力学答案解析(漆安慎,杜婵英)详解19章

第二章质点运动学（习题）

2.1.1质点的运动学方程为

(1).F=(3+2t)i+5j,(2).r=(2-3t)i+(4t-l)j求质点轨迹并用图表示。

解，①.x=3+2t,y=5,轨迹方程为y=5

x=2-3t

②[y=4t-l消去时间参量t得：3y+4x-5=0

2.1.2质点运动学方程为〒=e2，1+Gj+2刈（1）.求质点的轨迹;（2）.

求自t=-l至t=l质点的位移。

x=e

7-2

解，①〔消去t得轨迹：xy=l,z=2

2-222

②Ei=ei+ej+2k,r+1=ei+ej+2k

22-2

Ar=r+I-□=(e2-e)i+(e-e)j

2.1.3质点运动学方程为7=4产2⑵+3)j,(1).求质点的轨迹；(2).

求自t=0至t=l质点的位移。

解，①.*=超2»=21+3,消去1得轨迹方程

x=(y-3)2

②r=3j,r,=4i+5j,Ar=r,-r0=4i+2j

2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为

R.=4100m,仇=33.7°,o.75s后测得

R?=4240m,4=29.3°,R1,R2均在铅直平面内。求飞机瞬时速率的近

似值和飞行方向(a角)。

解,

AR=JR：+R；-2R]R2cos一名)代人数值得:

|AR|=、41002+42402-2x4100x4240cos4.4°

«349.385(m)

349.385

=465.8(m/s)

At0.75

利用正弦定理可解出a=-34.89°

2.2.2一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为

y=x2/200（长度mm）。第一次观察到圆柱体在

x=249mm处，经过时间2ms后圆柱体移到x=234mm处。求圆柱体瞬时速度

的近似值。

解,

=19.6mm/ms

a«-112.5°

2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m。另一人在广州听同一

演奏的转播，广州离北京2320km,收听者离收音机2m,问谁先听到声音?

声速为

340m/s,电磁波传播的速度为3.0xl（Fm/s。

解，

At.==0.05(s)

'340

3

、2320x10+^=0.0136(S)

△t,=~-3

23.0xl08

At2<At,

在广州的人先听到声音。

2.2.4如果不允许你去航空公司问讯处，问你乘波音

747飞机自北京不着陆飞行到巴黎，你能否估计大约用多少时间？如果

能，试估计一下（自己找所需数据）。

2.2.5火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h速率行驶，3min

后以70km/h速率向北偏西30"方向行驶。求列车的平均加速度。

解,

V,=90j,v2=-70cos60"i+70cos30"j,

Av=v2-v,=-70cos60"i+(70cos300-90)j

-I|Av|、对+29.378,......

a=J——!=-------------------=9O113.9O11(km/h2)

11At0.05

=0.071(m/s)

9131

^^=^,sine=0.7659,e=49.99'

sin30°sinO

2.2.6(1)1=区85行+1^加6+2戌水为正常数。求t=0,n/2时的速

度和加速度。(2)

1=36-4&2：+61味,求1=0,1时的速度和加速度(写出正交分解式)。

解：⑴

r=Rcosti+Rsintj+2tk,

▼==-Rsinti+Rcostj+2k,

dt

dv人人

9=出=-Rcosti-Rsintj

当t=0时，

v=Rj+2k,a=-Ri,

匕=0,v,=R,vz=2,

ax=-R,av=a,=0

当t=n/2时，

v=-Ri+2k,a=-Rj,

vx=-R,vy=0,v2=2,

ax=0,ay="R,az=0

(2)

r=3ti-4.5t2j+6t3k,

v=—=3i-9tj+18t2k,

-的

a=^=.9oj-

当t=0时，

v=3i,a=-9j,

当t=l时,

v=3i-9j+18k,a=-9j+36k,

2.3.1图中a、b和c表示质点沿直线

运动三种不同情况下的x-t图，试说

明三种运动的特点（即速度，计时起

点时质点的坐标，位于坐标原点的时

刻）。

解,a直线的斜率为速度

dx

v=—=tgl20°=-1.732(m/s)

axdt

t=O,xo=20m

20

X=0,—=tg60°,tL=20/、5=11.547(s)

tlx=0

b直线的斜率为速度

vbx=tg30°=0.577(m/s)

t=O,xo=10(m)

工-=tg30",tL=-10/0.577=-17.331(s)

c直线的斜率为速度

vcx=tg45"=l(m/s)

t=O,xo=-25(m)

tU=25(s)

2.3.2质点直线运动的运动学方程为*=a。0$}a为正常数。求质点速度

和加速度并讨论运动特点(有无周期性，运动范围，速度变化情况等)。

解，

71

v=—asint=acos(t+—

x2

as=-acost=acos(t+7t)

