2022年高考数学真题和模拟题分类汇编 08 数列（学生版+解析版）

专题08数列

2022年高考真题

1.（2022年全国乙卷】已知等比数列｛%｝的前3项和为168,a?-=42,则=（）

A.14B.12C.6D.3

2.【2022年全国乙卷】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第

一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列

｛%｝：瓦=1+2,冬=1+六：，历=1+漆占]，…，依此类推，其中%6N*（k=1,2

的1«2做工

，…）.则（）

A.瓦<B.匕3<C.匕6<b2D.64<b]

3.【2022年新高考2卷】中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如

图是某古建筑物的剖面图，CCi，CG，BBi，24i是举，ODi，DQ,CBi，B&是相等的步，相邻

桁的举步之比分别为鬻=05梦=自,箸=①，箸=自，若心,心，的是公差为0」的等差

数列，且直线04的斜率为0.725,则七=（）

C.0.85D.0.9

4.【2022年北京】设｛即｝是公差不为0的无穷等差数列，则"｛厮｝为递增数列”是"存在正整

数No，当n>No时，册>0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.【2022年浙江】已知数列｛%｝满足的=l,cin+i=厮一孑若（71€N*）,则（)

5577

A.2<lOOaloo<-B.-<lOOaloo<3C.3<lOOaloo<-D.-<lOOaloo<4

6.【2022年全国乙卷】记治为等差数列｛即｝的前。项和.若2s3=3S2+6,则公差d=—

7.[2022年北京】己知数列｛斯｝各项均为正数，其前n项和%满足0n-Sn=9(n=1,2,…).给

出下列四个结论：

①｛a“｝的第2项小于3；②｛册｝为等比数列；

③｛a/为递减数列；④｛即｝中存在小于焉的项.

其中所有正确结论的序号是.

8.【2022年全国甲卷】记治为数列｛&J的前n项和.已知牛+n=2<i"+l.

⑴证明：｛an｝是等差数列；

⑵若。4，。7，。9成等比数列，求％的最小值.

9.[2022年新高考-1卷】记治为数列5｝的前n项和，已知的=1,｛君是公差为g的等差数

列.

⑴求｛an｝的通项公式；

(2)证明：-+-+—<2.

a】a2an

10.(2022年新高考2卷】已知｛a.｝为等差数列，｛%｝是公比为2的等比数列，且a2—与=

a3-b3=b4-a4.

(1)证明：%=瓦；

⑵求集合伏|瓦=am+altl<m<500｝中元素个数.

11.【2022年北京】已知Q:%,a2,…,4为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的n€｛1,

2,…，m｝,在Q中存在即4+1吗+2,…，>0)，使得臼+见+i+见+2+-+ai+j=n,

则称Q为m-连续可表数列.

⑴判断Q:2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；

(2)若Q:%,a?,…，%为8—连续可表数列,求证：A的最小值为4；

(3)若Q:%,a2,…,功为20一连续可表数列,且的+。2+…+以<20,求证：k>7.

12.(2022年浙江】已知等差数列｛即｝的首项的=-1,公差d>1.记｛册｝的前n项和为

eN*).

⑴若S4-2a2a3+6=0,求S4；

⑵若对于每个neN*,存在实数cn,使即+。,厮+1+4。,厮+2+15cH成等比数列，求d

的取值范围.

2022年高考模拟试题

1.（2022・河南•通许县第一高级中学模拟预测（文））在等差数列｛4｝中，a,=5,-+-=^,

a\a5，

则49=（）

9

A.-B.9C.10D.12

2

2.（2022•福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列｛%｝的前〃项和为S〃，若S,=28,则

