2023届江苏省苏州市高三年级上册数学高考模拟卷答案附答案

高考模拟

试卷副标题

考试范围：XXX；考试时间：100分钟；命题人：XXX

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

一、单选题（共0分）

1.设全集U=R,A=或x>2},8={y|y=W，xeR},则（gA）U8=（）

A.{x|x<-l}B.{x|-l<x,O}C.2}D.{x|x>-l}

2.已知复数2=-工+且i,则L+5•等于（）.

22z

A.-1B.0C.D.-i-73i

3.米斗是我国古代官仓，粮栈、米行必备的用具，是称量粮食的量器.如图是一种米

斗，可盛米10升（1升=1000cm3）,已知盛米部分的形状为正四棱台，且上口宽为

18cm,下口宽为24cm,则高约为（）

A.18.8cmB.20.4cmC.22.5cmD.24.2cm

4.直线/：依+0y=0和圆C：V+-2ox-2/?y=0在同一坐标系的图形只能是

5.（l+xy+（l+xy+…+（l+x）9的展开式中/的系数是（）

A.84B.120C.122D.210

6.已知函数/(x)=2cos2,+V+l,若在［0,可上的值域是1,|,则实数a的

取值范围为（）

A•呜兀24225

B.二■兀，大兀C.-71,4-00D.-7r,-7t

3333

7.下列不等式正确的是（其中e、2.718为自然对数的底数，兀。3.14,山2。0.69）

()

亢-34gtosl2

A.晨凌”B.--<eln2C.-------<2&D.sinl<-

"<兀3cos2+l兀

，2

8.已知椭圆点+v方=1,>6>0))的焦点为《，尸”P是椭圆上一点，且

2PF\-PF；=\PF\\-\PF；\,若△耳「心的内切圆的半径r满足|P用=3rsinN耳名尸，则

（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（）

7b

A而RAW0回2>/2?

A•---D.-3-/--L•---D.

101077

二、多选题（共0分）

9.设等比数列｛4｝的公比为4,其前〃项和为S“，前〃项积为T“，且满足条件q>1,

。2022，“2023>1，（4（）22一］），（〃2023一1）<。，则下列选项正确的是（）

A.为递减数列B.S2022+1<^2023

C.4）22是数列｛0”中的最大项D.GMS>1

10.已知编号为1,2,3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球

和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号

球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同

编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）

试卷第2页，共6页

A.在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为:

2

B.第二次抽到3号球的概率为二

C.如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大

D.如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法

有300种

11.己知点8（1,0）,G（0,l）,抛物线C：V=4x.过点G的直线/与C交于

P（x”X）,。（马,力）两点，直线ARA。分别与C交于另一点E,F,则下列说法中正确

的是（）

A.%+＞2=＞跖

B.直线EF的斜率为4

C.若△POE的面积为毡（。为坐标原点），则声与丽的夹角为J

66

D.若M为抛物线C上位于x轴上方的一点，=则当r取最大值时，

^ABM的面积为2

12.若点P是棱长为2的正方体A8CO-A4GA表面上的动点，点M是棱AR的中

点，贝（I（）

A.当点P在底面ABC。内运动时，三棱锥尸-G2M的体积为定值;

B.当时，线段4尸长度的最大值为4

C.当直线AP与平面ABC。所成的角为45。时，点尸的轨迹长度为40+万

D.直线。M被正方体ABCO-A4cA的外接球所截得的线段的长度为华

第II卷（非选择题）

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三、填空题（共0分）

13.重庆八中某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布（105,*）.若

P（9既收120）=1,则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生

的成绩高于120的概率是.

14.用max{a,。}表示a"两个数中的最大值，设函数/（x）=max］凶,》。＞0）,若

恒成立，则加的最大值是.

15.在四面体F4BC中，PA±AB,PA1AC,NB4c=120。，设

AB^AC=-AP=42,则该几何体的外接球的体积为

2

16.已知函数"x)=|lnx—l|,0<X1<e<%<e2,函数〃x)的图象在点J(xj)

和点N(NJ(W))的两条切线互相垂直，且分别与y轴交于P,Q两点，则后的取值

范围是.

