2020年高考数学(理)之纠错笔记14 算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入

专题14算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入

易错点1忽略判断框内的条件

T〉»

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入〃的值为9,则输出S的值为

【错解】依题意，该程序框图的任务是计算5=21+22+23+…+28+1+2+3+…+8=546,故输出S的值为

546.

【错因分析】解题过程错在循环是在公10终止，而不是在k=9时终止，所以循环体最后一次执行的是S=S

+29+9.

【试题解析】依题意，该程序框图的任务是计算5=21+22+23+~+29+1+2+...+9=1067,故输出S的值

为1067.

【参考答案】1067

【警示】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明晰循环结构程序框图的真正含义，对于本题，要认清程

序框图运行的次数.

,易错点击

1.注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同.

2.注意条件结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环

结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体.

即时巩固

1.执行如图所示的程序框图，如果输入的a=-1,则输出的5=

A.2B.3

C.4D.5

【答案】B

【解析1阅读流程图，初始化数值a=-l,Z=l,S=().

循环结果执行如下：

第一次：S=0_]=_l,a=I,々=2；

第二次：S=-l+2=l,a=-l,k=3；

第三次：5=1-3=-2,。=1,%=4：

第四次：S=-2+4=2,a=-l,左=5；

第五次：S=2-5=-3,a=1,A:=6；

第六次：S=-3+6=3,a=-l,Z=7,

结束循环，输出S=3.故选B.

【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相

关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更

要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.

易错点2误将类比所得结论作为推理依据

,■-__________>»

侠阚分衙

22

已知q,4,q,。2，4，。2都是非零实数，不等式a,x+btx+q<0,c^x+b2x+c2<0的解集分别为

.则“»十是*”成立的--------------条件（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不

充分又不必要”中的一种）.

4

a,b[

-一

【错解】£L知两个不等式同解，即湿力—“是“M=N”成立的充要条件.

仇

【错因分析】错解将方程的同解原理类比到不等式中,忽略了不等式与等式的本质区别.

（试题解析】当&=g=工时，可取"=4=G=1,生=a=G=-1,则M=0,N=R,

Wb2C2

故S=2=S#M=N；

a2b2c2

当M=N=0时，可取4=4=q=L劣=1也=2,G=3,则幺。幺，即加="分幺=3=5.

a2b2c2a2b2c2

ahG

综上知“'=U="是"M=N”成立的既不充分又不必要条件.

a2b2c2

【参考答案】既不充分又不必要条件

*易错点击

类比推理是不严格的，所得结论的正确与否有待用实践来证明，解题时若直接使用类比所得结论进行推

理则容易出现错误.

即时巩固

2.在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出，“割之弥细，所失弥少，制之又割，以至于不可割，

则与圆周合体而无所失矣.”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在

,2++万二中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x，这可以通过方程=x确定出

来％=2,类比上述结论可得Iog2[2+log2(2+log2(2+))]的正值为

A.1B.夜

C.2D.4

【答案】C

【解析】由题意可得x=log2(2+x),x〉0,.••2,=x+2,解得x=2,故选C.

易错点3小前提错误

■

-----------------»»

侠阚分.

♦^判断函数y=2闵的单调性.

【错解】指数函数旷=优3＞1)是增函数，而丁=2同是指数函数，所以函数丁=2凶是增函数.

【错因分析】错解中的小前提“y=2闺是指数函数”是错误的，函数y=2同不是指数函数，而是一个分段函

数，在每一个分段区间上是指数函数，并且底数的取值不同，要对单调性进行讨论.

【试题解析】对于指数函数丁=优，当。＞1时是增函数，当0＜。＜1时是减函数，故当xe[(),+8)时，

丁=2凶=2、是增函数；当xe(YO,0]时，丁=2况=(3尸是减函数.

'易错A击

演绎推理的前提与结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的小前提.

即时巩固

3.矩形的对角线互相垂直，正方形的对角线互相垂直，所以正方形是矩形.以上三段论的推理中

A.推理形式错误B.小前提错误

C.大前提错误D.结论错误

【答案】C

【解析】矩形的对角线不是垂直的，正方形的对角线是垂直的，正方形是矩形，所以可知大前提出现了

错误.