%+%+%的值为（）

A.8B.10C.12D.14

3.（2022•北京•北大附中三模）已知数列｛4｝满足4%为…勺="2,其中〃=1,2,3,…，则数

列｛叫（）

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

4.（2022・辽宁实验中学模拟预测）已知数列｛a/（〃cN"）是首项为1的正项等差数列，公差

不为0,若由、数歹U｛%“｝的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列｛q｝的

通项公式为（）

A.an=27z-lB.4=2孔+1C.%=〃-1D.cin=/?+1

5.（2022•四川•绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且4=1,

“，产。，a,4T=然“7,若存在实数义使｛为｝是等差数列，则｛%｝的公差为（）

2

A.1B.2C.-D.2

2

6.（2022•湖南•邵阳市第二中学模拟预测）己知正项等比数列｛%｝满足4=4+2%,若存在

14

金、5，使得=16a：,则一+一的最小值为（）

mn

7.（2022・浙江•三模）设数列｛4｝满足。,+1=M一24+，"€"）吗=2,记数列［五的

前n项的和为5“，则（）

A.am<27B.存在上eN*,使4=%

C.Sl01<2D.数列｛%｝不具有单调性

8.（2022•吉林•东北师大附中模拟预测（理））数列｛%｝为等差数列，前〃项的和为S,,,若

4（111<0，«10-2>°，则当<<0时,"的最大值为（）

A.1011B.1012C.2021D.2022

9.（2022•辽宁♦渤海大学附属高级中学模拟预测）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且满

足2sin（%+2）-3a5-5=0,2sin+2）-3a20lg-7=0,则下列结论正确的是（）

A.$2022=2022,且>“2018B.$2022=—2022,且<。2018

C.^2022=-4044,且为>。2018D.$2022=4044,且。5<“2018

10.（2022•全国•模拟预测）已知数列｛%｝满足对任意的〃eN,，总存在meN*，使得S“=am,

则凡可能等于（）

2022

A.2022"B.2022nC.2022/?D.-------

n

11.（2022•江苏•南京外国语学校模拟预测）已知数列｛4｝各项都不为0,4=1,%=3且满足

4%=4511T,

⑴求｛4｝的通项公式；

（2）若“=2三，也｝的前n项和为7.，求7”取得最小值时的"的值.

““-14

12.（2022•福建・厦门双十中学模拟预测）等差数列｛4｝的前”项和为5"，已知4=9,生为

整数，且s,ss-

⑴求｛《,｝的通项公式；

⑵设a=二丁，求数列出｝的前〃项和小

13.（2022•宁夏•银川一中模拟预测（理））已知数列｛4｝是等差数列，他,｝是等比数列，且

b2=29匕？=4,4=,%+1=4.

⑴求数列｛叫、｛2｝的通项公式；

(2)设%="，数列化,｝的前"项和为S,,,若不等式2＜5.+4对任意的〃€14*恒成立,

求实数4的取值范围.

14.(2022•湖北•襄阳四中模拟预测)已知等差数列｛a,,｝满足q=1,且前四项和为28,数列

也｝的前〃项和S“满足2S„=3fe„-3A(2eR).

⑴求数列®｝的通项公式，并判断｛，｝是否为等比数列；

⑵对于集合4B,定义集合A-B=｛x|xeA也茫B｝.若2=1,设数列｛为｝和低｝中的所有

项分别构成集合A,B,将集合A-B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列｛4｝,

求数列｛%｝的前30项和心.

15.(2022,浙江省江山中学模拟预测)在数列｛〃,,｝中，q=l,4=2,且对任意的〃eN*,都

有4+2=34+1-24.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

(2)若4=卜,＜》＜七或^3＜犬＜匕｝，定义集合A的长度为|七一七|+上一七|.已知数歹U｛2｝的

通项公式为2=E谓J二还可(〃€N，)，若关于X不等式4+N+…+媪2＞1的

解集4求集合A的长度.

专题08数列

2022年高考真题

1.【2022年全国乙卷】己知等比数列｛即｝的前3项和为168,a2-a5=42,则=（）

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

设等比数列｛斯｝的公比为q，qK。，易得q#l，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列

的通项即可得解.