质点受力F=ma=-macost=-mx,是线性恢复力，质点

做简谐振动，振幅为a,运动范围在一a<x<a,速度具有周期性。

2.3.3跳伞运动员的速度为

'=Pl+e7'v铅直向下，B、q为正常量。求其加速度。讨论当时间足

够长时(即t-8),速度和加速度的变化趋势。

解，

q,-<q,-q,

dv=门qe(1+e")+qe(1-e)

a=M-

dtL(1+e-")2

=2fiqeq,

-e-*")2t—>oo,v—>P，a^O

2.3.4直线运动的高速列车在电子计算机控制下减速进站。列车原行驶速

度为V。=180km/h,其速度变化规律如图所示。求列车行驶至

x=1.5km时加速度的大小。

解,

a=-^1802sin^Ti=-9675.67(km/h2)

=—0.747(m/s2)

2.3.5在水平桌面上放置A、B两物体，用一不可伸长的绳索按图示的装

置把它们连接起来。c点与桌面固定。已知物体A的加速度=°・5g,

求物体B的加速度。

解,

以C为坐标原点，建立一维坐标系0-X。设绳的总长度为夕，B的坐标为

X

B,A的坐标为XA,则得

3*人-4*1|=悯端对1求导

33八u3

a„=—a=—x0.5g=—g

B4A48

2.3.6质点沿直线的运动学方程为2

X=10t+3to

（1）将坐标原点沿ox轴正方向移动2m,运动学方程如何？初速度有无

变化？

（2）将计时起点前移1s,运动学方程如何？初始坐标和初始速度都发生

怎样的变化？加速度变不变？

解，（1）X=10t+3t2

x'=x-2,x=x'+2,代入上式得：

x'+2=10t+3t2,x'=3t2+10t-2,

dxdx，.n=4,

dtdtx初速度不变。

（2）x=10t+3t2

tr=t+l,t=f-1代入上式得：

x=10(f-l)+3(f-l)2

=3C2+4f-7

初坐标t'=0,x=-7(m)由o变为—7m.

V、=6f+4初速度由iom/s变为4m/s.

加速度不变，都是6m/s2.

以下四题用积分

2.4.1质点由坐标原点出发时开始计时，沿x轴运动，其加速度

2

ax=2t[cm/s],求在下列两种情况下质点的运动学方程、出发后6s时

质点的位置、在此期间所走过的位移及路程：

(1)初速度V。=°；

(2)初速度V。的大小为9cm/s,方向与加速度方向相反。

解，⑴Vx=v“+J：axdt,

X=X。+£V,dtx=Jo12dt=-t\

当t=6s时,

x6=72(cm)Ax=72—0=72(cm)

质点运动的路程：/=72(cm)

⑵“-9+.”一9,

23

x=j'(t-9)dt=-t-9t

°3・

当t=6s时，

x=18(cm)Ax=18—0=18(cm)

6，，

2

Vx=t-9,vx=0,t=3,

质点运动的路程如图，

_ot=o

+ot=6x

11

-------c-------1♦-,-----一1------>---------------->

-1818

x=—t*'—9t

3,t=3,X3=-18,t=6,X6=18

质点运动的路程：As=18x2+18=54(cm)

2.4.2质点直线运动瞬时速度的变化规律为

匕-—3sint•求t]=3至L=5时间内的位移。

的

解，Ax=x—x,1=九C—3sintdt，

Ax=x,-x,=£5-3sintdt=3cost|：

=3(cos5-cos3)«3.82(m)

2.4.3一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为

a,=_A(o2cos(ot.在t=o时，匕=0,x=A,其中A、①均为正常数，

求此质点的运动学方程。

Vx=vOx+£axdt

解,

v、=卜Ao2cos3t•dt

=-Aofcosot-d(ot)=-Aosin(ot

X=X。+f；vdt,

x=A+］：_Acosinot•dt

=A+Acos®t|：=Acosot

2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动。刚着陆时，t=0时速度为

V。且坐标为x=o.假设其加速度为a*=-bv：,b=常量，求此质点的运

动学方程。

解,

Vx=，

(bvot+D

1

X=rvo档(bv°t+l)

Jodt=Jo

(bv0t+1)b(bvot+l)

11

X=x+[ftvdt=-ln(bvt+1)|>-ln(bvt+1)

0Jox,bobo

解以下四题中匀变速直线运动时应明确写出所选的坐标系、计时起点和

初始条件。

2.4.5在195m长的坡道上，一人骑自行车以18km/h的速度和-ZOcm/s?

