：对于A上的二元运算*,三。，使得对于Vx

e*x=0.x*e=e.

例:R关于乘法运算•的零元素是0

R关于减法运算-的零元素是？

R关于加法运算•的零元素是？

定理1-4：若A关于*有零元素，则零元素是唯一的

证明:设el,e2是A关于*的零元素，则el=el*e2=e2

⑦逆元素（5分钟）

前提：A关于二元运算*有单位元素e

定义：xeAJyeA,使得：

x*y=e.y*x—e.

例：R上的加法运算+：x+(-x)=O=(-x)+x

R上的乘法运算•：X—=1=—x

XX

注：逆元不一定存在，存在不一定唯一，参见表1-5

定理1-5：若A关于*运算有单位元素为e且*运算满足结合律，若对于A

中的x有左逆元y与右逆元z,则y=z,此逆元唯一

证明：y*x=e,x*z=e

y=y*e=y*(x*z)=(y*x)*z=e*z=z

⑧消去性(分钟)

定义：若A关于*有零元，则记为6,对于Vx,y,zeA,若xw。

x*y=x*z=y=z.

y*x=z*x=y=z.

例1-31Z上的加法运算+和乘法运算.均满足消去律.

⑨分配性(5分钟)

定义：*,是A上的两个二元运算，对于Vx,y,zeA

x*(yoz)=(x*y)o(x*z).(y°z)*x=(y*x)o(z*x).

则称*关于是可分配的

⑩吸收性(2分钟)

定义：*，是A上的两个二元运算，对于V%y，zeA

x*(xoy)=x.(y。冗)*工=x.

则称*关于是可吸收的

⑪德摩根律(3分钟)

定义：•是A上的一元运算，*，是A上的两个二元运算，对于Vx，y，zeA

・(x*y)=(•%)。(・y).•(%。y)=(7)*(・y).

4.教学小结(3分钟)

本讲首先介绍了运算的定义并介绍了几种常用的运算，接着介绍了运算的性

质：对合性、暴等性、交换性、结合性、单位元素、零元素、逆元素、消去性、

分配性、吸收性、德•摩根律，并结合之前所学知识讲解运算的性质。

四、作业与实验(2分钟)

1.书面作业：习题1.3：1、3、5、6、8

2.上机作业：无

第四讲：集合、映射和运算（四）

一'教学目标

1.掌握集合的各种运算

2.理解各种集合运算所满足的性质

3.掌握集合的划分与覆盖的概念

4.了解集合的对等，集合的基数，可数集合等概念

二'重点与难点分析

1.重点：集合的运算一一并、交、补、差、对称差

集合运算性质

2.难点：集合运算等值式的证明，集合的对等、基数

三'教学内容与教学过程

1.上讲内容回顾（5分钟）

运算的定义

运算的性质：对合性、暴等性、交换性、结合性、单位元素、零元

素、逆元素、消去性、分配性、吸收性、德•摩根律

2.进入主题、开始第四讲

本讲知识点概括

（1）集合的运算

①并运算（15分钟）

定义：=A或％eB}.

定理1-16：AuB是包含A和B的最小集合

VC

定理1-17：并运算满足的性质：

（交换律）

（AuB）uC=A<J（8DC）（结合律）

=A（基等律）

AD0=0DA=A（。是u运算的单位元素）

A<JU=U<JA=U（。是u运算的零元素）

例1-38:设f:A->B,X,YcA,则证明：/（XuF）=/（X）u/（y）

XqXuyn/（x）1/（xuy）

证明：ycxuy=>f（Y）c/（XuY）

V/?e/(Xuy)^3ae(Xuy):/j=/(a)

aeX=>/>=/(a)e/(X)

agYnb=f(a)wf(Y)

：.bwf(X)2f(Y)

/(Xuy)c/(X)u/(D

②交运算(15分钟)

定义：A(~\B-{X\XE：AUxeB}

定理1T8：AcB是包含在1和8的最大集合

VCcA,C£B=>CcAnB

定理1T9：交运算满足的性质：

Ar>A=A(嘉等律)

AryB=Br\A(交换律)

(Ac6)cC=Ac(3cC)(结合律)

Ac0=0cA=0(。是c运算的零元素)

AcU=UcA=A(U是c运算的单位元素)

例：

定理1-20：并运算与交运算之间满足的性质：

Au(AcB)=A(u对c可吸收)

An(AoB)=A(c对口可吸收)

4口(3门。)=(4。8)门(4口。)(口对门可分配)

AC(8UC)=(AC8)D(4CC)(C对。可分