四、解答题(共o分)

17.已知正项数列｛q｝的前〃项和S,,,且%+J=2S“.

(1)证明：数列｛S,2｝为等差数列；

T1111L

⑵记I,=3+丁+不+…+不，证明(,<2〃.

J]d2d3

18.记锐角^ABC的内角A,8,C的对边分别为a,6,c,已知"生舁=.邺A：。.

cosBcosC

⑴求证：B=C；

(2)若asinC=l,求三+”的最大值.

19.随着人脸识别技术的发展，“刷脸支付”成为了一种便捷的支付方式，但是这种支

付方式也带来了一些安全性问题.为了调查不同年龄层的人对“刷脸支付”所持的态

度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示.

年龄[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

频数30751056030

持支持态度2466904218

(1)完成下列2x2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为年龄与所持态度具有相关

性;

年龄在50周岁以上(含50周

年龄在50周岁以下总计

岁)

试卷第4页，共6页

持支持态度

不持支持态度

总计

（2）以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁以上（含50周岁）的人

中随机抽取4人，记X为4人中持支持态度的人数，求X的分布列以及数学期望；

⑶己知某地区“万嘉”连锁超市在安装了“刷脸支付”仪器后，使用“刷脸支付”的人数y

与第x天之间的关系统计如下表所示，且数据的散点图呈现出很强的线性相关的特

征，请根据表中的数据用最小二乘法求y与x的回归直线方程y^bx+a.

i1234567

第七天24812222638

使用人数X)1%为%%%

17

参考数据：Zx，％=5588,Z%=294.

P(K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

EU-^)(z-y)

n(^ad-bcyA---f--

参考公式：K2B=---------a--=--y---bx.

(a+b)(c+")(a+c)(6+d)'£(七-亍『

1=1

20.已知三棱锥P-ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形A8C3为边

长等于血的正方形，△母和△BCF均为正三角形，在三棱锥P-MC中:

B

图一图二

(1)证明：平面尸AC_L平面ABC；

(2)若点M在棱曰上运动，当直线与平面PAC所成的角最大时，求二面角

M—BC—A的余弦值.

21.已知《(-2,0),2(2,0),点尸满足|P甲|=2,记点尸的轨迹为E,

(1)求轨迹E的方程；

(2)若直线/过点心且法向量为万=(。,1),直线与轨迹E交于尸、。两点.

①过户、。作y轴的垂线上4、QB,垂足分别为A、B,记|尸。|=H48],试确定力的

取值范围；

②在x轴上是否存在定点M,无论直线/绕点K怎样转动，使标•诙=0恒成立？如

果存在，求出定点〃；如果不存在，请说明理由.

22.已知函数f(x)=xe，+手，g(x)=ln(a-x),己知x=0是函数y=xg(x)的极值点.

(1)求曲线f(x)在。，/⑴)处的切线方程，并判断函数.“X)的零点个数；

⑵若对任意的xe(O,田)，xe-lnx21+日恒成立，求实数％的取值范围；

⑶设函数心)=上答.证明：力。)<1.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.D

【分析】化简集合8,再根据补集和并集的定义计算即可.

【详解】函数y=W，xeR的函数值的集合为{Hyzo},所以B={”0},

又A={x|x4—1或x>2},所以«A={x|-l<xV2},

故选：D.

2.D

【分析】利用z计算出即可得到答案

Z

【详解】因为Z=」+且i,所以

22

[_2_2卜1-后）__2_2"_」_西

z-1+V^i（―1+>^i1—>/3ij422

,i6

z=------1，

22

所以，+元=-l_6i,

z

故选：D

3.C

【分析】设该米斗的高为4cm,结合台体体积公式可求A.

【详解】设该米斗的高为//cm,由台体的体积公式可得gx（18、242+闹3不卜〃=10000,

3x1000030000

解得/?=X22.5.

182+242+7182X2421332

故选：C.

4.A

【分析】利用排除法：先判断出直线的斜率-9<0,排除c,D.再由直线与圆相切得到A

b

正确，B错误.