【详解】

解：设等比数列｛an｝的公比为q,qM0,

若q=1,则a?-CI5=0,与题意矛盾，

所以q丰1,

4

,a2—a5=arq—arq=42（"-2

所以%=&q5=3.

故选：D.

2.【2022年全国乙卷】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第

一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列

（bn］：瓦=1+2，匕2=1+屋七，①=1+/=,...,依此类推，其中以6N*（k=1,2

11«2匕位

，…）.则（）

A.b1<bsB.b3<b8C.b6<b2D.b4<b7

【答案】D

【解析】

【分析】

根据以GN*（k=1,2,...）,再利用数列｛勾｝与曲的关系判断Sn｝中各项的大小，即可求解.

【详解】

解：因为"€旷伏=1,2,“・）,

11、1

所以的<%+屋，->—z,得到瓦>电，

11

。2a2

।1、।1

同理由+豆>%+/Z，可得打<b3,br>b3

®3

又因为2>%+1%+卷<的+工,

/+由""3+六

故电<b4,b3>

以此类推，可得瓦>b3>bs>b7>•••,87>演，故A错误;

b1>b7>b3,故B错误;

—>—i

a2a——，得办2<b,故C错误;

2立3+…赤6

A—>的+]

ttid---------%+…京三，得，故正确.

a2+-b4cb7D

故选：D.

3.【2022年新高考2卷】中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如

图是某古建筑物的剖面图，DDi，CG，BBi，24i是举，0£>i，DCi，CBi，B4是相等的步，相邻

桁的举步之比分别为黑=05篙=自,等=&，箸=自，若心,心，的是公差为0」的等差

数列，且直线。4的斜率为0.725,则七=（）

【答案】D

【解析】

【分析】

设。。1=DC1=CBi==1,则可得关于出的方程，求出其解后可得正确的选项・

【详解】

设0£>i=DC1=CB1=BA-i—1,贝iJCC】=k”BBi=k2,AA1=k3,

D0[+CC[+88[+AA^

依题意，有七-k，i，k，3—=k，2,且=0.725,

0.2—0.10£)i+DCi+CB]+84i

所以°：,叶3：=°：3=0.725,故&=0.9,

故选:D

4.【2022年北京】设｛即｝是公差不为。的无穷等差数列，则"｛即｝为递增数歹/是"存在正整

数No，当n>N0时，即>0"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

设等差数列｛a“｝的公差为d,贝心40,利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的

定义判断可得出结论.

【详解】

设等差数列｛即｝的公差为d,则dH0,记［x］为不超过x的最大整数.

若｛6｝为单调递增数列，贝标>0,

若田20,则当n22时，an>«!>0；若/<0,则即=%+(n—l)d,

由即=%+(n-l)d>0可得n>1-号■,取+则当n>N()时，6>0,

所以,"｛与｝是递增数歹存在正整数M，当n>M)时，即>0?

若存在正整数No，当？i>M)时，。“>0,取ZCWN*且上>刈，ak>0,

假设d<。令£1"=%+令-k)d<0可得n>k—柴且

当TI>上一詈］+1时，。“<0,与题设矛盾，假设不成立，则d>0,即数列｛即｝是递增数

列.

所以,"｛册｝是递增数列存在正整数M，当n>N()时，厮>0".

所以,"｛%｝是递增数列"是"存在正整数No，当n>N°时，即>0"的充分必要条件.

故选：C.