【名师点睛】本题主要考查逻辑推理的结构，分清三段论推理中的大前提，小前提，结论是求解关键.

易错点4反证法误区——推理中未用到结论的反设

X____

供色I分衙

已知实数。满足不等式(2p+l)(p+2)<0,用反证法证明:关于x的方程f-2x+5-p2=0无实数根.

【错解】假设方程》2一2%+5-/72=0有实数根，由已知实数/7满足不等式(2。+1)(/7+2)<0,解得一2<.<一3,

而关于无的方程%2一2%+5-/?2=0的根的判别式』=4(。2一4).

222

v_2<p<_l..-.l<p<4,」<0,即关于x的方程x-2%+5-p=0无实数根.

【错因分析】错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法.

(试题解析】假设方程f-2x+5-p2=0有实数根，则该方程的根的判别式/=4(p2-4)20,解得P22

或2①，

而由已知实数P满足不等式(2p+l)(p+2)<0,解得一2<〃<一g②.

数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立，从而关于x的方程f-2x+5-p2=0无实数根.

'3错点、击

利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，

则原命题成立.

■.即时巩固

4.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60。，反证假设正确的是

A.假设三内角都大于60。B.假设三内角都不大于60。

C.假设三内角至多有一个大于60°D.假设三内角至多有两个大于60°

【答案】B

【解析】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有•个大于60°不成立，即假设三内角都

不大于60。，故选B.

【名师点睛】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的

关键.

.易错点5对复数的相关概念不理解出错

,

供国I分.

设复数〃+bi(mb£R)的模为则(〃+Z?i)(a—bi)=.

【错解】复数a+历的模为J”?+方2,则/+/=又(a+bi)(a—bi)=a2—trr-cr+tr-A/3，故(a

+fei)(a—bi)=y(3.

【错因分析】上述的解题过程对复数模的运算处出现了一个简单的失误,对于复数z=a+bi的模|小，片+从,

故应为a2+Z>2=3.

【试题分析】复数。+bi(a,bWR)的模为Ja?+除2=,则〃2+/=3,则(〃+/?i)(〃一bi)-cP—(bi)2=a2

一。平二〃2+/=3.

【参考答案】3

,易错点击

复数的运算过程中要注意灵活运用复数的概念及运算法则.如本例中模的计算要两边同时平方而得出正确结

论.

"特别嘏琳

1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.

2.对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般都

是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解.

3.两个虚数不能比较大小.

4.利用复数相等。+例=c+di列方程时，注意mb,c,d£R的前提条件.

5.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若a，z2sc,z：+z；=0,就不

2

能推出zi=z2=0;2<0在复数范围内有可能成立.

即时巩固

1.ZA,

5.已知复数z--（其中i为虚数单位），则|z|=

3-1

A夜]_

B.

22

「V26V74

_______D.

10i(r

【答案】A

l+2i(l+2i)(3+i)l+7i4.1r2_=互,故选A.

【解析】z，，⑶

3-i(3-i)(3+i)10102

【名师点睛】首先化简复数Z,然后结合复数的定义确定其虚部即可.复数的代数形式的运算主要有加、

减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.

.易错点6数学归纳法的应用误区—归纳假设只设不用

用数学归纳法证明：|+4+7+…+(3/?-2)=-〃(3〃-1)(〃eN*).

2

【错解】（1）当”=1时，左边=1,右边=1,左边=右边，等式成立.

(2)假设当〃=A:(A:eN*)时等式成立，即1+4+7+…+(3左一2)=^Z(3Z-1).

那么，当〃=%+1时，需证1+4+7+…+(3%一2)+[3(左+1)—2]=,(左+1)(3左+2)(*).

2

由于等式左边是一个以1为首项,3为公差的等差数列的前什1项的和，所以左边=,（％+1）（1+34+1）

2

，（左+1）（3左+2）=右边，所以（*）式成立.

2

即〃=k+l时等式成立，

根据(1)和(2),可知等式对任何〃eN*都成立.

【错因分析】错解在证明当〃=左+1等式成立时，没有用到归纳假设“当n=k(keN*)时等式成立“，故

不符合数学归纳法证题的要求.

【试题解析】(1)当〃=1时，左边=1,右边=1,左边=右边，等式成立.