【详解】••咽C的方程可化为：（x-d+（y_勾2=您+从,

圆心C（a力），半径7=正+<,

答案第1页，共22页

又直线/的方程可化为：y=--x.

b

由4个选项的圆心C都在第三象限,

a<0,b<0,.•.排除选项C,D.

b

a2+b2

又圆心C到直线的距离”=-yja2+b~-r,

yJa2+b2

直线/与圆C相切，故选项A正确，选项B错误.

故选：A.

5.D

【分析】由二项展开式的通项即可求出每一个V的系数，求和得出答案，或者根据

C：+C：T=C；M，快速计算结果.

［详解1V(a+勾"的通项为(reN,O<r<n),

(l+x)3的通项为C；产，，=c；r,

(1+X)3的展开式中V的系数为C；,

同理得(1+X)4展开式中丁的系数为cj,…，(l+x)9展开式中V的系数为C；,

故(1+X)3+(1+X)4+…+(l+x)9展开式中d的系数为：

C；+C：+C；+C：+C；+C；+《=1+4+10+20+35+56+84=210

(也可以根据性质：C；+C：i=C嘉，因为C；=C：,故

C；+C：+C；+或+C；+C；+Cj=C：+C：+C；+或+C；+C；+Cj=C；o=210)

故选：D.

6.B

57T7t

【分析】利用换元法将“X)在［0间上的值域为U-转化为y=cosr+2在-,a+-上的

值域为1，|,然后结合余弦函数的单调性列不等式求解即可.

【详解】•/"(x)=cos(x+q)+2,令f=x+g,则re+y,y=cos/+2,因为

cos—+2=—=cos—+2,COSTT+2=1,y=cosf+2的值域为1,1-,所以

323-I2

答案第2页，共22页

/兀,57r〃力/口27r/44

7r<a+—<——<a<—.

33933

故选：B.

7.C

【分析】分别构造函数，利用导数求单调性即可求解.

=7T-37T

【详解】对于A,由3e2<九=----<In—=7t-21n兀<3-21n3,

23

考虑函数f(x)”-2bir,x>2,

因为/'(x)=±2>0,所以/(x)在(2,”)上为增函数，

X

所以“兀)>/(3),兀-21n兀>3-21n3,即3e三>兀，故A错误;

对于B,由半<eln2=20cmeln2=(&)'vein(夜了，

考虑函数g(x)=x-elnx,X>e,

因为g，(x)==>0,所以g(x)在(e,+8)上为增函数，

X

所以g(x)>g(e)=0,所以x>elnx在(e,+<»)上恒成立，

因为(a丫=2夜>2.8>e,所以(友丫>eln(0)’，即2后>|eln2成立,

所以逑〉eln2,故B错误；

3

2

gtoslgCosle2

对干C市------<2ve=——---<4\/e=———<—

打」G田cos2+lcos2+l〜cos2l]，

24

考虑函数〃(/)==，0<x<l,

x

因为h\x)=(x_?e：<0,所以/?(x)在(0,1)上为减函数，

X

I

八cosl

[e8sl2

e*r<4五

因为。<5=COS5〈COS1<1,所以嬴7<T=*/e,cos2+1，

42

cosl

所以二一<2五，故C正确；

cos2+1

对于D,显然sin1>sin45。=立，

2兀

2

所以sinl>±,故D错误.

兀

故选：C

答案第3页，共22页

8.B

【分析】由已知即向量数量积定义可得应用余弦定理求得

2

\PFt\\PF,\=^b,根据等面枳法可得r=二包一，再由正弦定理列方程求离心率，结合目

33(〃+c)

标式、基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.