5.【2022年浙江】已知数歹!］｛即｝满足的=1,即+1=斯一1成(neN*),则()

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A.2<100aloo<-B.|<100aloo<3C.3<100a100<-D.-<100a100<4

【答案】B

【解析】

【分析】

先通过递推关系式确定｛即｝除去见,其他项都在(0,1)范围内，再利用递推公式变形得到

1___1_=三1>!，累加可求出a>?(?，+2),得出lOOtZioo<3,再利用六个=士<

an+lan

占=*1+W)，累加可求出++再次放缩可得出100

°n+2%1,s4JTI

、5

a100>2,

【详解】

Vdi=1,易得Ci2=|e(0,1),依次类推可得即e(0,1)

-

由题意，an+i=an(l-|an),即六=。二广；+白,

30n+iOnZan)anJan

・----1---——1_____1__>、—1

0n+lan3-a九3

nn11^111^111I、1/、”

a2at3a3a23a4a33anan_t3

累加可得?T>沁T)，即十>1(n+2),(n>2),

工时V总2),即。100<100a100<^<3,

又土_2=1<今=*1+W)G22),

有W(i+5*W(i+〉2W(i+〉…*一£<家1+»523

)，

累加可得2一1<1(n-1)+1(1+4------♦-^),(n>3),

・工1----1V33+：(；+：+…+白)<33+沼x4+：x94)<39,

UJOO5ZoWoZO

1-1c

BP--<40,/.a>—,g|J100a>-；

1*ioo100，ulooz

综上：|<100aloo<3.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.

6.【2022年全国乙卷】记治为等差数列｛即｝的前n项和.若2s3=3S2+6,则公差d=

【答案】2

【解析】

【分析】

转化条件为2(%+2&)=2%+d+6,即可得解.

【详解】

由2s3=3s2+6可得2(%+a2_(_a3)=3(%+a2)+6,化简得2a3=at+a2+6,

即2(%+2d)=2al+d+6,解得d=2.

故答案为：2.

7.(2022年北京】己知数列己其各项均为正数,其前n项和已满足0n-Sn=9(n=1,2,…).给

出下列四个结论：

①｛a.｝的第2项小于3；②｛a.｝为等比数列；

③｛即｝为递减数列；④｛6｝中存在小于焉的项.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】

推导出即=3-3,求出由、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单

anan-l

调性的定义可判断③.

【详解】

由题意可知，VneN%an>0,

当n=l时，，a1=9,可得%=3；

当nA2时，由Sn=^Q■可得S"_i=六Q，两式作差可得斯=^q■—六Q，

anan-lanan-l

9a9

所以，---=---Qn，则;;---。2=3,整理可得谖+3g—9=0,

an-lana2

因为。2>0,解得a?=容<3,①对；

假设数列｛册｝为等比数列，设其公比为q,则嫌=%。3,即(£f=段，

所以，S/=S]S3,可得讲(l+q)2=a：(l+q+q2),解得q=0,不合乎题意，

故数列｛斯｝不是等比数列，②错；

当7122时，斯=?一言=%上3>0,可得a“<an-i，所以，数列｛册｝为递减数列，

anan-l

③对；

假设对任意的nGN*，即2击，则Siooooo>100000X京=1000,

aq1

所以，的。。。。。=W高<去，与假设矛盾，假设不成立，④对.

3100000J_UUUJ.UU

故答案为：①③④.

【点睛】

关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推

导.

8.【2022年全国甲卷】记治为数列的前n项和.已知F+n=2an+l.

⑴证明：｛aj是等差数列；

⑵若。4，。7，。9成等比数列，求%的最小值.

【答案】(1)证明见解析：

(2)-78.

【解析】

【分析】

⑴依题意可得2Sn+n2=2吗+71,根据斯=1作差即可得到an-

an-i=1,从而得证；

(2)由(1)及等比中项的性质求出％,即可得到｛册｝的通项公式与前几项和，再根据二次

函数的性质计算可得.

(1)

2

解：因为§+n=2an+1,即2s九+n=2nan+九①，

2

当九>2时，2s71T+(n-l)=2(n-1)Q72T4-(n-1)②，

22

①一②得，2Sn+N-2Sn_1—(n—l)—271aH4-n—2(n—I)时.1—(n—1),

=

即2an+2n-12nQn-2(n-1)Q九一〔+1,

即2(n—l)an-2(n-l)Qn_!=2(n-1),所以即-an_t=1,n>2且nEN*,

所以｛斯｝是以1为公差的等差数列.

