2025版高考数学一轮总复习知识梳理第5章平面向量与复数第5讲复数

第五讲复数知识梳理知识点一复数的有关概念1.复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．i是虚数单位．规定i2＝－1.由此可知：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，eq\f(1,i)＝－i，全体复数所成的集合C叫复数集．2．复数相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c且b＝d.3．共轭复数：若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi.4．复数的模：在复平面内，若点Z的坐标为(a，b)，则向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．知识点二复数的几何意义1．复平面的概念：建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.2．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.3．复数的几何表示：复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一),\s\do5(对应))复平面内的点Z(a，b)eq\o(,\s\up7(一一),\s\do5(对应))向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).知识点三复数的运算1．复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd＋bc－adi,c2＋d2)；(c＋di≠0)．2．复数的运算律：复数加法满足交换律、结合律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).归纳拓展1．两个虚数不能比较大小，但虚数的模可以比较大小．2．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.3．z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq\f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2－x＋1＝0没有解．(×)(2)原点是实轴与虚轴的交点．(√)(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(×)(4)复数z＝3－2i中，虚部为－2i.(×)(5)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i,3＋4i>3＋3i等．(×)(6)若a∈C，则|a|2＝a2.(×)题组二走进教材2．(必修2P73T2改编)已知i为虚数单位，复数z满足iz－5为纯虚数，则z的虚部为(D)A．5 B．5iC．－5i D．－5[解析]先设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入化简iz－5，由纯虚数定义求出b，即可求解．设z＝a＋bi(a，b∈R)，所以iz－5＝i(a＋bi)－5＝(－5－b)＋ai，因为iz－5为纯虚数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－5－b＝0，,a≠0，))解得b＝－5，所以z的虚部为：－5.故选D.3．(必修2P80T3改编)设复数z的共轭复数为eq\x\to(z)，且2z＋eq\x\to(z)＝－3＋2i，则|z|＝(C)A．2 B．eq\r(2)C．eq\r(5) D．5[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入2z＋eq\x\to(z)＝－3＋2i，化简后利用复数相等的条件求得a，b的值，再求|z|即可．设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi.由2z＋eq\x\to(z)＝－3＋2i，得2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝－3＋2i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＝－3，,b＝2，))即a＝－1，b＝2.所以|z|＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5).故选C.4．(必修2P73T1改编)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数eq\f(z,1＋i)的点是(D)A．E B．FC．G D．H[解析]由图知复数z＝3＋i，则eq\f(z,1＋i)＝eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝2－i，所以复数eq\f(z,1＋i)所对应的点是H，故选D.题组三走向高考5．(2023·新课标Ⅰ，2,5分)已知z＝eq\f(1－i,2＋2i)，则z－eq\x\to(z)＝(A)A．－i B．iC．0 D．1[解析]z＝eq\f(1－i,21＋i)＝eq\f(1－i2,21＋i1－i)＝eq\f(－2i,4)＝－eq\f(1,2)i，∴eq\x\to(z)＝eq\f(1,2)i，∴z－eq\x\to(z)＝－i，故选A.6．(2023·新课标Ⅱ，1,5分)在复平面内，(1＋3i)·(3－i)对应的点位于(A)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析](1＋3i)(3－i)＝6＋8i，对应的点(6,8)位于第一象限，故选A.7．(2022·北京卷)若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|＝(B)A．1 B．5C．7 D．25[解析]解