的加速度上坡，另一自行车同时以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速度

下坡。问（1）经过多长时间两人相遇；（2）两人相遇时，各走过多少路

程。

解,

建立坐标系0-X,原点为质点1的初始位置。

对上坡的质点l:t=O,Vio=5m/s,Xio=O,ai=-O.2m/s2,

对下坡的质点2:t=0,v2o=-l.5m/s,x2o=195m,

a2=-0.2m/s；

相遇时，Xi=X2,所需时间设为t,则

11

。22

Xi+vj+=x20+v20t+，

5t--x0.2t2=195-1.5t--x0.2t2,

22

t=30(s)

质点i的速度表达式为：v

i=v10+axt=5-0.2t

vi==25s,所以质点i的路程为两段路程之和，如图所式。前

25s的路程:

5x25-1x0.2x252=62.5(m),

^x0.2x52=2.5(m)

后5s的路程：As】=62・5+2.5=65(m)

质点2的路程：195-62.5+2.5=135(m)

2.4.6站台上送行的人，在火车开动时站在第一节车厢的最前面。火车开

动后经过△t=24s,第一节车厢的末尾从此人的面前通过。问第七节车厢

驶过他面前需要多长时间？火车作匀加速运动。

xI-1_IIJ_II-3_II_4_II_5_I一7一I

Y■CC()CCC()CPC()C()C

,=lat%a=<

解，2242'

设火车第六节末尾经过此人的时间为t6,

火车第七节末尾经过此人的时间为t7,

11

62=—at：,72=—at；,

2627

.、卜=24®t7、T=24日

6V2^/2427,22/242

At7=t7-t6=24(77-V6)=4.71(s)

2.4.7在同一铅直线上相隔h的两点以同样的速率V。上抛二石子,但在高

处的石子早t。秒被抛出。求此二石子何时何处相遇。

卜y

、VV。

h卜Vv0

o

/，////

2

h+v°t_；gt2=v0(t-t0)-1g(t-t0)

解,

h.vt

--------1---------1-----0-

解出t得:gt。g2

2

y=h+v0t--gt

将t代入2,得

y=g(h+'-h2宜)

2ggt;4

2.4.8电梯以1.Om/s的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板0.50m高,

问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离?

解,

建立基本坐标系0-X,原点固结在地面上，建立运动坐标系o'-X’原点

固结在电梯的地板。

小孩相对运动参照系O'-X’（电梯）跳起到落回地板所需时间设为t,

h=-g（—）2,

则22解出td得，

,、师

t=2、,

vg这段时间电梯下降的距离为As,

〜，12x0.50八…/、

As=2v=2xlxJ———=0.638(m)

2.5.1质点在o-xy平面内运动，其加速度为

人人

costi—sintj,位置和速度的初始条件为t=0时

―f人•―►•人

V=J,r=1,求质点的运动学方程并画出轨迹（本题用积分）。

解，由A=_costi_sintj,得

a、=—cost,%=-sint初始条件:

t=0时，vOx=O,vOy=l,xo=l,yo=O

vv+adt

x=ox£xvx=£-costdt=-sint

Vy=v°y+j>ydtVy=1+5—sintdt=cost

x=x0+JTOvxdt,x=JOl+f-sintdt=cost

y=y0+JoVydty=J^costdt=sint

x=cost

V

y=sint

人人

a=costi+sintj,

轨道方程：x?+y2=1

2.5.2在同竖直值面内的同一水平线上A、B两点分别以30°、60°为发射

角同时抛出两小球欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求A、B

两点的距离。已知小球在A点的发射速率VA=9・8m/s・

解,

HA=HB,RA/2=RB/2+AB,

y2

H=^sin230°,

A2g

2

HB=^sin60°,

2g

22

^sin230°=^sin260°,

2g2g

2

2v：sin30°

v——X_________

2

Bsin60°,

v2

sJsin(2x30"),

RA=g

v2

g-JLsin(2x60°),

RB=g

___RR1

AB=、一一1=——(v：sin60°-vjsinl20°)

222gAB

v：sin600「sin230°sinl20°

J--------(1---------------------)x

2gsin360°

v：sin60°sin230°

(1-)«2.38(m)

2gsin260°

2.5.3迫击炮弹的发射角为60°,发射速率150m/s.炮弹击中倾角30°的山

坡上的目标，发射点正在山脚。求弹着点到发射点的距离0A.