(2)

解：由(1)可得。4=。1+3,。7=。1+6,的=01+8,

又。4，。7，成等比数列，所以。72=a4,a9»

即(％+6)2=(%+3)•(%+8),解得%=-12,

所以=n—13,所以=—12n+"丁)=|n2—yn=[(几—g)—

所以，当?i=12或n=13时(SQmin=-78.

9.【2022年新高考1卷】记及为数列｛斯｝的前"项和，已知％=1,尚是公差为抽等差数

列.

⑴求｛a"的通项公式；

(2)证明：《+十+…+十<2.

ala2an

【答案】⑴即=

⑵见解析

【解析】

【分析】

(1)利用等差数列的通项公式求得费=1+[5-1)=詈，得到5,=誓生，利用和与

项的关系得到当时，誓®-5+11，进而得:詈=善，利用累

71>2an=Sn-Sn_i=一

乘法求得册=吟检验对于也成立，得到｛｝的通项公式厮=的；

2n=1anF

(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到《+：+…+白=2(1-去)，进而证得.

%a2an\n+1/

(1)

=1,；.S1=%=I,；.?=1,

又：舟是公差为我等差数列，

.*=1+狗—1)=等,.』=中，

.,.当n>2时，Sn_i=处警

._Q_(n+2)an("+l)Qn-i

,,an--^n-1-j3，

整理得：(九-(几+

l)an=l)an_1,

即冬=丝1,

^n-1日T

工an=Q1X%X色X...XX

ala2an-2an-l

34nn+1n(n+l)

=1X-X-X...X——X——=

23n-2n-12

显然对于n=1也成立,

，｛6｝的通项公式即=当小；

(2)

1=2="i--

ann(n+l)\nn+11，

—=2++•••(---)]=2(1-—)<2

«ia2anL\2/\23/Xnn+l/J\n+17

10.【2022年新高考2卷】已知｛即｝为等差数列，｛勾｝是公比为2的等比数列，且。2-62=

a3-b3=b4-a4.

⑴证明：%=&；

⑵求集合伏|尻=am+altl<m<500｝中元素个数.

【答案】⑴证明见解析；

(2)9.

【解析】

【分析】

(1)设数列｛即｝的公差为d,根据题意列出方程组即可证出；

(2)根据题意化简可得巾=2八2,即可解出.

(1)

设数列｛斯｝的公差为d,所以，十用二半即可解得，瓦=%=g

所以原命题得证.

⑵

由(1)知，瓦=%=B，所以玩=cim+%=瓦x2"T=%+(m-l)d+的，即2"T—2m,

亦即m=2-2e[1,500],解得2Wk410,所以满足等式的解k=2,3,4,…,10,故集合伙

\bk=am+a1,l<m<500｝中的元素个数为10-2+1=9.

11.【2022年北京】已知Q:%,。2,…,以为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的ne｛1,

2,…，m｝,在Q中存在与田+1，田+2,…，七+4>0),使得a+ai+1+ai+2+-+ai+j=n,

则称Q为巾-连续可表数列.

⑴判断Q:2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；

⑵若Q:%,。2,…,为8-连续可表数列，求证:k的最小值为4；

若…,以为一连续可表数列,且由+求证：

(3)Q:%,20a2T----Fak<20,k>7.

【答案】⑴是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列.

⑵证明见解析.

⑶证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)直接利用定义验证即可：

(2)先考虑kS3不符合，再列举一个k=4合题即可；

(3)kW5时，根据和的个数易得显然不行，再讨论k=6时，由%+。2+…+。6<20可

知里面必然有负数，再确定负数只能是-1,然后分类讨论验证不行即可.

