高等数学试卷(期中考2005.4)2022

PAGEPAGE1考生信息栏＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿年级姓名＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿装订线┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2005年4月高数A试卷一、选择题：(每小题4分，共20分)1.设有直线与则与的夹角为。答案：C（A） （B）(C)（D）2.在曲线的所有切线中，与平面平行的切线。答案：B（A）只有1条 （B）只有2条(C)只有3条（D）不存在3.二元函数在点（0，0）。答案：C（A）连续，偏导数存在 （B）连续，偏导数不存在(C)不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在4.设有平面区域，，则。答案：A（A） （B）(C)（D）0．5.设有空间区域则有。答案：C（A） （B）(C)（D）二、填空题：(每小题4分，共24分)设,则=。答案：42．设一平面经过原点及点,且与平面垂直,则此平面方程为。答案:3．函数在点处的梯度为。答案:4．函数处沿点A指向点的方向导数为。答案:5．设区域为,则=。答案:6.设是由曲面与所围成的区域,则=。答案:三、计算：(每小题8分，共24分)已知心形线.求（1）心形线的全长;(2)心形线所围图形的面积;(3)心形线绕极轴旋转一周后生成的旋转体的体积.答案:(1),(2),(3).解:(1)利用对称性,心形线的全长为(2)利用对称性,心形线所围面积(3)考虑在处,夹角为,半径为的扇形绕极轴旋转后生成的旋转体的体积,则由球扇形(球缺)体积计算公式有从而注:第(3)小题这次期中考试不做.考生信息栏＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿年级姓名＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿装订线┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2．求函数在原点的二阶偏导数.解:由偏导数的定义,得又因为当时,从而求曲线在点处的切线及法平面方程.解:对曲线方程两边关于求导,得解得1,1,1)=,1,1,1)=,从而从而所求曲线在点(1,1,1)的切线方程为,法平面方程为即四、计算（每小题6分，共24分）1．设,其中满足方程求(1),其中是由方程所定义;(2),其中是由方程所定义.解:(1)对方程两边关于求偏导数,并视,解得,于是从而(2)对方程两边关于求偏导数,并视,解得可得,于是从而2．设函数在点处可微,且.解:因为,从而,利用条件得3．改变积分次序并求值:解:原式4．计算,其中为椭圆所围闭区域.解:作广义极坐标变换:则区域变为,且变换的Jacobi行列式为从而=五、计算题（每小题4分，共8分）已知曲面,求经过点且与直线平行的切平面方程.解:设所求切平面经过曲面上的切点为,则曲面在该点的法向量为,从而切平面方程为:,(1)将点代入方程(1),得,(2)切平面与直线平行,故有,(3)又切点在曲面上,故有,(4)联立(2),(3),(4)求得切点为(2,1,1),代入(1),得所求切平面为在曲面上求与平面的距离最大的点的坐标.解:问题得实质是求所给曲面所确定的隐函数的绝对值的最大值.法一:对曲面方程两边分别关于求