韦达定理与根的判别式

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韦达定理与根的判别式

知识点：

1、根的判别式b2

4ac

〔1〕b2

4ac0，方程有两个不相等的实数根；〔2〕b24ac0，方程有两个相等的实数根；〔3〕b24ac0，方程没有实数根；2、韦达定理

已知*1,*2是一元二次方程的两根，那么有

*b1*2

a

*1*2

ca

例1：已知一元二次方程*2

2*m10〔1〕当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

〔2〕设*2

1,*2是方程的两个实数根，且满意*1*1*21，求m的值练习：

1

、方程*2

30的根的状况是〔〕

A有两个不等的有理实根B有两个相等的有理实根C有两个不等的无理实根D有两个相等的无理实根2、已知*2

1,*2是方程2*3*40的两个根，那么〔〕A*331*22，*1*22B*1*22，*1*22C*1*32

2

，*1*22D*31*2

2

，*1*22

3

、已知方程*220，那么此方程〔〕

A无实数根B

两根之和为C两根之积为2

D

有一根为21

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4、已知*1,*2是方程2*3*10的两个根，那么

32

32

2

1*1

1*2

的值为〔〕

A3B-3CD

5、假设将二次三项式*2p*6因式分解，分解后的一个因式是*-3，那么p的值是〔〕A-5B-1C1D5

6、已知*1,*2是方程*4*30的两个根，那么*1*2的值是〔〕A-4B4C-3D3

7、在一元二次方程a*2b*c0(a0)中，假设a与c异号，那么方程〔〕A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D根的状况无法确定

8、已知一元二次方程的两根分别为*13,*24，那么这个方程为〔〕A(*3)(*4)0B(*3)(*4)0C(*3)(*4)0D(*3)(*4)0

9、关于*的一元二次方程3*2*k10有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是〔〕Ak

43

2

2

Bk

43

且k1Ck

2

2

43

Dk

43

10、假设关于*的一元二次方程(m2)*(2m1)*10有两个不相等的实数根，那么m的取值范围为〔〕Am

43

Bm

43

Cm

43

且m2Dm

43

且m2

2

2

11、已知一贯角三角形的三边为a、b、c，∠B=90，那么关于*的方程a(*1)2c*b(*1)0的根的状况为〔〕

A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D无法确定12、设*1,*2是方程2*4*30的两个根，那么

2

2

2

1*1

1*2

13、已知关于*的方程*2(m2)*m0有两个实数根，且两根的平方和等于16，那么m的值为14

、已知方程*(1

2

*

2

0的两根为*1,*2，那么*1*2的值为22

15、关于*的一元二次方程m*(3m1)*m0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。

2

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例2：m取什么值时，关于*的方程

2*2-(m＋2)*＋2m－2＝0

有两个相等的实数根？求出这时方程的根.

解：由于方程有两个相等的实数根，所以Δ0,即Δ=

=0解这个关于m的方程得

1、用判别式径直判断一元二次方程是否有实数根。

〔1〕y2＋y－4＝0〔2〕y2＋y+4＝0；〔3〕y2－y－4＝0〔4〕y2－y+4＝0；

2、m取什么值时，关于*的方程

2*2-4m*＋2m2－m＝0

(1)有两个相等的实数根？(2)有两个不相等的实数根？(3)没有实数根？

3、m取什么值时，关于*的方程

m*2-(2m-1)*＋m－2＝0

没有实数根？

一元二次方程根与系数的关系

解以下方程，将得到的解填入下面的表格中，你发觉表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？

〔1〕*2－2*＝0；〔2〕*2＋3*－4＝0；〔3〕*2－5*＋6＝0.

探索

一般地，对于关于*的方程*2＋p*＋q＝0〔p，q为已知常数，p2－4q≥0〕，用求根公式求出它的两个根*1、*2，

3

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*1＋*2=即：两根之和等于

*1*2=即：两根之积等于

练习

1、〔1〕*2－*－4＝0〔2〕*2－4*+1＝0；

*1*2=*1*2=*1.*2=*1.*2=

2、已知关于*的方程*2

－p*＋q＝0的两个根是0和－3，求p和q的值；

3、已知方程*2+k*

的一个根是-1，求k的值及另一个根.

4、假如2*2－m*－4=0的两个根分别是*1、*2,且

1*1的值是？

1

*=2，那么实数m2

5、假如2*2－5*－4=0的两个根分别是α、β，那么α+β+αβ=？

5、已知关于*的方程*2－6*＋p2

－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.

4

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22、假如*－m*+6=0的两个根分别是*1、*2,且

已知关于*的一元二次方程*2k*

2

2

1*1

1*2

=3，求实数m的值。

12

k

2

20，

〔1〕求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；〔2〕设*1、*

2

是方程的两根，且*122k*12*1*25，求k之值。

已知△ABC的两边长a=3，c=5，且第三边长b为关于*的一元二次方程*4*m0的两个正整数根之一，求证△ABC为直角三角形。

例6已知方程**10的两个实数根为*1,*2，求：(1)*1*2；

(3)*1*2；

5

2

2

2

2

(2)

1*1

1*2

；

(4)(*11)(*21)。

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二、填空题：

1．假设方程2*2

5*k0的两根之比是2：3，那么

2．假设方程2*24*30的两根为a、β，那么a22aββ2有。3．已知两个数的和是4，积为-2，那么这两个数等于。

4．假设方程3*24*k0的两根均为正数，那么k的取值范围是三、解答题

2．已知关于*的方程(a21)*2(a1)*10的两实根互为倒数，求a之值.

3．已知关于*的方程*22(m2)*m20，问：是否存在实数m,使方程的两个实数根的平方和等于56，假设存在，求出m的值；假设不存在，请说明理由.

求证:方程无论m为何值时,都有两个不相等的实数根．

三、应用题

1〕用配方法求*2–4*+5的最小值。3)用配方法求*2–8*+5的最小值。解：*2–4*+5

=*2–4*+22+1=(*–2)2+1

所以*2–4*+5的最小值是1。4)用配方法求-*2+4*+5的最大值。2)用配方法求*2–4*–5的最小值。

4)用配方法求-*2+4*+5的最大值。

6

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韦达定理与根的判别式

知识点：

1、根的判别式b2

4ac

〔1〕b2

4ac0，方程有两个不相等的实数根；〔2〕b24ac0，方程有两个相等的实数根；〔3〕b24ac0，方程没有实数根；2、韦达定理

已知*1,*2是一元二次方程的两根，那么有

*b1*2

a

*1*2

ca

例1：已知一元二次方程*2

2*m10〔1〕当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

〔2〕设*2

1,*2是方程的两个实数根，且满意*1*1*21，求m的值练习：

1

、方程*2

30的根的状况是〔〕

A有两个不等的有理实根B有两个相等的有理实根C有两个不等的无理实根D有两个相等的无理实根2、已知*2

1,*2是方程2*3*40的两个根，