【详解】由题设2国.丽=2|西H西卜。$4打；=|2同•]啕，故cos/6

又4/>"[0,兀)，则/耳P玛=；TT,

由余弦定理知：

"所」修『+1尸马12T耳外「_(|P4I+IP9)2一2|西||尸鸟|—|丹玛|2

2\PF^PF1\2\PF^PF1\

4(a2-c2)]_4户]_1

==r

~2\PFt\\PF2\~2\PFt\\PF2\~2

所以IWI|PEI=g〃，而=-|P/<\\PF,\sinZF^PF^—h1,

31223

因为△耳尸鸟的内切圆的半径『，故与性=g，(|W|+|P/"+WK|)=(a+c)r,

所以(a+c)r=@/,贝卜=卫二，

33(〃+c)

|—|_2c_|P用

由忸耳|=3rsinN4名尸，即sin&PF一四一sin々F,P一，

3

所以匣1=半，整理得7«2+46-3=(76-3)3+1)=0且0<6<1,

a+cV3

所以e=,，

999m

Y+21e_a2+9，"+a[Na3而，当且仅当。=3时等号成立，

7b一一7A/^-2而一2而一10

所以目标式最小值为处.

10

故选：B

9.AC

【分析】根据题意先判断出数列｛4｝的前2022项大于1,而从第2023项开始都小于1.再

答案第4页，共22页

对四个选项一一验证:

对于A：利用公比的定义直接判断；对于B：由外。23<1及前〃项和的定义即可判断；对于

C：前〃项积为的定义即可判断；对于D：先求出4045=为限"04n由生023<1即可判断.

%022-1>0-

【详解】由（%）22一1）.（限一1）<0可得：见。22T和出。23-1异号，即1八或

.%)23T<。

—1<°

“2023—1>°

而4>19。2022.“2023>1，可得〃2022和“2023I司号，且一'个大于1,―"个小于1.

因为4>1,所有。2022>1，。2023<1,即数列｛4｝的前2022项大于1,而从第2023项开始

都小于1.

对于A：公比4=&生<1,因为4>1,所以为减函数，所以｛叫为递减数列.故

a2O22

A正确；

对于B:因为死侬<1,所以％）23二%心一当0<1，所以Sg+1>S期3.故B错误;

对于C：等比数列｛《,｝的前”项积为7,且数列｛4｝的前2022项大于1,而从第2023项开

始都小于1,所以与侬是数列｛力?｝中的最大项.故C正确；

对于D：。耳5=2a3…°4045

=%（谢（4打一（4产）

r4045cl+2+3+…4044

=%q

「4045—2022x4045

=6q

因为〃0223<1，所以。畋3=〈I，即小5<1.故D错误.

故选：AC

10.AB

【分析】计算条件概率判断A；利用全概率公式计算判断B；利用贝叶斯公式求解判断

答案第5页，共22页

C；求出不同元素的分组分配种数判断D作答.

【详解】记第一次抽到第i号球的事件分别为4（，=1，2,3）,则有

「（A）=；,P（A2）=P（4）=；,

对于A,在第一次抽到2号球的条件下，则2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号

球的概率为P=j2=；1，A正确；

对于B,记第二次在第，号盒内抽到3号球的事件分别为与《=1,2,3）,而A，4,A两两互

斥，和为。，

p（即A）=；,尸（4|&）=；,「（”|&）=看，记第二次抽到3号球的事件为B,

3311111]11

P（B）=Y^AB）=Y[P^-P（B\A^=-x--x-+-x-=—,B正确；

/=]iii2444+464o

对于C,记第二次在第i号盒内抽到1号球的事件分别为G（i=l,2,3）,而A，4,4两两互

斥，和为C,

p（GIA）=g，P（Gia）=T，尸（GIA）=g,记第二次抽到1号球的事件为C,

331111111

,

p（c）=£p（AC,）=£[m）-/（c;IA）]=-x-+-x-+-x-=->

/=1j=iZZ4Z4ZZ

第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号数相同，

1111

—y——y—

p（Alc）Jd）=yP（AJC）J⑷

'P（C）12-P（C）14

22

11

一x—

p（41c）=㈤=1,即第二次抽到的是1号球，则它来自1号盒子的

2

概率最大，C不正确；

C2c2

对于D,把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是（6+卡）种，

A2

将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有A；种不同放法，

c|c

由分步乘法计数原理得不同的放法种数是（C；+。A；=150种，D不正确.

A?