⑴

所以是—连续可表数列；易知，不

a2=1>%=2,ax+a2=3,a3=4,a2+a3=5,Q5

存在才使得%+所以不是-连续可表数列.

ai+1+-+ai+j=6,Q6

(2)

若kW3,设为Q:a,b,c,则至多a++c,a+b+c,a,b,c,6个数字，没有8个,矛盾;

当时，数列满足的=

k=4Q:1,4,1,2,1,=2,a3+=3,a2=4,%+a2=5,ar+a2+

a3=6,a2+a3+a4=7,aT+a2+a3+a4=8,kmin=4.

(3)

若最多有种，若丰最多有展种，所以最多有％铝种，

Q-.ai,a2l-,ak,i=Jkij,+d=

若kM5,则由«2，…,以至多可表等2=15个数，矛盾,

从而若k<7,则k=6,2儿。,％名/至多可表且乎=21个数，

而a+b+c+d+e+/<20,所以其中有负的，从而见也a匕当/可表1~20及那个负数(恰

21个)，这表明a~/中仅一个负的，没有0,且这个负的在a~f中绝对值最小，同时a~/中

没有两数相同，设那个负数为一爪(血21)，

则所有数之和之m+l+m+2-i------Fin+5—zn=47n+15,4m+15<19=>m=1,

{a,b,c,d,e,/}={-1,2,3,4,5,6},再考虑排序，排序中不能有和相同,否则不足20个,

•••1=-1+2(仅一种方式)，

-1与2相邻，

若一1不在两端，则为—1,2,一—一"形式，

若x=6,则5=6+(-1)(有2种结果相同，方式矛盾)，

x*6,同理x75,4,3,故一1在一端，不妨为"二1,2,4旦2"形式，

若4=3,则5=2+3(有2种结果相同，矛盾)，4=4同理不行，

4=5,则6=-1+2+5(有2种结果相同，矛盾)，从而4=6,

由于7=-1+2+6,由表法唯一知3,4不相邻,、

故只能一1,2,6,3,5,4,①或一1,2,6,4,5,3,②

这2种情形，

对①：9=64-3=5+4,矛盾，

对②：8=2+6=54-3,也矛盾，综上上力6

k>7.

【点睛】

关键点睛，先理解题意，是否为巾-可表数列核心就是是否存在连续的几项(可以是一项)

之和能表示从1到?n中间的任意一个值.本题第二问k<3时，通过和值可能个数否定k<3；

第三问先通过和值的可能个数否定k<5,再验证k=6时，数列中的几项如果符合必然是｛-

1,2,3,4,5,6｝的一个排序，可验证这组数不合题.

12.[2022年浙江】已知等差数列｛即｝的首项由=-1,公差d>1.记｛an｝的前n项和为现5

eN*).

⑴若S4-2a2a3+6=0,求Sn；

(2)若对于每个neN*,存在实数品，使的+%,即+1+44,即+2+15%成等比数列，求d

的取值范围.

【答案】⑴SnN*)

(2)1<d<2

【解析】

【分析】

(1)利用等差数列通项公式及前n项和公式化简条件，求出d,再求Sn；

⑵由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求d的范围.

(1)

因为S4-2a2a3+6=0,ar——1,

所以-4+6d—2(-1+d)(—1+2d)+6=0,

所以c/2—3d=0,又d>1,

所以d=3,

所以=3n—4,

(a1+an)n_3n2-5n

⑵

因为a”+cn,an+i+4cn,an+2+15cli成等比数列,

所以(djj+i+4CJJ)2=(Cln+Cn)(dn+2+15%),

2

(nd.-1+4cn)=(-1+nd-d+cn)(—1+nd+d+15cn)>

2

Cn+(14d-Bnd+8)cn+d=0,

2

由已知方程W+(14d-8nd+8)cn+d=0的判别式大于等于0,

所以A=(14d-8nd+8)?-4d?N0,

所以(16d-8nd+8)(12d-8nd+8)>0对于任意的n6N*恒成立,

所以[(n-2)d-l][(2n-3)d-2]>0对于任意的"eN"恒成立，

当n=1时,[(n-2)d-l][(2n-3)d-2]=(d4-l)(d4-2)>0,

当n=2时，由(2£/—2</-1)(4d-3£/-2)20,可得dW2

当n>3时，[(n—2)d—l][(2n-3)d—2]>(n-3)(2n—5)>0,

又d>1

所以1<dW2

2（）22年局考模拟试题

1.（2022・河南•通许县第一高级中学模拟预测（文））在等差数列｛4｝中，a,=5,-+-=^,

a\a5,

则a「“5=（）

c.ioD.12

【答案】B

【解析】

【分析】

将已知等式变形，由等差数列下标和计算即可得到结果.

