2019版5年文数a版文档6-4数列的综合应用

§6.4数列的综合应用

考纲解读

考点内容解读要求局考不例常考题型预测热度

2017课标全国国,17;

2017北京，15;

1.数列的通项公式及前n项和的

掌握数列的通项公式及求和方法II解答题★★★

求法

2016天津,18;

2015山东，19

2017天津,18;

选择题、

能综合应用等差、等比数列解决

2.数列的综合应用III2016浙江,17;★★★

相应问题

解答题

2016四川，19

分析解读

综合运用数列,特别是等差数列、等比数列的有关知识,解答数列综合问题和实际问题，培养学生的理解能力、数学建模能力

和运算能力.数列是特殊的函数,是高考的常选考点.历年高考考题中低、中、高档试题均有出现,需引起充分的重视.本节内容在

高考中分值为12分左右，属于中档题.

【命题探究】

五年高考

考点一数列的通项公式及前n项和的求法

1.(2017山东，19,12分)已知｛a｝是各项均为正数的等比数列,且a计侬=6,

⑴求数列｛&｝的通项公式；

(2)限｝为各项非零的等差数列，其前n项和为S„.已知S2Btl=bnb„tl,求数列｛署｝的前n项和T„.

解析(1)设｛aj的公比为q,

由题意知:ai(1+q)=6,aiq=aiq2,

n

又an>0,解得ai=2,q=2,所以an=2.

⑵由题意知：&。“=(2"+1)与+*“+1)=(2n+l)日,

又S2n+l=bnbn+l,bn+lWO,所以bn=2fl+l.

令cA则

a-n2

因此Tn=C"2+…+Cn=|+郎+盘+••，+|S+警

卷黄

两式相减得指=|+弓+a+…+5）-繇,

所以Tn=5-等.

2.（2017北京，15,13分）已知等差数列｛aj和等比数列｛bj满足ai=bi=l,a2+a4=10,b2b4=a5.

⑴求｛aj的通项公式；

⑵求和：bi+b3+bs+…+b2n-l.

解析（1）设等差数列｛aj的公差为d.

因为a2+a4=10,所以2ai+4d=10.

解得d=2.

所以an=2n-l.

⑵设等比数列｛bj的公比为q.

因为b2b4=a5,所以biqbiq3=9.

解得q2=3.

所以b2n*biq2n-2=3nT.

lW

从而bi+ba+bs+…+b2n-1=1+3+32+,••+3-321.

3.(2016天津，18,13分)已知瓜｝是等比数列，前n项和为Sn(n£N*),且工」S6=63.

的

(1)求｛aj的通项公式;

(2)若对任意的n£N*,比是logzan和logza,的等差中项，求数列｛(-1＞屏｝的前2n项和.

解析⑴设数列瓜｝的公比为q.由已知，有工」-二刍,解得q=2,或q=T.

aiaiqaiqN

n-1

又由S6=ai•替=63,知所以ai•^-=63,得a,=l.所以an=2.

n_1n

（2）由题意,得bn=|（log2an+log2an+i）=|（log22+log22）=n-|,

即｛L｝是首项为去公差为1的等差数列.

设数列｛（-1）解｝的前n项和为1,则

T2n=（-好+也）+（一园+园）+…+（_%-]+%）

22

=bi+b2+b3+b4+--•+b2n-i+b2n=^^y^^=2n.

2

4.（2014课标I,17,12分）已知｛an｝是递增的等差数列,a2,a4是方程x-5x+6=0的根.

⑴求｛劣｝的通项公式；

⑵求数列｛袋｝的前n项和.

解析（D方程X2-5X+6=0的两根为2,3,由题意得Q，2~2,&4-3.

设数列｛a„｝的公差为d,则at-a2=2d,故d=l从而31-^.

所以｛4｝的通项公式为a.=|n+l.

⑵设畏｝的前n项和为S”由⑴知蓊霜,则

S，号+#…+竽+霜，

太=3+过+…+也+”1

nn

2〉n23242+12+2'

两式相减得gSn[+…+品

二号•一木）手1.

所以Sn=2-霜♦

教师用书专用（5—13）

5.（2015湖北，19,12分）设等差数列｛4｝的公差为d,前n项和为Sn,等比数列｛bn｝的公比为q.已知be,b2=2,q=d,S10=100.