故选：AB

答案第6页，共22页

11.ACD

【分析】A选项：尸。（孙必）直线PQ的方程为4万-（凹+%）、+乂必=0，由直线

也过点G（O,1）得%+%=%%即可解决；

B选项：设《学》3），/（今,为）得直线尸£的方程为4》-（乂+%）丫+乂%=0直线正过

点A（-1,O）得y%=4,同理必乂=4即可解决；

22

C选项：0A.砺吟.『”3，＞书=4得利反=5，设NPOE=a,

网网cosa=5,又％呢=竽得tana。即可；

D选项：过“作垂直抛物线C的准线x=-1于点。，由抛物线定义得/=.I,,c直

sinZ.MAD

线AM与抛物线相切时，f最大，设直线40f=%（犬+1）.得/=±1,加（1,2）即可.

22

【详解】A选项：易知斗=%,占=卷，

所以直线PQ的方程为4x-（M+%）y+y%=0,（利用两点式求解直线尸。的方程）

因为直线PQ过点G（0,l）,

所以y+%=%%，A正确.

B选项：设E停,小，尸（掌％），

所以直线PE的方程为4》-（乂+%）丫+凹％=°，

因为直线PE过点同（-1,0）,所以y为=4,

同理可得力”=4,

k一_4_4一%必_]

所以"或”+为±+±y,+y2，故B错误.

44%乂

22

C选项：。户.应=今.毯+%力=5，（利用B选项中%为=4）

设NPOE=a,则仍.]词cosa=5,

因为Sw=；|砺，词sina=¥,

答案第7页，共22页

所以小=冬所以在与丽的夹角为看’故C正确.

D选项：易知8为抛物线的焦点，过M作用。垂直抛物线C的准线尸-1于点

11

由抛物线的定义知，焉\AM\=\岛AM\=.-，即r=.

\MB\\MD\smZMADsinZMAD

当r取最大值时，取最小值，（正弦函数的单调性的应用）

即直线40与抛物线C相切.

设直线4W的方程为y=Mx+1）,

由得+（2产-4）X+&2=0,

所以A=（2公-4）-4公=0,解得A=±l,

此时公公+（242-4）x+氏2=0,即Y—2x+1=0,

所以x=l,又点〃在x轴上方，故M（l,2）,

所以工丽=94即|%|=；x2x2=2,故D正确.

故选：ACD

【点睛】思路点睛：直线与抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离.判断方法：把

直线方程和抛物线方程联立，当得到的是一元二次方程时，根据△来判断直线与抛物线的

位置关系，①若△>（）,则直线与抛物线相交；②若△=（）,则直线与抛物线相切；③若

A<0,则直线与抛物线相离.当得到的是一元一次方程时，直线与抛物线交于一点，此时

直线与抛物线的对称轴平行（或重合）

答案第8页，共22页

12.ACD

【分析】对A找到高不变，底面为定值，则体积不变，求出相关高与底面积即可，对B找

到尸点轨迹是矩形ABEF（除A点）与尸重合时AF最大，即可计算，对C找到点尸的三次轨

迹，第三次轨迹为四分之一圆，计算即可，对D建立空间直角坐标系，利用点到直线距离

公式即可计算.

【详解】对A选项，根据正方体上下底面平行得P到平面GRM的距离始终为2,因为M

11?

为AQ的中点，故。例=1,故枭3“=5'2、1=1,故/",”=丁2义1=§,故A正确;