解,

2

x____?____X

yA=Atga--22A

2v0cosa

YA=SA-勺X；，……⑴

V▼o

由几何关系：

--73--

X、=OAcos30°=^OA……(2)

A2

y=OAsm30°=-OA……(3)

A2

将(2)、(3)式代入⑴式

OA(^OA-1)=0

2工

OA=0,舍去

-----2v2

OA=—^«15.3xl02(m)

3g

2.5.4轰炸机沿与铅直方向成53°俯冲时，在763m高度投放炸弹，炸弹

离开飞机5.0s时击中目标。不计空气阻力。(1)轰炸机的速率是多少？

(2)炸弹在飞行中经过的水平距离是多少？(3)炸弹击中目标前一瞬

间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少？

解，以投放炸弹处为坐标原点

2y-gt?

y=V.,cos53°•t+-gt2,v=

⑴,°IT0n2cos53°t'

2x763-9.8x52

V°~—2cos53°•5=212.9(m/s)

(2)x=v0sin53°♦t=212.9x0.7986x5«850.1(m),

(3)

v=vosin53°«170(m/s),

vv=v°cos53。+gt«177.1(m/s)

2.5.5雷达观测员正在监视一越来越近的抛射体，在某一时刻，靠他得到

这样的信息：（1）抛射体达到最大高度且以速率v沿水平方向运动；（2）

观察者到抛射体的直线距离为夕；（3）观测员观察抛体的视线与水平方向

成°角。

问：（1）抛射体命中点到观察者的距离D等于多少？（2）何种情况下抛

体飞越观察者的头顶以后才击中目标？何种情况下抛体在未达到观测员

以前就命中目标？

1

H=^sinG=—gt2

解，(1)2

观测者x观察者=0cos6

抛射体命中点到观察者的距离

(2)

当X命中点＞X观察者

9飞越观察者的头顶击中目标，即

5

V。

g

v>^cosO

022sin0

当x命中点vx观察者，抛体在未达到观测员以前就命中目标，即

v<^COS0

o22sin0

2.6.1列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围

内，其运动学方程为S=80t-t2（长度：m时间：s）。t=0时，列车在

图中。点,此圆弧形轨道的半径r=1500m.求列车驶过。点以后前进至

1200m处的速率及加速度。

解，采用自然坐标系，。为自然坐标系的原点。

由§=801一下得

dsCA〜dv-

v=——=80—2ta=--=-2

Tdt,Tdt,

当s=1200m时，由s=80t-t2得1200=80t—t2,

t=20,t=60,(舍去)因为当t=60时，

vT=80-2x60=-40

当t=20,v‘=80—2x20=40(in/s)即列车驶过。点以

后前进至1200m处的速率为40m/s.

过。点以后前进至1200m处的加速度：

dv〜­、

=-3f=-2(m/s2)

at

402_

1.067(m/s2)

1500-

a=Ja：+a：=V22+1.0672=2.267(m/s2),

可以算出五与▽的夹角为152°。

2.6.2火车以200km/h的速度驶入圆弧形轨道，其半径为300m。司机一

进入圆弧形轨道立即减速，减速度为2g。求火车在何处的加速度最大?

最大加速度是多少?

解，ax=_2g，

v=v°_2gt,

(v0-2gt)2

R

(v-2gt)4

(2g)2+0

R2

由上式可见t=0时（刚进入圆弧形轨道时），a最大。

a

max

入数值得

(200xl03/3600)4

a4x98+=22.1(m/s2)

max3002

0=tg1%«27°42r

a,

2.6.3斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道运动。当斗车达到图中所示

位置时，轨道曲率半径为150m,斗车速率为50km/h,切向加速度a『=0.4g.

求斗车的加速度。

v2

a=0.4g,an=-^,

解，R

a=Ja：+a：«4.126(m/s2)

0=tg1«18.16°

加速度与水平方向的夹角

a=30°-18.16°=11.84°

2.8.1飞机在某高度的水平面上飞行。机身的方向是自东北向西南，与正

西夹15°角，风以100km/h的速率自西南向东北方向吹来，与正南夹45°

角，结果飞机向正西方向运动。求飞机相对于风的速度及相对地面的速

度。

解，基本参照系：地面

运动参照系：风

研究对象：飞机

-►-►-►

绝对速度：V机地，相对速度：V机风，牵连速度：V风地

-►-►­►

V机地二V机风+V▼风地

VV

y机风▼风地

(1)sinl35°sinl50'

sinl35°/、

v机风=sin151V风地=75.9(m/s)

v▼机地_V▼风地

（2）sin30°sinl5°'

sin300___z,、

v知碗=----------1v凤岫=53・7（m/s）

机地sinl5°风地

2.8.2飞机在静止空气中的飞行速率是235km/h,它朝正北的方向飞行,

使整个飞行的时间内都保持在一条南北向的公路上空。地面观察者利用

通讯设备告诉驾驶员正在刮着速率等于70km/h的风，但飞机仍能以

235km/h的速率沿公路方向飞行。（1）风的方向是怎样的？（2）飞机的

头部指向哪个方向？也就是说，飞机的轴线和公路成怎样的角度?