(2)假设当〃=)时等式成立，即1+4+7+…+(3%—2)=]女(3%-1).

那么，当〃=左+1时，1+4+7+…+(3%—2)+[3/+1)—2]=g%(3左一1)+(3女+1)

I|1

=-(3k2+5Z+2)=/伏+1)(3々+2)=耳(4+1)[3伏+1)-1].

即当〃二攵+1时等式成立.

根据(1)和(2)，可知等式对任何都成立.

'易错点击

判断用数学归纳法证明数学问题是否正确，关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步归纳假设是否被

应用，如果没有用到归纳假设，那就是不正确的.

即时巩固

6.已知数列｛%｝的前几项和为S“，V”eN*，Sn=—(2/1+V)an+—.

(1)求4,“2，；

(2)猜想数列｛a“｝的通项公式，并用数学归纳法给予证明.

【答案】(1)q=1,a2—3,。3=5；(2)an—2n—\.

【解析】(1)分别取〃=1,2,3得

„31_51_71

£=4=^4+^，S?=q+4=]42，53=«!+a,+=-<73+-,

解得q=l,%=3，%=5.

(2)猜想q=2"-1

〃=1时，由(1)知，4=1=2*1—1,猜想成立，

假设〃=《,eN*)时，％=2左一1,

则W+i=Sk+l-Sk=-(2k+3)%]Qk+1)4+-

=；(2左+3)%旬一；(2%+1)%,

所以:(2Z—1)%旬=：(2k+1)为，

因为a«=2k—1,所以4+]=2k+1=2(k+1)—1,

所以，〃=%+1时a”=2〃-1成立，

综上所述，任意〃eN*，a“=2”—1.

【名师点睛】本题难度不大，考差数列递推关系的应用，数学归纳法用来证明数列的一般方法，注意在

证明〃=女+1时需用上假设，化为〃=&的基本形式.

纠错笔记

一、算法初步

1.在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性.

2.在画算法框图时首先要进行结构的选择.若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；

若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入选择结构；若所要解决的问题要进行许多重复的

步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构.

3.循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，主要解决需要反复执行的任务，用循环语句来

编写程序.

4.关于赋值语句，有以下几点需要注意：

(1)赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3="是错误的.

(2)赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y=x,

表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为广K因为后者表示用Y的值替代变量x的值.

(3)在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个

二、推理与证明

1.常见的类比、归纳推理及求解策略

(1)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类

对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，

如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.

(2)归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个

体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.

2.利用综合法、分析法证明问题的策略

(1)综合法的证明步骤如下：①分析条件，选择方向：确定己知条件和结论间的联系,合理选择相关定义、

定理等；②转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程.特别地,根据题目特点选取合

适的证法可以简化解题过程.

(2)分析法的证明过程是：确定结论与己知条件间的联系,合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直

到获得一个显而易见的命题即可.

(3)实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与

综合法，即从“欲知"想‘'已知"(分析)，从“己知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条

件和结论的途径.

3.用反证法证明不等式要把握的三点

(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面.

(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证.

(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与己知事实矛盾等，且推导

出的矛盾必须是明显的.

4.反证法的一般步骤

用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定

原命题)的过程.这个过程包括下面三个步骤

(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真

(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾

(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立

即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真.

5.应用数学归纳法的常见策略

(1)应用数学归纳法证明等式，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，由〃=k到”=%+1时等

式两边变化的项.

(2)应用数学归纳法证明不等式，关键是由〃=%成立证〃=左十1时也成立.在归纳假设后应用比较法、

综合法、分析法、放缩法等加以证明，充分应用不等式的性质及放缩技巧.

(3)应用数学归纳法解决“归纳一猜想一证明"，是不完全归纳与数学归纳法的综合应用，关键是先由合

情推理发现结论，然后再证明结论的正确性.

三、数系的扩充与复数的引入

1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.

2.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减

法相结合.

3.实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数集C和复平面内所有的点所成的集

合及平面向量是一一对应关系，即

—,一■对应.

复数之=〃+历--------->复平面内的点Z(a")

,对应f平面向量—近>

4.复数运算常用的性质：

(1)①(l±i)2=±2i：②W=i,-=-i.