对于B,分别取£>2，CG中点E,F,连接EA,EF,FB

首先EF与C。平行且相等,CD与AB平行且相等，因此EF与AB平行且相等，则EFBA是平行

四边形，

在同一平面内，正方形AORA,易得

^ADE*DRM,ZEAD=AMDD,,

ZEAD+ZMDA=ZMDD+ZMDA=90",

所以ZAND=90°（N为AE,ZW的交点），

所以MD_LAE,又AB_Z平面,MDu平面AORA,

所以A8J_AEcAB=A,A84Eu平面TW/年，

答案第9页，共22页

所以MD_L平面ABFE，而MD_LAP,则Pe平面

所以P点轨迹是矩形ABEF（除A点）与F重合时AF最大，为J2?+2?+产=3，

故B错误，

对于C,直线AP与平面ABC。所成角为45°,若点P在平面OCGA和平面8CC向内,

NB|AB=45°,NQAO=45°最大，不成立；

在平面4）。必内,点尸的轨迹是AR=2及，

在平面A叫A,内，点P的轨迹是用=2及，

在平面ABCR时，作PMJ_平面A8CC,如图，

作PA7_L平面ABCD,-.-ZPAM=45°,:.PM=AM,

PM=AB.:.AM=AB,:.\P=AB

•・•点尸的轨迹是以A为圆心，以2为半径的四分之一

••・点尸的轨迹长度为3

•••点P的轨迹总长度为"4立，故C正确；

对于D选项，首先作出如图所示图像，shouxian外接球半径「=也*・贮=6,

2

直线ZW与球面的一个交点为。，另一交点设为H,

以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，首先求出圆心。到直线。河的距离，因为棱长

为2,且M为AA中点,故M(0,1,2),£>(0,2中),0(1,1,1),故砺=(1,0,—1),

|wd-MZ)|2

砺=(0,1,-2)/=飞,故圆心。到直线DM的距离

答案第10页，共22页

故D正确.

【点睛】方法点睛：空间中点到直线的距离公式:

设某空间直线的方向向量为『=（"?,〃,P）过点A（人0,%，Z。）；空间上的一点P（x，y，Z）令

D=（x-%,y—yo，z—Zo）,即表示由点A指向点尸的向量.

观察S•户=1对可一cos©

而IMCOS。与要求的距离"构成以朋即切为斜边的直角三角形.故

d=Vivi2-dvl-cos0）2=V|2j.

13.—

32

【分析】结合正态分布特点先求出P（X>120）,再由独立重复试验的概率公式即可求解.

【详解】因学生成绩符合正态分布N（105»2）,故P（X>120）J-P（9?k12。）=；,故

任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率为尸=+j=磊.

故答案为：

32

14.2

【分析】/（x）Zw-l恒成立，即/⑸2nzm-1,利用分段函数单调性，求函数最小值.

【详解】/(x)=max{w，m(x>0),当Ovxvl时，->|x|；当x=l时，-=|x|；当x>l

答案第II页，共22页

时，,<国.

X

1I

।>—,0n<x<1

由x>0,W=x,.•./(x)=/,图像如图所示,

x.x>\

可得/(x)在(0川上单调递减，在［1,+8)上单调递增，所以=则1之〃7-1,

即加《2,的最大值是2.

故答案为：2

«32

15.—冗

3

【分析】根据已知可得PAL平面ABC,则可将四面体内接于圆柱体使得圆柱的外

接球与四面体RRC外接球相同，即可根据圆柱求得该几何体的外接球的体积.

【详解】解：如图

四面体P48C中，PAYAB,PALAC,又ABDAC=A,AB,ACu平面ABC

所以PA_L平面ABC,则将四面体的C内接于圆柱OH中，如下图：

使得点P位于圆柱上底面圆上，"RC内接于圆柱下底面，始终保持PAJ•平面ABC,

取线段中点为Oi，连接”C,QC

答案第12页，共22页

p

c

则圆柱外接球即四面体上ABC的外接球，则点0球心，半径R=OC

因为A8=AC=』AP=V^,Nfi4c=120。，所以ZABC=ZAC8=30。

2

°_AB一氏一B

所以圆柱底面圆半径r=CH,由正弦定理得勿=；^?赤=丁=内2,则「=&

2

又O、H=；OH=；PA=6,所以R=qC="四+心=2

则外接球的体积丫=］4兀3?

32

故答案为：yK.

16.(3,+oo)

【分析】利用导数的几何意义可求得在M，N处的切线方程，并得到QH，|O@；根据切线

互相垂直可得入由=1，由此得至小黑=言詈，令，=lnx2,可得/")=言，利用分离

常数法可求得了⑺的范围，即为后的范围.