【详解】

q+%_24_£09a

«(«59'••©・45-5

故选：B.

2.（2022•福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列｛q｝的前"项和为S,,,若S,=28,则

%+%+%的值为（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等差数列的求和公式，求得为=4,结合等差数列的性质，化简得到4+%+%=3%，

即可求解.

【详解】

因为S?=28,由等差数列的性质和求和公式得57=驾包=74=28,即4=4,

则生++%=3。1+9d=3（4+3d）=3a4=12.

故选：C.

3.（2022•北京•北大附中三模）已知数列｛叫满足W汹…4,=/，其中〃=1,2,3,…，则数

列｛叫（）

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【答案】A

【解析】

【分析】

求得数列｛可｝的通项公式，再分析数列的单调性即可

【详解】

依题意，因为w2a3…4=，其中"=1,2,3,…，当”=1时，q=F=l,

当〃22时，402a3…氏-1=（"-1）2,W2a3…4=1,两式相除有

a„=-n1,n>2,易得%随着"的增大而减小，故%M%=4,且。“>1=弓，

（«-1）In-\）

故最小项为q=i,最大项为%=4

故选：A

4.(2022・辽宁实验中学模拟预测)已知数列｛q｝(〃eN")是首项为1的正项等差数列，公差

不为0,若％、数歹£%“｝的第2项、数列｛“八｝的第5项恰好构成等比数列，则数列｛%｝的

通项公式为()

A.an=2«-1B.«„=277+1C.an=n-\D.an=n+\

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意设4,=1+("—1)",所以%=1+(2”-1财，/=1+(/-l)d,所以1,1+34,1+244

构成等比数列，即(1+34)2=1x(1+244),求出即可求解

【详解】

设等差数列｛q｝的公差为〃(">0)，所以a“=l+(〃—l)d,所以%,=l+(2”—l)d,

%=1+(〃2-1”，又卬、数列｛%,｝的第2项、数列｛%｝的第5项恰好构成等比数列，

即1,1+34,1+244构成等比数列，所以(1+34)2=1x(1+244),

解得d=2,d=O(舍去)，所以q=2"-1.

故选：A.

5.(2022・四川・绵阳中学实验学校模拟预测(文))已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且q=l,

4户0,a„an+l=ASn-\,若存在实数4使｛/｝是等差数列，则｛%｝的公差为()

2、

A.1B.2C.-D.A

2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用S“-5,1=%(〃22)得｛%｝的递推关系，从而求得;I与公差d的关系，舞由出—4=“求

得

【详解】

设公差为d,

因为所以〃22时,a„_tan=A5„_,-1,

两式相减得：4,（q+1-%）=见⑸-S"_1）=Aan,

因为4,二。，所以4+i-”,i=4=2",

由q,=2$-]=2</«]-1得“2=2"-1.从而弓一仆=24_]_1=4,d=2,

故选:B.

6.（2022・湖南・邵阳市第二中学模拟预测）已知正项等比数列｛《,｝满足%=4+2q,若存在

-I4

金、《,，使得金七”=16a：,则一+一的最小值为（）

mn

8113

A.-B.16C.—D.一

342

【答案】D

【解析】

【分析】

设等比数列｛q｝的公比为夕，则4>o,根据已知条件求出g的值，由已知条件可得出

m+n=6,将代数式上1+土4与；1（，”+〃）相乘，利用基本不等式可求得上1+4上的最小值.

mn6mn

【详解】

设等比数列｛4｝的公比为夕，则4>0,由6=七+2q可得/-q-2=0,解得夕=2,

因为4”•“”=16a：,则a；.2"i.2"T=16a；2=4,可得利+〃=6,

141

由已知机、“eN*,所以，-+-=-(m+n—+—

〃6mn

>—3

-62

当且仅当〃=2机=4时，等号成立

因此，1：4的最小值为3不

mn2

故选：D.

