2024届北京市石景山区高三上学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2北京市石景山区2024届高三上学期期末数学试题第一部分（选择题）一、选择题1.已知集合，，则（）A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗，解得，所以，所以.故选：A.2.已知复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得在复平面内所对应的点为，则所对应的点为，所以，则，故选：B.3.展开式中含的项的系数为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由展开式的通项公式=,,令即,∴展开式中含的项的系数为.故选:B.4.已知向量，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，，∴，∵，∴，解得：，故选：B.5.已知为等差数列的前项和，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，所以，故选：C．6.直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗圆，即，所以圆心为，半径为，若直线与圆有两个不同交点，则，，符合题意的只有.故选：A7.设函数，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，由于，所以，所以.故选：C.8.在中，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，，由正弦定理得，由于，所以，所以，所以是锐角，且.故选：B.9.设函数，则是（）A.偶函数，且在区间单调递增B.奇函数，且在区间单调递减C.偶函数，且在区间单调递增D.奇函数，且在区间单调递减〖答案〗D〖解析〗的定义域为，，所以是奇函数，AC选项错误.当时，，在上单调递增，在上单调递增，根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递增，B选项错误.当时，，在上单调递减，在上单调递增，根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递减，D选项正确.故选：D.10.在正方体中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内（不含边界）一定存在一点，使得（）A. B.C.平面 D.平面平面〖答案〗A〖解析〗选项A，正方体中，显然有，连接延长，如果直线交棱于点（图1），则作交于，连接，则是梯形，作交于，则平面，如果直线交棱于点（图2），则直接连接，在三角形内作交于，也有平面，因此A正确；选项B，正方体中易知平面，因此与垂直的直线都可能平移到平面内，而当平面，平面时，直线与平面相交，不可能平移到平面内，B错；选项C，由选项B知与不可能垂直，因此与平面也不可能垂直，C错；选项D，过的平面只有平面与平面平行，因此要使得平面平面，则平面与平面重合，从而点只能在棱上，与已知不符，D错．故选：A．第二部分（非选择题）二、填空题11.函数的定义域为___________．〖答案〗〖解析〗依题意，，解得，所以的定义域为.故〖答案〗为：12.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为___________．〖答案〗〖解析〗由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以双曲线的离心率.故〖答案〗为：13.某学校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行数学知识测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如右频率分布直方图，则图中的值为_______，若全校学生参加同样的测试，估计全校学生的平均成绩为__________（每组成绩用中间值代替）.〖答案〗〖解析〗由频率分布直方图中总面积为，即，解得，，故可估计全校学生的平均成绩为.故〖答案〗为：；.14.已知命题：若，则．能说明为假命题的一组的值为______，_______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）（〖答案〗不唯一）〖解析〗，当且仅当时等号成立.所以，若，则，所以为假命题.所以一组的值为（〖答案〗不唯一）.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）；（〖答案〗不唯一）15.数列中，，给出下列四个结论：①若，则一定是递减数列；②若，则一定是递增数列；③若，，则对任意，都存在，使得；④若，，且对任意，都有，则的最大值是．其中所有正确结论的序号是___________．〖答案〗②③④〖解析〗依题意，，①若，则，如，则是摆动数列，所以①错误.②若，则，，构造函数，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以，所以，所以一定是递增数列，②正确.③若，，则，，，，当时，，所以是单调递增数列，且每次递增都超过，所以对任意，都存在，使得，③正确.④若，，则，对任意，都有，，，恒成立，所以，所以的最大值是，④正确.故〖答案〗为：②③④三、解答题16.如图，在三棱锥中，平面平面，，，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．（1）证明：取中点，连接，因为，所以；因为，所以；因为平面，所以平面；因为平面，所以．（2）解：由（1）知，平面，因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，，，如图建立空间直角坐标系．由已知，易得，，在中，，所以得，，，所以设平面法向量为，则即令，则，，于是．又因为平面的法向量为，所以．由题知二面角为锐角，所以其余弦值为．17.设函数．