【详解】当0<x<e,时/(x)=l-lnx,=

•・・M(X，1—In%),二勺=---,

X

二在M处的切线方程为y-1+ln%=-—(x-xj,即y=-'x+2-lnX|,

%X

.♦.QH=2-lnx；

当e<x<e2,/(x)=lnx-l,广(力」，

答案第13页，共22页

同理可求得：在N处的切线方程为:y=-x-2+\nx2,

x2

.•.|O0|=|ln^,-2|=2-lnx,,

OP_2-In%,_24-Inx

••,两条切线互相垂直,2

OQ2-Inx22-Inx2

令Hln/,re(1,2)

心\2+/—(2—/)+44

/(Z)=-----=----------------=-1H--------9/£(1,2),

'12-t2-t2-t

OP

则/⑺在(1,2)上单调递增，.■J(/)«3,y>),即质■e(3,+oo).

故答案为：(3,+«)).

【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够利用导数的几何意义求得|明，|。口,将蜀表

示为关于变量f=In%的函数的形式，从而利用函数值域的求解方法求得结果.

17.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】⑴根据a„>2，求出S，，JSi'1，$/=1，得至U£」｝是首项为

In1，〃一

1，公差为1的等差数列；

(2)在第一问的基础上，求出S,,=4,再进行放缩，裂项相消求和，证明出不等式.

【详解】(1)证明：Van+—=2S„,

an

1

.♦.当“22时，Sn-S„_t+=2S„,

一3〃一1

•,QS“+S〃_],

3〃一

・・・S.2—5,12=1.

1c

当九=1时，q+—=2q,

.♦・％2=1,即5j=1,

答案第14页，共22页

故｛S」｝是首项为1,公差为1的等差数歹U；

(2)证明：由(1)知正项数列｛%,｝满足S/=〃，

所以s“=册；

122=2(册-，2-1),

Sn\[n2册册+J九-1

T“——I-----i------1—,-----<2(1-0+\/2-1+\/3—^2+■—h>fn-J"-1)=2.>/n.

S\邑S3S.

即(<2〃.

18.(1)见解析;

喉

【分析】(1)运用两角和与差正弦进行化简即可;

(2)根据⑴中结论运用正弦定理得。sinC=2RsinAg=〃sinA=l,然后等量代换出

11

7+屏再运用降次公式化简，结合内角取值范围即可求解.

sin(iA-B)sin(/l-C)

【详解】(1)证明：由题知

cosBcosC

所以sin(A-B)cosC=sin(A一C)cosB,

所以sinAcosBcosC-cosAsinBcosC=sinAcosCcosB-cosAsinCcosB,

所以cosAsinBcosC=cosAsinCeosB

因为A为锐角，即cosAw0,

所以sin3cosC=sinCeosB,

所以tan8=tanC,

所以3=c.

(2)由(1)知：B=C,

所以sin3=sinC,

因为asinC=l,

所以'=sinC,

a

h

因为由正弦定理得：〃=2RsinAsinB=—,

答案第15页，共22页

所以〃sinC=2RsinA*—=力sinA=1,

2R

所以?=sinA,

b

因为A=—。=4一2。,

所以'=sinA=sin2C,

b

所以

11

R记

=sin2C+sin22C

l-cos2C

------------+(1—cos~2C)

2

、13

=-cos-2C——cos2C+—

22

因为AABC是锐角三角形，且3=C,

所以g<C<g,

42

TT

所以5<2C<〃，

所以T<cos2C<0,

当cos2c=一时，二+J取最大值为§,

4ab16

所以1/京最i大值为：亮25.

19.（1）表格见解析，有

O

（2）分布列见解析，|

⑶，=0・85x+28.4.

【分析】（1）由频数分布表直接填写即可；结合正公式可判断相关性；

（2）由频数分布表可判断支持态度的人数符合X~8（4,|）,结合二项分布的概率公式可

求X的分布列以及数学期望；

.Xx^-lx-y

（3）先求出D再由--------求出再由-匾求出〃，进而求出线性回

Zx；-7F

7

归方程.

答案第16页，共22页

【详解】（1）完成列联表如下:

年龄在50周岁以上（含50周

年龄在50周岁以下总计

岁）

持支持态度60