解，基本参照系：地面

运动参照系：风

研究对象：飞机

-►-►­►

绝对速度：V机地，相对速度：V机风，牵连速度：V风地

―►—*1-►

V机地=V机风+VV风地

35

sina=----«0.1489,

235

a«8.57°=8°34'

0«2a=2x8.57°=17.14°=17°8'

2.8.3一辆卡车在平直路面上以恒定速率30m/s行驶，在此车上射出一抛

体，要求在车前进60m时，抛体仍落回到车上原抛出点，问抛体射出时

相对于卡车的初速度的大小和方向，空气阻力不计。

解，以卡车为参照系，以起抛点为坐标原点，建立直角坐标系。-xy,如图

所示。以抛出时刻为计时起点。

巩

ax=0=—g,

Vx=VO.x7

Vy=v°y+J：—gdt=v°y-gt，

x

=Jov°、dt=vOxt,

=v2

yJo(oy-gt)dt=vOyt-|gt.

Vox=v°cosa,v°y=v°sina

得：

2

x=v0cosat,y=v0sinat——gt.

t=—=2(s)0\t,x=O,y=0

由已知，30代入

0=v0cosa-2,.....(1),

1

0=vsina-2——g-22.....(2)

02

由(1)得cos=0,sina=

由(2)得v0=9.8(m/s)

表明：抛射体相对卡车以9.8m/s的速率竖直上抛时，当卡车前进了60m,

抛体落回抛射点。

2.8.4河的两岸互相平行，一船由A点朝与岸垂直的方向匀速行驶，经

lOmin到达对岸的C点。若船从A点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直

地到达彼岸B点，需要12.5min。已知BC=120m.求(1)河宽i,(2)第

二次渡河时船的速率u,(3)水流速度v

Q小BC、、

v船水=；-，……(l)v水岸=7，……(2)

解，第一次.'

笙一/V［岸=v'sina=v„.sina……(3)

v永良=v护永cosa.....(4)

八%力……⑸

2=v•t

由(1)式得‘船水1

山。、心殂夕=vsina-t2

由(3)(5)得船水2

sina'=0.8,a=53.12。

t2

由(2)(4)得

BC

1=丫船水＜^)5℃，

v=---B--C---=---------1-2--0-------=—1(m,/s,)、

船水Lcosa600xcos53.13°3由a)式

=vr7kt船=水-ix6030=200(\m)/

V水岸=V船水cosa=|cos53.13°=0.2(m/s)

2.8.5圆弧公路与沿半径方向的东西向公路相交如图。某瞬时汽车甲向东

以20km/h的速率行驶；汽车乙在。=30°的位置向东北方向以速率

20km/h行驶。求此瞬时甲车相对乙车的速度。

解，基本参照系：地面

运动参照系：乙车

研究对象：甲车。

▽甲地=▽乙地+%乙

v甲乙-20km/h=5.56(m/s)

a=30°(东偏南600)