⑴求数列｛aj,｛bn｝的通项公式;

⑵当d>l时,记c产詈,求数列小｝的前n项和Tr

bn

解析⑴由题意有,第+45d=即巴+染=20,

□id=2,(fljd=2,

厮=1(2n+79),

%=9=2n-l,

解得•oU.

"L或d=看=2口/…•(旷・

—n=

(2)由d>l,知an—2n1,bn—2；故Cn~^,

于是E+/+篝①

米泻+/+摄+次.+竽②

①-②可得

工T-2+-+—+•••+1_21-1-3—2葭+3

21n"2十22十十2"J2n，

故36-黄.

6.(2015安徽,18,安分)已知数列｛4｝是递增的等比数列，且ai+a4=9,a2a3=8.

(1)求数列｛④｝的通项公式;

(2)设S.为数列｛a.｝的前n项和,b产含工,求数列｛b„｝的前n项和To.

解析⑴由题设知ai•a4=a2,a3=8,

又叫，=9,可解得器墨域自曾(舍去).

n-1n-1

由二ad得公比为q=2,故an=aiq=2.

⑵S,尸当g=2T,又b,产浅小/包

kq)n»n+lJQn+l)n+l

所以Tn=bi+bz+…+bn=“孙康孙…+佳-占Hr士

=1-_--

2n+1-f

7.(2015山东，19,12分)已知数列凡｝是首项为正数的等差数列，数列｛芯片｝的前n项和为高.

(1)求数列｛aj的通项公式；

⑵设bn=(adl)-2%求数列｛bj的前n项和《

解析(1)设数列｛4｝的公差为d.

令n=l,得=1,

所以aia2=3.

令n=2,得1+1

叼。2a2a35

所以a2a3=15.

解得a,=l,d=2,

所以an=2n-l.

2n-1n

(2)由(1)知bn=2n-2=n・4,

2n

所以Tn=l-4'+2・4+-+n•4,

所以41=1•42+2•43+--+n•4n+1,

两式相减,得-334442+…+4n-n,4n+l

=4(1-%,4n+1

1-4

=^3nxn+i_4

33,

8.(2014湖北,19,湖分)已知等差数列｛a“｝满足:a产2,且aba2,as成等比数列.

(1)求数列｛品｝的通项公式；

⑵记出为数列瓜｝的前n项和，是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.

解析(1)设数列｛a｝的公差为d,依题意,得2,2+d,2+4d成等比数列，故有(2+d)2=2(2+4d),

化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.

当d=0时,an=2;

当d=4时，an=2+(n-1),4=4n-2,

从而得数列｛aj的通项公式为须=2或an=4n-2.

(2)当an=2时，Sn=2n,显然2n<60n+800,

此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.

n[2+(n2)]2

当an=4n-2时,Sn=^-=2n.

令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,

解得n>40或n<TO(舍去)，

此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.

综上，当a12时,不存在满足题意的n;

当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.

9.(2014安徽,18,12分)数列｛aj满足ai=l,nan+i=(n+l)an+n(n+l),n£N*.

⑴证明:数列僵｝是等差数列；

⑵设b.=3°•而求数列｛bj的前n项和S,.

解析⑴证明：由已知可得处!■=.+1,即吃-£1.

n+1nn+1n

所以卷｝是以?=1为首项,1为公差的等差数列.

⑵由(1)得—•l=n,所以4=/.

n

n

从而bn=n,3.

，Sn=l•3*+2・32+3•33+―+n•3n,①

3Sn=l•32+2•33+—+(n-l)•3n+n・3n+1.②

①-②得-2Sn=3】+32+…+37n・3n+1

篦)_.n+1

_3.(1_3n+i_(l-2n)«3-3

1^3-n.2

所以S产小3*+3

4

10.(2014山东，19,12分)在等差数列｛aj中,已知公差d=2,a2是&与a,的等比中项.

(1)求数列｛④｝的通项公式；

⑵设bn=an(n+i),记Tn二-bi+bzF+bd-…+(T)b,求Tn.

-2-

解析(1)由题意知(ai+d)Jai(ai+3d),

即(ai+2)2=ai(ai+6),

解得a尸2,

所以数列｛aj的通项公式为an=2n.

=

⑵由题意知bn=gra(n+i)n(n+1).

-2~

所以bn+-bn=2(n+1),

所以当n为偶数时，

-

Tn=(bi+b2)+(-b3+b4)+,,,+(-bn-l+bn)

=4+8+12+―+2n

_J(4+2n)

2

_n(n+2)

2-，

当n为奇数时，

若n=l,则Ti=-bi=-2,

若n>l,则Tn=Tn-i+(-bn)

-a(n+i)

^_(n+l)2

2

n=l时，满足上式.