1-i1+i

(2)®,则①|<y|=l；(2)1+co+(v2=0；③<y=o>2.

22

(3)?+浊+产+严3=0(〃CN*).

1.【2019年高考全国H卷理数】设z=-3+2i,则在复平面内［对应的点位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】由z=—3+2i,得)=—3—2i,则4=—3-2i对应的点(-3,-2)位于第三象限.故选C.

2.【2019年高考全国I卷理数】设复数z满足|z-i|=l,z在复平面内对应的点为(x,y),则

A.(x+l)2+/=1B.(X-1)2+9=1

C.x2+(y-l)2=lD.炉+(尹1)2=1

【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易.此题可采用几何法，根据点(x,y)和点(0,

1)之间的距离为1,可选正确答案为C.

【答案】C

22

【解析】由题可得2=*+同,27=》+0-1>,|Z-i|=^/x+(y-l)=1,则尤2+(y-l)2=1.故选c.

3.【2019年高考全国HI卷理数】若z(l+i)=2i,则z=

A.-1-iB.-1+i

C.1-iD.1+i

【答案】D

2i_2i(l-i)

【解析】z=1+i.故选D.

T+l-(l+i)(l-i)

【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养.采取运算法则法，利用方程思想解题.

4.设i为虚数单位，复数z满足(l+gi)z=(-V5+i)2,则共枕复数彳的虚部为

A.亚B.-V3i

C.V3D.一百

【答案】C

【分析】根据条件求出复数z,然后再求出共规复数彳，从而可得其虚部.

【解析】V(l+^i)z=(-V3+i)2=2-2^i.

.2(13)2(13)2一后

1+V3i(1+V3i)(l-V3i)

1+百i，.♦•复数彳的虚部为由.故选C.

【名师点睛】本题考查复数的乘除法的运算及共聊复数的概念，其中正确求出复数z是解题的关键，

对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了i2=-1.

5.已知复数z满足|z|=&，z+z=2(彳为z的共轨复数)(i为虚数单位)则2=

A.1+iB.1-i

C.1+i或1-iD.-1+i或-1一i

【答案】C

【解析】设z=Q+bi(Q,b£R),则三=。一。i,z+，=2a,

〃+/=2Q=1

所以cc,得I,，所以z=l+i或z=l-i.故选C.

2a=2b=±l

6.己知i为虚数单位，且(1+i)z=-l,则复数z对应的点位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】V(l+i)z=-l".z=­W="4+»，z对应的点是(一：*),复数z对应的点位于第二象限.

故选B.

7.复数2："=A+

A、BeR),且A+JB=O,则小的值是

l+2i

22

A.——B.一

33

C.V2D.2

【答案】A

【解析】因为7^Y=A+B^m'A、BGR),所以2—相4A+用11,即

3

A—23=2

2-mi—A一2«+2同，由此可得＜,结合A+B=O可解之得《B=--

2A+B=-m3

2

m=——

3

故应选A.

8.下面关于复数z=--的四个命题:pi：|z|=2;

-1-1

P2：Z的共枕复数2在复平面内对应的点的坐标为(-1,-1)；

P3：Z的虚部为-1；

2

p4：z=-2i,

其中的真命题是

A-P2,P3B.Pi，p2C.P2.P4D.p3,p4

【答案】c

【解析】z=f-=-l+i,则

Pi：|z|=V2；

P2：z的共轨复数2=-1-i在复平面内对应的点的坐标为(一1,-1)；

P3：Z的虚部为1；

P4：z2=­2i.

故真命题是P2，P«

故选C.

9.【2019年高考全国1卷理数】如图是求2+」y的程序框图，图中空臼框中应填入

2+-

2

/输出//

（结束）

B.A=2+一

A

【答案】A

【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征

与程序框图结构，即可找出作出选择.

1-J—1

【解析】初始：A=-,k^l<2,因为第一次应该计算-1=--&=左+1=2；

2+-2+A

2

执行第2次，k=2<2,因为第二次应该计算2+-^=--,k=k+l=3,

2+12+A

2

结束循环，故循环体为A=「二，故选A.

【秒杀速解】认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为A=；；—.