第三章动量定理及动量守恒定律（思考题）

3.1试表述质量的操作型定义。

Av0

m=m0kg

解答，Av

式中m。=lkg（标准物体质量）

△Wo：为m与m。碰撞m。的速度改变

AV；为m与m。碰撞口的速度改变

这样定义的质量，其大小反映了质点在相互作用的过程中速度改变的难易

程度，或者说，其量值反映了质量惯性的大小。这样定义的质量为操作型

定义。

3.2如何从动量守恒得出牛顿第二、第三定律，何种情况下牛顿第三定律

不成立？

解答，由动量守恒

Pl+D；=山+①，Pl-Pl=-（p2-p2）

Apt=-Ap2,

Ap1=_Ap1

AtAt

dp1=_dp1

取极限dtdt

动量瞬时变化率是两质点间的相互作用力。

瓯d-、一

对于运动电荷之间的电磁作用力，一般来说第三定律不成立。（参见P63

最后一自然段）

3.3在磅秤上称物体重量，磅秤读数给出物体的“视重”或“表现重量”。

现在电梯中测视重，何时视重小于重量（称作失重）？何时视重大于重量

（称作超重）？在电梯中，视重可能等于零吗？能否指出另一种情况使视

重等于零？

解答，①电梯加速下降视重小于重量；

②电梯加速上升视重大于重量；

③当电梯下降的加速度为重力加速度g时一，视重为零；

④飞行员在铅直平面内的圆形轨道飞行，飞机飞到最高点时、

22

VV

m—=mg+N,N=m-----mg=0,

RR

v=7gR

飞行员的视重为零

3.4—物体静止于固定斜面上。

(1)可将物体所受重力分解为沿斜面的下滑力和作用于斜面的正压力。

(2)因物体静止，故下滑力mgsina与静摩擦力1A0N相等。a表示斜

面倾角，N为作用于斜面的正压力，口。为静摩擦系数。以上两段话确切

否？

解答，不确切。

(1)重力可以分解为沿斜面向下的和与斜面垂直的两个力。但不能说分

解为沿斜面的下滑力和作用于斜面的正压力。

(2)应该说，因物体静止，物体所受的力在斜面方向的分力的代数和为

零。

3.5马拉车时，马和车的相互作用力大小相等而方向相反，为什么车能被

拉动。分析马和车的受的力，分别指出为什么马和车能启动。

解答，

分析受力如图。地面反作用于马蹄子上的力使系统启动。

3.6分析下面例中绳内张力随假想横截面位置的改变而改变的规律：

(1)长为［质量为m的均质绳悬挂重量为W的重物而处于静止。

(2)用长为2质量为m的均质绳沿水平方向拉水平桌面上的物体加速前

—►

进和匀速前进。对两种情况均可用F表示绳作用于物体的拉力，不考虑

绳因自重而下垂。

(3)质量可以忽略不计的轻绳沿水平方向拉在水平桌面上运动的重物，

绳对重物的拉力为■，绳的另一端受水平拉力FI，绳的正中间还受与F］

的方向相同的拉力T2。

(4)长为［质量为m的均质绳平直地放在光滑水平桌面上，其一端受沿

—►

绳的水平拉力F而加速运动。

(5)长为［质量为m的均质绳置于水平光滑桌面上，其一端固定，绳绕

固定点在桌面上转动，绳保持平直，其角速率为①。

若绳保持平直，你能否归纳出在何种情况下绳内各假想横截面处张

力相等。(提示：可沿绳建立。x坐标系，用x坐标描写横截面的位置)。

解答，⑴

T=W+『("y)=W+n^_『y

y是在0至i之间的任意位置。

(2)

匀速前进：F=J1W,T=F

T=F+—xa

加速运动：F>jiw,2

(3)

।।

oXX

&

0<x<5，T=F+F2,

2<X<£，T=F„

(4)

___________________F

/Z|////______________-

H----------V--------------3

OXX

⑸

-mT-2-mcom/2x\

dm=—dx,T=Jcoxdm=CD2——\rxdx=-----(---------)

£J*Qk222

若绳保持平直，绳的两端受到大小相等方向相反的外力作用时一，绳静止或

匀速直线运动。这时张力处处相等。若绳保持平直，绳的两端受到大小不

等方向相反的外力作用时、绳加速直线运动，这时在忽略绳的质量时，张

力处处相等。

3.7两弹簧完全相同，把它们串联起来或并联起来，劲度系数将发生怎样

的变化？

-

S

i

s

ksk

i

n△-2,

△x.△Q/22

-

△K

mgwmg

-*p

ET

J

Wmg

解答，如图，串联时：mg=F=kA2=k'2A£2

并联时：mg=F=kA2=k'A"2,k'=2k。

3.8用两段同样的细线悬挂两物体，若突然向下拉下面物体，下面绳易断,

若缓慢拉，上面线易断。为什么？

////

解答，突然向下拉下面物体时，由于上面物体要保持静止状态(惯性)，

由于过程的时间极短，上面物体还没有来得及改变状态，下面的绳就断了。

若缓慢拉下面物体时，上面物体能够来得及改变状态，这样上面绳内的张

力比下面绳内的张力大，所以上面绳易断。

3.9有三种说法：当质点沿圆周运动时，

(1)质点所受指向圆心的力即向心力；

(2)维持质点作圆周运动的力即向心力；

(3)mv〃i•即向心力。

这三种说法是否正确？

解答，以上说法都不确切。

(1)

如图r的a方向投影为向心力，向心力为

(2)维持质点作圆周运动的力可能有ZH.ZE,o

(3)mT/i•不是力，是外力对物体作用的瞬时效应。

一dvd/一、dQ

ma=m——=——(mv)=——

m9是动量的变化率，dtdtdt。

3.10杂技演员表演水流星，演员持绳的一端，另端系水桶，内盛水，令

桶在铅直平面内作圆周运动，水不流出。

(1)桶到达最高点除受向心力外，还受一离心力，故水不流出；

(2)水受到重力和向心力的作用，维持水沿圆周运动，故水不流出。

以上两种说法正确否？作出正确分析。

解答，以上两种说法不正确。

(1)向心力不是独立于其它相互作用之外的力，向心力为ZEn。离心

力为

LFin的反作用力，它不作用于桶上。

(2)在惯性系内，水沿圆周运动，所受的力为重力和桶对水的作用力即

N+mg=m^

在非惯性系内，水除受重力和桶对水的作用力外，还受惯性离心力

3.11游戏场中的车可在铅直圆环轨道上行驶，设车匀速前进。在图中标

出的几个位置E、C、A、B、D上，何处乘客对坐位的压力最大？何处最小?

