福建省福州市青芝中学高三数学理下学期期末试卷含解析

福建省福州市青芝中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则(

)A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?参考答案：B【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断【解答】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，∵B={x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=∴B?A．故选B．【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．2.设、是关于x的方程的两个不相等的实数根，那么过两点，的直线与圆的位置关系是（

）（A）相离.

（B）相切.

（C）相交.

（D）随m的变化而变化.参考答案：（理）D3.设，，则“”是“”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略4.给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行；③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面.其中真命题的个数是（）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：B5.已知函数f（x）＝，函数g(x)=f(x）一2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是

A.［一1，3)B.〔-3，一1〕C.［-3，3）D.［一1，1)参考答案：A

【知识点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．B9解析：∵f（x）=，∴g（x）=f（x）﹣2x=，而方程﹣x+3=0的解为3，方程x2+4x+3=0的解为﹣1，﹣3；若函数g（x）=f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则，解得，﹣1≤a＜3实数a的取值范围是[﹣1，3）．故选：A．【思路点拨】化简g（x）=f（x）﹣2x=，而方程﹣x+3=0的解为3，方程x2+4x+3=0的解为﹣1，﹣3；从而可得，从而解得．6.过直线上一点引圆的切线，则切线长的最小值为A．

B．

C．

D．参考答案：B7.下列判断正确的是（

）A.若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题B.命题“若，则”的否命题为“若，则”C.命题“”的否定是“”D.“”是“”的充分不必要条件参考答案：C8.已知集合，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】集合的包含关系判断及应用．A1【答案解析】B

解析：∵集合M={x|y=lg（2﹣x）}=（﹣∞，2），N={y|y=+}={0}，故选B．【思路点拨】由题意先化简集合M，N；再确定其关系．9.已知平面向量，，且，则=(

)A.–3

B.–1

C.1

D.3参考答案：C10.设集合，，则等于（

）A.

B.C.

D.参考答案：A试题分析：由，得，解得，由，得，因此，故答案为A.考点：1、指数不等式的应用；2、集合的交集.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（

）A. B.C. D.参考答案：C略12.已知方程在上有解，则实数的取值范围为_____________．参考答案：略13.在△ABC中，若cos2A＋cos2B＋cos2C＜1，sinB＝，则(tan2A﹣2)sin2C的最小值为_______．参考答案：【分析】由sinB＝，得B＝或，按B＝或分类讨论，由二倍角的余弦公式化简，利用均值不等式求最值即可.【详解】在ABC中，由sinB＝，所以B＝或，得cos2B＝，当B＝，则C＝，所以，cos2A＋cos2C＜，即cos2A＋cos2（）＜，化简得：，因为，所以sin2A＞0，即不成立.当B＝，则C＝，(tan2A﹣2)sin2C＝＝＝＝＝＝当，即时取等号故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数关系和二倍角的余弦公式的应用，也考查了均值不等式求最值和分类讨论思想，属于中档题.14.如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于时，的坐标为______________.参考答案：因为圆心移动的距离为2，所以劣弧，即圆心角,,则,所以，，所以，，所以。15.若直线与圆相切，且圆心C在直线l的上方，则ab的最大值为___________．参考答案：25/4

16.已知集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|lg(2x＋1)＞0}，则M∩N＝

▲

．参考答案：(0,1)17.点是椭圆上的一个动点，则的最大值为___________。参考答案：

解析：椭圆为，设，三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分l2分)PM2．5是指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大。我国PM2．5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级；在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．

某市环保局从360天的市区PM2．5监测数据中，随机抽取l5天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．(1)从这l5天的数据中任取3天的数据，记表示空气质量达到一级的天数，求的分布列；(2)以这l5天的PM2．5日均值来估计这360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级．参考答案：（1）∵,的可能值为0，1，2，3其分布列为…3分0123

…6分（2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为一年中空气质量达到一级的天数为则～,所以(天)……11分一年中空气质量达到一级的天数为144天………………12分19.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，且这个几何体的体积为10．（Ⅰ）求棱AA1的长；（Ⅱ）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）设AA1=h，由题设=﹣，可求出棱长．（Ⅱ）因为在长方体中A1D1∥BC，所以∠O1BC即为异面直线BO1与A1D1所成的角（或其补角）那么借助于三角形求解得到结论．【解答】解：（Ⅰ）设AA1=h，由题设=﹣=10，∴即，解得h=3．故A1A的长为3．

（Ⅱ）∵在长方体中，A1D1∥BC，∴∠O1BC为异面直线BO1与A1D1所成的角（或其补角）．在△O1BC中，AB=BC=2，A1A=3，∴AA1=BC1=，=，∴，则cos∠O1BC===．∴异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值为．【点评】本题主要考查了点，线和面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离．20.（16分）已知m∈R，对p：x1和x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个根，不等式|m﹣5|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈恒成立；q：函数f（x）=3x2+2mx+m+有两个不同的零点．求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．参考答案：【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用二次方程的韦达定理求出|x1﹣x2|，将不等式恒成立转化为求函数的最值，求出命题p为真命题时m的范围；利用二次方程有两个不等根判别式大于0，求出命题Q为真命题时m的范围；p且q为真转化为两个命题全真，求出m的范围．【解答】解：由题设x1+x2=a，x1x2=﹣2，∴|x1﹣x2|==．当a∈时，的最小值为3．要使|m﹣5|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈恒成立，只须|m﹣5|≤3，即2≤m≤8．由已知，得f（x）=3x2+2mx+m+=0的判别式△=4m2﹣12（m+）=4m2﹣12m﹣16＞0，得m＜﹣1或m＞4．综上，要使“p且q”为真命题，只需P真Q真，即，解得实数m的取值范围是（4，8]．【点评】本题考查二次方程的韦达定理、二次方程有根的判断、复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系能及恒成立问题，属于中档题．21.（本小题满分13分）

如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，，点D是棱BC的中点。

（Ⅰ）求证：平面BCC1B1；

（Ⅱ）求证：A1B//平面AC1D；

（Ⅲ）求平面AC1D与平面ACC1A1所成的锐二面角的余弦值。参考答案：解：（Ⅰ）证明：因为侧面，均为正方形所以所以平面

……………1分因为平面，所以

………………2分又因为，为中点，所以

………3分因为,所以平面

………………4分（Ⅱ）证明：连结，交于点，连结因为为正方形，所以为中点又为中点，所以为中位线所以

…………6分因为平面，平面

所以平面………8分

(Ⅲ)解：因为侧面，均为正方形，

所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系设，则

………………9分设平面的法向量为，则有，，所以取，得

………………10分又因为平面所以平面的法向量为………11分

………12分所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值………………13分略22.（本小题满分12分）已知函数sin（ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两