7.(2022・浙江•三模)设数列｛4｝满足[=尺-24+，"€")吗=2,记数列五Jj的

前n项的和为S,,则()

A.『<27B.存在々eNZ使4=%

C.5,01<2D.数列｛可｝不具有单调性

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意求得92；，进而得到与%同号，结合作差法比较法，可判定B、D错

误；由%+「%=(%-2)(%-1)+；,得到a,,7利用叠加法，可判定A错误；化简

1_11

得至I」—T=-33,利用裂项法求和，可判定C正确.

a"~2a,'-2"时一万

【详解】

由于%=(4-l『+K,4=2,则4,2：,

又由«„+|~|=­2%+[=1%-一g)，则”"+i一T与“"一]同号.

又由4=2,则4">|,可得a,.-4,=。；一3%+(=[.-£]>0,

所以数列｛%｝单调递增，故B、D错误；

又因为an+x-an=(«„-2)(4-1)+：,

由数列｛叫单调递增，且4=2,所以4—2>0,〃“-1>0,所以”,用-％

累力口得岑=25,所以//27,故A错误；

911_______

由。”+1=-2a+1口]■得133,

4a,--an--all+l--

Q__!______1,»?

因为“">4=2,所以⑼―一333-,故C正确.

CI.--6Z-----CI,-------

12m?102212

故选：C.

8.(2022•吉林•东北师大附中模拟预测(理))数列｛4｝为等差数列，前"项的和为S“，若

%<0,+0)012>0>则当5"<0时，”的最大值为()

A.1011B.1012C.2021D.2022

【答案】C

【解析】

【分析】

分析数列｛《,｝的单调性，计算$2以、$2侬，即可得出结论.

【详解】

因为qou<O,«l011+a10l2>0,则即”2>0,故数列｛%｝为递增数列，

因为⑼=2°2"+%必)=2021册<0,S*=2022([+限)=]0]]廊“+%)>0,

且当〃21012时，a„>0.0,2>0,所以，当"22022时，5„>S2O22>0,

所以，满足当S,<0时，〃的最大值为2021.

故选：C.

9.(2022,辽宁•渤海大学附属高级中学模拟预测)已知等差数列｛q｝的前n项和为5“，且满

^2sin(a5+2)-3a5-5=0,2sin(a,0l8+2)-3^)18-7=0,则下列结论正确的是()

A.$2022=2022,且外>“2018B.$2022=-2022,且45<“2018

c.s2o22=-4044,且%>的018D.$2022=4044,且火<—8

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意构造函数f(x)=2sinx-3x,确定函数的奇偶性及单调性，进而根据

“6+2)+2)的关系即可确定答案.

【详解】

设函数/(x)=2sinx-3x,则/⑺为奇函数，且/'(x)=2cosx-3<0,所以数x)在R卜.递减，

由已知可得2sin(a5+2)—3(a5+2)=—1,2sin(a20lg+2j—3(a20ii+2)=l,有〃见+2)=—1,

/(«2018+2)=1,所以73+2)<“4刈8+2),且〃火+2)=—”4刈8+2),所以

%+2>々2018+2=。5>“2018，」L〃5+2=—(々2018+2)，所以为+“2018=Y，

=2022=101］他+限)=-4044.

§2022呼嗫)

故选：C.

10.(2022・全国•模拟预测)已知数列储“｝满足对任意的〃eN*，总存在，〃eN,,使得s„=册，

则可能等于()

,