A

解答,

v2

N=-mgcosG+m—,

R

COS0=1,9=0时，N最小

COS0=-1,0=71时，N最大。在最下面。

可以得出D、E点N最大。

3.12下面的动力学方程哪些线性哪些非线性?

一2一

dt非线性

2

dx2

m-=2x+1,

dt~线性

2

dx4x、2

m-=(——心

dtdt非线性

一次方程叫线性方程。n阶线性方程具有下列形式

(nn-1n-2

x+p1(t)x4-p2(t)x+・・・+pnl(t)x'+pn(t)x=q(t)

对于2阶线性方程具有下列形式

x"+p0)x，+p2(t)x=q(t)

3.13尾部设有游泳池的轮船匀速直线航行，一人在游泳池的高台上朝船

尾方向跳水，旁边的乘客担心他跳入海中，这种担心是否必要？若轮船加

速行驶，这种担心有无道理？

解答，(1)不必要。由伽利略下的相对性原理

(2)若轮船加速行驶，这种担心有道理。

在加速平动的非惯性中人除了受到物体的相互作用力外，还受到与加速度

方向相反的惯性力，此力有可能使他跳入海中。

3.14根据伽利略相对性原理，不可能借助于在惯性参照系中所作的力学

实验来确定该参照系作匀速直线运动的速度。你能否借助于相对惯性系沿

直线作变速运动的参照系中的力学实验来确定该参照系的加速度？如何

作？

解答，

ma=TsinG,

mg=TcosO,

tg6=-.