（1）若，求的值；（2）已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：函数的图象经过点；条件②：时，的值域是；条件③：是的一条对称轴．解：（1）因为，所以．因为，所以．（2）选①，∵，∴函数的图象不可能经过点，不合题意；选②，因为在区间上单调递减，且当时，的值域是，所以，.此时，由三角函数的性质可得，故．因为，所以.选③，因为在区间上单调递减，所以，即，解得．因为是的一条对称轴，所以.所以，即，解得.由，可知.18.某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分.学生甲在，两区的投篮练习情况统计如下表：甲区区投篮次数得分假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立．（1）试分别估计甲在区，区投篮命中概率；（2）若甲在区投个球，在区投个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率；（3）若甲在区，区一共投篮次，投篮得分的期望值不低于分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明）解：（1）甲在区投篮次，投进次，所以估计甲在区投篮进球的概率为，甲在区投篮次，投进次，所以估计甲在区投篮进球的概率为.（2）据题意，甲在区进球的概率估计为，在区投篮进球的概率估计为.设事件为“甲在区投篮得分高于在区投篮得分”甲在区投个球，得分可能是，在区投个球，得分可能是.则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有：区分区分，概率估计为，区分区分，概率估计为，区分区分，概率估计为，区分区分，概率估计为，区分区分，概率估计为，则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率估计为.（3）甲在区投篮一次得分的期望估计是，甲在区投篮一次得分的期望估计是，设甲在区投篮次，则甲在区投篮次，则总的期望值估计为，解得，则甲选择在区投篮的次数最多是次．19.已知椭圆，离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）过坐标原点且不与坐标轴重合的直线交椭圆于，两点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为．求证：为直角三角形．（1）解：由题意知，解得,所以椭圆的方程为；（2）证明：设直线的方程为，交椭圆于，，由题意知，所以，直线的方程为，联立，消去得，，所以，设的中点为，则，，所以，因为在中，，所以．所以，即，所以为直角三角形.20.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：当时，；（3）设实数使得对恒成立，求的取值范围．（1）解：，故，又，故有，即，故切线方程为；（2）证明：令，则，由，故，故在上单调递减，所以，即当时，；（3）解：当时，，由（2）知，当时，，所以当时，对恒成立；当时，令，，当时，因为，所以，在上单调递增，，不合题意，当时，得，当时，，时，，所以在上单调递增，则时，，不合题意，综上，的取值范围是.21.对于项数为的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列.（1）若各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列；（2）证明：若数列中存在使得，则存在使得成立；（3）数列是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列．（1）解：由题意，各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列为：，，，（2）证明：由题意，假设不存在使得成立，根据数列定义可知，，所以，则，即，所以，所以，这与已知矛盾，故若此数列中存在使得，则存在使得成立．（3）解：由题意，必要性：，，，则．因为为单调递增数列，所以对所有的，或，否则．因此，所有的同号或为，即，所以为单调递增数列．充分性：因为为单调递增数列，，且，所以只能，所以同号或为，所以对所有的，或，所以．所以，即为单调递增数列．北京市石景山区2024届高三上学期期末数学试题第一部分（选择题）一、选择题1.已知集合，，则（）A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗，解得，所以，所以.故选：A.2.已知复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得在复平面内所对应的点为，则所对应的点为，所以，则，故选：B.3.展开式中含的项的系数为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由展开式的通项公式=,,令即,∴展开式中含的项的系数为.故选:B.4.已知向量，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，，∴，∵，∴，解得：，故选：B.5.已知为等差数列的前项和，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，所以，故选：C．6.直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗圆，即，所以圆心为，半径为，若直线与圆有两个不同交点，则，，符合题意的只有.故选：A7.设函数，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，由于，所以，所以.故选：C.8.在中，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，，由正弦定理得，由于，所以，所以，所以是锐角，且.故选：B.9.设函数，则是（）A.偶函数，且在区间单调递增B.奇函数，且在区间单调递减C.偶函数，且在区间单调递增D.奇函数，且在区间单调递减〖答案〗D〖解析〗的定义域为，，所以是奇函数，AC选项错误.