河北省唐山市迁安沙河驿镇初级中学高三数学理下学期期末试卷含解析

河北省唐山市迁安沙河驿镇初级中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示，平面四边形中，，，将其沿对角线折成四面体，使，则下列说法中不正确的是A. B.

C. D.参考答案：D略2.我们把离心率之差的绝对值小于的两条双曲线称为“相近双曲线”.已知双曲线，则下列双曲线中与是“相近双曲线”的为（

）.A．

B．C．

D．参考答案：B双曲线的离心率为，对于A答案，其离心率为，不符合题意；对于B答案，其离心率为，符合题意；对于C答案，其离心率为，不符合题意；对于D答案，其离心率为3，不符合题意.选B.3.如图是一个正方体被一个平面截去一部分后得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是原正方体的体积的（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：由图可知，该几何体是底面腰长为的等腰直角三角形，高为的直三棱柱，其体积是原正方体的．故选C．考点：由三视图求面积、体积．4.已知z=2x+y，其中x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是A.

B.

C.

D.参考答案：D5.“”是“是函数的极小值点”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A，则，令或.检验：当时，，为极小值点，符合；当时，，为极小值点，符合.故“”是“函数的极小值点为”的充分不必要条件.6.已知函数,则的

值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：因为，所以，故选D．考点：1、函数值；2、推理与证明．7.函数的图象大致是

参考答案：答案：D8.已知函数f（x）=sin（x+）﹣在上有两个零点，则实数m的取值范围为(

)A． B． D．参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（x）=0得sin（x+）=，然后求出函数y=sin（x+）在上的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由f（x）=0得sin（x+）=，作出函数y=g（x）=sin（x+）在上的图象，如图：由图象可知当x=0时，g（0）=sin=，函数g（x）的最大值为1，∴要使f（x）在上有两个零点，则，即，故选：B【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用三角函数的图象是解决本题的关键．9.

参考答案：B10.已知函数，在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是

（

）

参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知随机变量的分布列如下表所示，的期望，则a的值等于

。0123P0．1ab0.2参考答案：略12.已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为，，则切线AD的长为

参考答案：略13.函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=ex﹣alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是．参考答案：[3e3，+∞）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可得|ex﹣alnx+c﹣g（x）|对x∈（0，+∞）恒为常数，且不为0．令x=1求得常数．再由题意可得f（x）=ex﹣alnx+c在（2，3）上无极值点，运用导数和构造函数，转化为方程无实根，即可得到a的范围．【解答】解：由题意可得|ex﹣alnx+c﹣g（x）|对x∈（0，+∞）恒为常数，且不为0．令x=1，可得|e﹣0+c﹣g（1）|=|e+c﹣e|=|c|＞0．由g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，可得：f（x）=ex﹣alnx+c在（2，3）上无极值点，即有f′（x）=ex﹣=，则xex﹣a=0无实数解，由y=xex，可得y′=（1+x）ex＞0，在（2，3）成立，即有函数y递增，可得y∈（2e2，3e3），则a≥3e3，故答案为：[3e3，+∞）．14.设a＞0，b＞0，且a+b=1，则+的最小值为

．参考答案：4【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式的应用，即可求+的最小值．【解答】解：∵a+b=1，∴+=（a+b）（+）=2+，当且仅当，即a=b=时，取等号．故答案为：4．15.对于任意恒成立，则实数a的取值范围______.参考答案：16.在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n=________时，Sn取得最大值.参考答案：略17.给出下列不等式：1＋＋＞1,1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，…，则按此规律可猜想第n个不等式为________．参考答案：1＋＋＋＋…＋＞观察不等式左边最后一项的分母3,7,15，…，通项为2n＋1－1，不等式右边为首项为1，公差为的等差数列，故猜想第n个不等式为1＋＋＋＋…＋＞.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明：直线AE与x轴相交于定点．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题；分类讨论；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率e，以及圆心（0，0）到直线x﹣y+的距离求出a，b，即可求解椭圆的方程．（2）设直线PB的方程为y=k（x﹣4）联立，设点B（x1，y1），E（x2，y2），通过韦达定理求出直线方程，即可求出定点坐标．【解答】解：（1）由题意知e==，∴=，即a2=…（2分）又∵圆心（0，0）到直线x﹣y+的距离为，∴b=．∴a=2，故椭圆的方程为：…（4分）（2）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4）联立，得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0①…（6分）设点B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，﹣y1），直线AE的方程为令y=0，得x=，…（8分）再将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入整理得x=②…（10分）由①得x1+x2=，x1x2=，代入②整理得x=1，所以直线AE与x轴相交于定点（1，0）…（12分）．【点评】本题考查直线方程与椭圆方程的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．19.已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|+m（m∈R）．（Ⅰ）若m=1，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实根，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）分x≤﹣2，﹣2＜x＜2，x≥2三种情况求解；（Ⅱ）由方程f（x）=x可变形为m=x+|x﹣2|﹣|x+2|．令作出图象如图所示．根据图象求解．【解答】解：（Ⅰ）∵m=1时，f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|+1．∴当x≤﹣2时，f（x）=﹣3，不可能非负；当﹣2＜x＜2时，f（x）=2x+1，由f（x）≥0可解得，于是；当x≥2时，f（x）=5＞0恒成立．所以不等式f（x）≥0的解集为．（Ⅱ）由方程f（x）=x可变形为m=x+|x﹣2|﹣|x+2|．令作出图象如图所示．于是由题意可得﹣2＜m＜2．20.已知向量=（sinωx﹣cosωx，1），=（cosωx，），设函数f（x）=，若函数f（x）的图象关于直线x=对称且ω∈[0，2]（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c，若a=，f（A）=1，求b+c的最大值．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算；9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）化简f（x），利用周期公式求出ω得出f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性列出不等式解出单调增区间；（Ⅱ）通过f（A）=1，求出A的值，利用余弦定理得到关于b+c的表达式，然后求其最大值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sinωx﹣cosωx）cosωx+=sinωx?cosωx﹣cos2ωx+=﹣=sin（2ωx﹣）函数f（x）的图象关于直线x=对称，则则，k∈Z且ω∈[0，2]，则ω=1…（4分）∴f（x）=sin（2x﹣），令2kπ+≤2x﹣+2kπ，解得kπ+，k∈Z∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）f（A）=sin（2A﹣）=1，且A是△ABC内角，∴0＜A＜π，则﹣＜2A﹣，所以2A﹣=，则A=，∵a=，由余弦定理=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc则（b+c）2﹣3bc=3，而bc≤（）2，所以3=（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣3×（）2=?b+c，当且仅当b=c=时，所以b+c的最大值为2．【点评】本题考查三角函数的化简求值，解三角形的知识，二倍角公式、两角和的正弦函数、余弦定理的应用，考查计算能力，注意A的大小求解，是易错点．21.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.（1）求点P的坐标；（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线交于A，B两点，若的面积为2，求C的标准方程.参考答案：22.（本题满分14分）中，，以的中线为折痕，将沿折起，构成二面角．在面内作，且．（I）求证：∥平面；（II）如果二面角的大小为，求二面角的余弦值．参考答案：（1）由得，所以为等腰直角三角形，由为的中点得，以的中线为折痕翻折后仍有，因为，所以∥，又平面，平面，所以∥平面．（2）如果二面角的大小为，由得平面，因此，又，所以平面，从而．由题意，所以中，．设中点为