10.【2018全国卷n理】为计算S=l-L+L-'++-———,设计了下面的程序框图，则在空白框中

23499100

应填入

A.i=i+1B.i=i+2

C.i=i+3D.z=z+4

【答案】B

111+-——L得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因

【解析】由S=1—+------+

23499100

此在空白框中应填入i=i+2.

故选B.

【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,

包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循

环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，

最后再相减.因此累加量为隔项.

11.习近平总书记在十九大报告中指出:坚定文化自信,推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2

,4,8,12…来源于〈乾坤谱》中对〈易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极

衍生过程中曾

经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n项和的程序框图.执行该程序框图，输入m=10,则输出

的A.5=100B.140

C.190D.250

【答案】C

【解析】由题意得，程序的功能是计算当输入zn=10时,s的值,S='+丝+父二+£二+...+吐L+空.

222222

计算可得S=*8+24+48+80)+*4+16+36+64+100)=190.

故选C.

12.【2019年高考全国HI卷理数】执行下边的程序框图，如果输入的£为0.01,则输出S的值等于

c1c1

C-2-FD-2-靖

【答案】C

【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果.

【解析】输入的£为0.01,

x=l,s=0+l,x=1<().01?不满足条件；

s=0+l+,,x=L<0.01?不满足条件；

24

'=」-=满足条件，结束循环;

S=0+1H----h+g,0.0078125<0.01?

22128

+*=2x（1一提）=2一*,故选C.

输出5=1+—+

2

【名师点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析.

13.宋元时期数学名著〈算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹

何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的Q,b分别为5,2,则输出的九=

A.2B.3

C.4D.5

【答案】C

【解析】由题可得，因为Q=5,b=2,有九=l,a=5+|=孩,b=4.因为蔡<4不成立，所以n=2,a=y4-

自弃”=8,因为:<8不成立，所以n=3,Q=?+*等,b=16,因为当<16不成立，所以几=4,Q=等+

44448888

黑=笠*=32.因为鬟S32成立，所以输出n=4.

161616

故选C.

14.用秦九韶方法求多项式/(%)=12+35%—8%2+79%3+6%4+5%5+3”在％=—4的值时，方的值为

A.34B.220

C.-845D.3392

【答案】A

【解析】因为f(x)=((((((3x+5)x+6)x+79)%-8)x+35)x+12,因为x=-4,所以%=3,%=

—7,v2=34.

故选A.

15.【2019年高考全国I卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度

之比是避二1(2^二LO.618,称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.止匕外，最美人体的

22

头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是避二L若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为

2

105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

【答案】B

【解析】方法一：如下图所示.

依题意可知：

AC_y/5-lAB_75-1

~CD~2'~BC~2'

①腿长为105cm得，即CO>105,

AC=^11CO>64.89,

2

AD=AC+CD>64.89+105=169.89,

所以169.89.

②头顶至脖子下端长度为26cm,

即AB<26,

Afi

BC=〒—<42.07,

V5-J

AC=AB+BC<6S.Q7,

Ar

CD=厂<110.15,

V5-1

2

AC+CD<68.07+110.15=178.22,

所以AZX178.22.

综上，169.89<4。<178.22.

「头顶

-咽喉

肚脐

-足底

故选B.

方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为xcm,肚脐至腿根的长为ycm,则竺=型二=好二1,得

xy+1052

x*42.07cm,yv5.15cm.又其腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,所以其身高约为

42.07+5.15+105+26-178.22,接近175cm.故选B.

【名师点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取类比法，利用转化

思想解题.

16.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指〈孙子算经〉中记载的算筹，古代是用算

筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图，表

示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，

个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是

1T-111，则1227用算筹表示为

I

।IlinmimuTnmnn跳式

—===s-L=l：iA播u

中他4化的/

A.||——ITB.II11

C.I—II11D.|二|||[

【答案】B

【解析】由题意得千位的1用算筹表示为“一'

故选B.

17.甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：

甲说：获奖者在乙丙丁三人中；

乙说：我不会获奖，丙获奖；

丙说：甲和丁中的一人获奖；

丁说：乙猜测的是对的.

成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符.已知俩人获奖，则

获奖的是

A.甲和丁B.甲和丙

C.乙和丙D.乙和丁

【答案】D

【解析】乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，若乙、丁的预测成立，则甲、丙

的预测不成立，可知矛盾，故乙、丁的预测不成立，从而获奖的是乙和丁，故选D.