当时，，在上单调递增，在上单调递增，根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递增，B选项错误.当时，，在上单调递减，在上单调递增，根据复合函数单调性同增异减可知在区间单调递减，D选项正确.故选：D.10.在正方体中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内（不含边界）一定存在一点，使得（）A. B.C.平面 D.平面平面〖答案〗A〖解析〗选项A，正方体中，显然有，连接延长，如果直线交棱于点（图1），则作交于，连接，则是梯形，作交于，则平面，如果直线交棱于点（图2），则直接连接，在三角形内作交于，也有平面，因此A正确；选项B，正方体中易知平面，因此与垂直的直线都可能平移到平面内，而当平面，平面时，直线与平面相交，不可能平移到平面内，B错；选项C，由选项B知与不可能垂直，因此与平面也不可能垂直，C错；选项D，过的平面只有平面与平面平行，因此要使得平面平面，则平面与平面重合，从而点只能在棱上，与已知不符，D错．故选：A．第二部分（非选择题）二、填空题11.函数的定义域为___________．〖答案〗〖解析〗依题意，，解得，所以的定义域为.故〖答案〗为：12.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为___________．〖答案〗〖解析〗由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以双曲线的离心率.故〖答案〗为：13.某学校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行数学知识测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如右频率分布直方图，则图中的值为_______，若全校学生参加同样的测试，估计全校学生的平均成绩为__________（每组成绩用中间值代替）.〖答案〗〖解析〗由频率分布直方图中总面积为，即，解得，，故可估计全校学生的平均成绩为.故〖答案〗为：；.14.已知命题：若，则．能说明为假命题的一组的值为______，_______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）（〖答案〗不唯一）〖解析〗，当且仅当时等号成立.所以，若，则，所以为假命题.所以一组的值为（〖答案〗不唯一）.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）；（〖答案〗不唯一）15.数列中，，给出下列四个结论：①若，则一定是递减数列；②若，则一定是递增数列；③若，，则对任意，都存在，使得；④若，，且对任意，都有，则的最大值是．其中所有正确结论的序号是___________．〖答案〗②③④〖解析〗依题意，，①若，则，如，则是摆动数列，所以①错误.②若，则，，构造函数，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以，所以，所以一定是递增数列，②正确.③若，，则，，，，当时，，所以是单调递增数列，且每次递增都超过，所以对任意，都存在，使得，③正确.④若，，则，对任意，都有，，，恒成立，所以，所以的最大值是，④正确.故〖答案〗为：②③④三、解答题16.如图，在三棱锥中，平面平面，，，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．（1）证明：取中点，连接，因为，所以；因为，所以；因为平面，所以平面；因为平面，所以．（2）解：由（1）知，平面，因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，，，如图建立空间直角坐标系．由已知，易得，，在中，，所以得，，，所以设平面法向量为，则即令，则，，于是．又因为平面的法向量为，所以．由题知二面角为锐角，所以其余弦值为．17.设函数．（1）若，求的值；（2）已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：函数的图象经过点；条件②：时，的值域是；条件③：是的一条对称轴．解：（1）因为，所以．因为，所以．（2）选①，∵，∴函数的图象不可能经过点，不合题意；选②，因为在区间上单调递减，且当时，的值域是，所以，.此时，由三角函数的性质可得，故．因为，所以.选③，因为在区间上单调递减，所以，即，解得．因为是的一条对称轴，所以.所以，即，解得.由，可知.18.某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分.学生甲在，两区的投篮练习情况统计如下表：甲区区投篮次数得分假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立．（1）试分别估计甲在区，区投篮命中概率；（2）若甲在区投个球，在区投个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率；（3）若甲在区，区一共投篮次，投篮得分的期望值不低于分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明）解：（1）甲在区投篮次，投进次，所以估计甲在区投篮进球的概率为，甲在区投篮次，投进次，所以估计甲在区投篮进球的概率为.（2）据题意，甲在区进球的概率估计为，在区投篮进球的概率估计为.设事件为“甲在区投篮得分高于在区投篮得分”甲在区投个球，得分可能是，在区投个球，得分可能是.则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有：区分区分，概率估计为，区分区分，概率估计为，区分区分，概率估计为，区分区分，概率估计为，区分区分，概率估计为，则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率估计为.（3）甲在区投篮一次得分的期望估计是，甲在区投篮一次得分的期望估计是，设甲在区投篮次，则甲在区投篮次，则总的期望值估计为，解得，则甲选择在区投篮的次数最多是