g

a=gtgG

测出9,a可求。

3.15在惯性系测得的质点的加速度是由相互作用力产生的，在非惯性系

测得的加速度是惯性力产生的，对吗？

解答，不对。

ZE+(-ma)=maf

3.16用卡车运送变压器，变压器四周用绳索固定在车厢内，卡车紧急制

动时，后面拉紧的绳索断开了。分别以地面和汽车为参照系，解释绳索断

开的原因。

制动时加速度向后

解答，地面为参照系（惯性系），变压器为研究对象，其加速度向后，所

以作用在变压器上的合力向后，后面的绳索作用在变压器的力比前面的

大。（由于加速度较大，静摩擦力远远小于绳索的拉力，静摩擦力可以不

考虑）

制动时加速.反向后

汽车为参照系（非惯性系），变压器为研究对象，相互作用力和惯性力矢

量和为零，可见，后面的绳索作用在变压器的力比前面的大。

3.17是否只要质点具有相对于匀速转动圆盘的速度，在以圆盘为参照系

时，质点必受科里奥利力？

解答,科里奥利力f：=2m%x荷=-2mox▽相

=o

如图，质点具有相对于匀速转动圆盘的速度，在以圆盘为参照系时，质点

不一定就受到科里奥利力。

3.18在北半球，若河水自南向北流，则东岸受到的冲刷严重，试由科里

奥利力进行解释。又问，河水在南半球自南向北流，哪边河岸冲刷较严重？

解答，科里奥利力：'k相xCO21Tle0xV相

在北半球，若河水自南向北流，应用科里奥利力可判断东岸受到的冲刷严

重。河水在南半球自南向北流

时，西岸受到的冲刷严重。

见图。

3.19在什么情况下，力的冲量和力的方向相同？

解答，冲量是矢量，元冲量的方向总是与力的方向相同；至于在一段较长

时间内，力的冲量等于这段时间内各无穷小时间间隔元冲量的矢量和，因

此，力的冲量方向决定于这段时间诸元冲量矢量和的方向，即

I=rFdt

Jt。，不一定和某时刻力的方向相同。当在一段时间内，各无

穷小时间间隔元冲量方向都相同时一，则这段时间内力的冲量和力的方向相

同。另外冲量和平均力的方向总是一致的。

3.20飞机沿某水平面内的圆周匀速率地飞行了整整一周，对这一运动，

甲乙二人展开讨论：

甲：飞机既然作匀速圆周运动，速度没变，则动量是守恒的。

乙：不对，由于飞行时，速度的方向不断变化，因此动量不守恒。根据动

v2

m—

量定理，动量的改变来源于向心力的冲量。向心力就是r,飞行一

271r

周所用时间为v,飞行一周向心力的冲量等于

V2271T

FAt=111--------=27nliv

rV(m为飞机质量，v为速率，r为圆周

半径。

分析他们说得对不对。

解答，都有错误。

甲的错误是说“速度没变”，动量就守恒。

应该说：速率不变但速度方向不断变化，动量不守恒。

V2

m—

乙的错误：“向心力就是r”；“飞行一周向心力的冲量等于

v2271r

FAt=m--------=2兀mv

应该说：飞行一周向心力的冲量等于零。根据动量定理，

1''►>

飞行一周时，飞机动量改变为零。如图。

mv-mv0>

3.21棒球运动员在接球时为何要戴厚而软的手套？篮球运动员接急球时

往往持球缩手，这是为什么？

前.i一一口出/一"

解答，根据AtAtAt,AtTF

3.22“质心的定义是质点系质量集中的一点，它的运动即代表了质点系的

运动，若掌握质点系质心的运动，质点系的运动状况就一目了然了。”对

否？

解答，不对。

质心运动情况不能说明质点系内各质点的运动情况。

3.23悬浮在空气中的气球下面吊有软梯，有一人站在上面。最初，均处

于静止，后来，人开始向上爬，问气球是否运动？

解答，运动。内力不影响质心的运动，人向上爬，气球向下运动，达到质

点系的质心位置不变。

3.24跳伞运动员临着陆时用力向下拉降落伞，这是为什么？

解答，可达到减少人着陆的速度，减轻地面对人的冲力。

3.25质点系动量守恒的条件是什么？在何种情况下，即使外力不为零,

也可用动量守恒方程求近似解?

―►

解答,(1)ZE外=0

(2)外力远远小于内力；外力在某一方向上的投影代数和为零，则质点

系的动量在该方向上守恒。

第三章动量定理及动量守恒定律(习题)

3.5.1质量为2kg的质点的运动学方程为

r=(6t2-l)i+(3t2+3t+l)j

(t为时间，单位为s；长度单位为m).

求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。

解，v=12ti+(6t+3)j

a=12i+6j

—►人八

F=ma=24i+12j(恒量)

F=V242+122=26.83(N)

12

6=tg1t=26.57°

24

3.5.2质量为m的质点在oxy平面内运动，质点的运动学方程为

r=acoscoti+bsincotj,a,b,①为正常数，证明作用于质点

的合力总指向原点。

八人

解干=-acosincoti+bcocoscotj,

a=-a(o2coscoti-ba>2sincotj,

=-cor

―►

F=ma=-mcor

3.5.3在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面

逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了

从较底的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒

发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4,问筛

沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动。

解答，

以谷筛为参照系，发生相对运动的条件是

ma'>f0=gomg,

a'W°g，

a'最小值为"=MoS=0,4x9.8=3.92(m/s2)

以地面为参照系：

解答，静摩擦力使谷粒产生最大加速度为

ma—N°mg,

a

max=Nog，

发生相对运动的条件是筛的加速度a'Namax=Mog,

a最小值为a'==°・4x9,8=3.92(m/s2)

3.5.4桌面上叠放着两块木板，质量各为m-m?,如图所示。m?和桌面

间的摩擦系数为四2,m1和m?间的静摩擦系数为内。问沿水平方向用多

大的力才能把下面的木板抽出来。

@2汽a、

miUiHlig

一口1叫g_=-----------=f

/、m2____Vp

-口2(印1+小2)日

11>X

__-OIA,

a2

解，对于m1：

p1m1g=m]a1,……(1)

对于m2：

F-内mg-M2(m+m2)g=m2a2,……(2)

m】和m?发生相对运动的条件是：a2>a,

F—内mg—p，2(m1+mjg之冉mg

mm

2.

FN(也+%)(ni|+m2)g

3.5.5质量为m?的斜面可在光滑的水平面上滑动，斜面倾角为a,质量

为的运动员与斜面之间亦无摩擦，求运动员相对斜面的加速度及其对

斜面的压力。

解，隔离体:

对于m?.R-m,g-Ncosa=0

Nsina=m2a1

对于m.Ncosa-m^=-mia2sina

-Nsina-111,3,=-m1a2cosa

(m,+m)gsina

a2

2=m+；msm­a

联立求解：2.，

N=m,m2gcosa

2

m2+msina

3.5.6在图示的装置中两物体的质量各为m-m”。物体之间及物体与桌

面间的摩擦系数都为口o求在力F的作用下两物体的加速度及绳内张力。

不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦,绳不可伸长。

解，对于

m,Fim1g-T=-m1a,

=……(1)

对于m?：

一

F-p(m1+m2)g-T=m2a……(2)

a=1s2HlM-g

解方程得：mi+m2

mJF-

X-