【名师点睛】本题考查了逻辑推理能力，假设法是解决此类问题常用的方法.

18.甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试，甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩,老师给每个人只提供了其他

三人的成绩.然后，甲说:我们四个人中至少两人不过关;乙说:我们四人中至多两人不过关;丙说:甲乙丁恰

好有一人过关.假设他们说的都是真的,则下列结论正确的是

A.甲没过关B.乙没过关

C.丙过关D.丁过关

【答案】B

【解析】因为甲说:我们四人中至少两人不过关;乙说:我们四人中至多两人不过关;所以四人级有且只有

两人过关，两不过关,又因为，丙说:甲乙丁恰好有一人过关,不过关的情况有三种可能:甲乙、甲丁、乙丁，

根据甲不知道自己成绩的情况下说四个人中至少两人不过关,可见乙丙丁中有两人不过关，不过关的可

能的情况有三种:乙丙、丙丁、乙丁，结合以上六种情况，同时成立的是乙丁不过关，所以一定正确的结论

是乙没过关.

故选B.

19.用反证法证明命题“已知x,yGN*,如果xy可被7整除，那么x,y至少有一个能被7整除”时，假设

的内容是

A.x,y都不能被7整除B.x,y都能被7整除

C.X,y只有一个能被7整除D.只有X不能被7整除

【答案】A

【解析】用反证法证明命题时，先假设命题的否定成立，再进行推证.“x，y至少有一个能被7整除”

的否定是“x，y都不能被7整除”.

故选A.

【名师点睛】此题考查量词的否定.至少有一个的否定是一个也没有，因此此题假设内容为都不能.

20.在一次体育兴趣小组的聚会中,要安排6人的座位，使他们在如图所示的6个椅子中就坐，且相邻座位（如1与

2,2与3）上的人要有共同的体育兴趣爱好，现已知这6人的体育兴趣爱好如下表所示，且小林坐在1号位置

上，则4号位置上坐的是

/MC小方小R小兴小李小周

体育兴题位球,网球.足球，排球亚球,棒球,击剑.网界.停球,排球,第拳道.击

爱好羽毛球跆拳道乒乓球足球前就外，自行车

A.小方B.小张

C.小周D.小马

【答案】A

【解析】由题可得,因为小林坐在1号位置匕根据相邻座位的人有共同的体育兴趣爱好，所以2号位置k

坐小马的话，则3号位置只能坐小李，所以6号位置只能坐小张，所以4号位要与3、5号位置有共同的兴

趣爱好，则只能是小方.

故选A.

21.下图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，这又是我国数学史

上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：

1,2,3,3,6,4,10,5,…,则此数列前16项和为

A.120B.163

C.164D.165

【答案】C

【解析】考查每行第二个数组成的数列：2,3,4,5，归纳推理可知其通项公式为2=〃+1,

区x7

其前8项和4=8x2+^—xl=44；

2

每行第三个数组成的数列：1,3,6,10,归纳推理可知其通项公式为%=坨詈=((〃2+/〉

其前8项和

82162

据此可得题中数列前16项的和为120+44=164.

本题选择C选项.

【名师点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列通项公式的求解，数列求和的方法等知识，意在考

查学生的转化能力和计算求解能力.分别考查每行第二个数和第三个数组成的数列，然后求和两次即可

求得最终结果.

22.四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的4个位子上(如图)，第一

次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位.这样交替进行下去，那么第2018次互换座

位后，小兔的座位对应的编号为.

【解析】由图，经过4次交换后，每个小动物乂回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为4,因为

2018=4x504+2,所以经过2018次互换座位后，小兔对应的是编号2的位置.

【名师点睛】本题主耍考查了归纳推理，属于中档题.解题的关键是根据前几个变换方式归纳出周期为

4的规律，归纳推理的特征是由一些特例得出猜想，由猜想对事物作出判断.根据题意，交换的规律是

先前后再左右，由图可以看出，此交换的周期是4,由此规律即可求解.

23.“求方程(|尸+©尸=1的解”有如下解题思路:设f(x)=(|尸+<尸，则f(x)在R上单调递减，且f(2)=1,

所以原