［噌,n为奇数,

所以Tn=（竺/2,n为偶数.

11.（2013重庆，16,13分）设数列｛既｝满足:④=l,a*3an,n£N+.

⑴求｛aj的通项公式及前n项和权；

（2）已知｛bn｝是等差数列，Tn为其前n项和，且bi=a2,b?;ai+az+a?,求T20.

n

解析（1）由题设知｛aj是首项为1,公比为3的等比数列,所以既=3叱Sn^m（3-1）.

(2)b产a2=3,b3=l+3+9=13,bi=10=2d,所以公差d=5,

故T2o=2OX3+丝/X5=l010.

12.(2013安徽，19,13分)设数列｛aj满足ai=2,a2+a4=8,且对任意n£N*,函数f(x)=(an-an+i+an+2)x+an+icosx-an+2sinx满足

f©0.

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)若bn=2(an+击),求数列｛%｝的前n项和Sn.

解析(1)由题设可得，f'(x);an-an+i+an+2-an+isir)x-an+2,cosx.

对任意nGN*,fH=an-an+i+an+2-a*0,

—=—

即Sn+1a,nSn+23.n+l,

故｛①｝为等差数列.

由a,=2,a2+a4=8,解得｛aj的公差d=l,所以an=2+l•(n-l)=n+l.

(2)由bn=2(an+1卜2(n+1+会+2知，

2

Sn=bi+b2+,,,+bn=2n+2・^=n+3n+1-i.

2烤2

13.(2013湖南，19,13分)设出为数列⑸｝的前n项和，已知a】W0,2a「a产Si•Sn,neN*.

(1)求aba2,并求数列｛aj的通项公式;

(2)求数列｛naj的前n项和.

解析⑴令n=l,得2a~aI=al，

即a尸硅

因为aiWO,

所以ai=l.

令n=2,得2a2-1•二S2=l+a2.

解得出=2.

当n22时,2anT=Sn,2an-i-l=Sn-i,两式相减得2an-2an-i=an.即an=2an-i.

于是数列｛/｝是首项为1,公比为2的等比数列.

因此,既=2-所以数列｛an｝的通项公式为尔=2-

11

(2)由⑴知nan=n•2T.

记数列I｛n・2口的前n项和为Bn,于是

BLI+2X2+3X22+―+nX2-①

2Bn=lx2+2X22+3X23+—+nX2n.②

①—②得—Bn=l+2+22+•••+2联1n-2n=2n-l-n-2n.

n

从而Bn=l+(n-1),2.

考点二数列的综合应用

1.(2017天津，18,13分)已知｛天为等差数列，前n项和为S0(neN*),｛bj是首项为2的等比数列，且公比大于也)=塔*热-

2cii,SH=1lb4.

⑴求｛aj和｛bj的通项公式;

(2)求数列｛a2nbn)的前n项和(n£N*).

解析(1)设等差数列｛aj的公差为d,等比数列｛bj的公比为q.由已知b2+b3=12,得b[(q+q2)=12,

而bi—2,所以q2+q—6—0.

又因为q>0,解得q=2.

n

所以,bn=2.

由b3=a「2ai,可得3d—ai=8(l).

由Si产lib,，可得aa+5d=16②，

联立①②,解得a.=l,d=3,

由此可得an=3n-2.

n

所以，a｝的通项公式为aEn-2,限｝的通项公式为bn=2.

23n

(2)设数列｛a2nbJ的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,有Tn=4X2+10X2+16X2+-+(6n-2)X2,

234nn+1

2Tn=4X2+10X2+16X2+-+(6n-8)X2+(6n-2)X2,

上述两式相减,得

-Tn=4X2+6X22+6X23+—+6X2n-(6n-2)X2n+,

n

=i2x(V2)_4_(6n_2)X2n+1

二—(3n—4)2n+2-16.

得Tn=(3n-4)2n+2+16.

n+2

所以,数列｛a2nbn)的前n项和为(3n-4)2+16.

2.(2016浙江,17,15分)设数列｛aj的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+l,n£N*.

(1)求通项公式必；

⑵求数列｛|a「n-2|｝的前n项和.

解析⑴由题意瞰di,叫n

又当n22时，由an+1-an=(2Sn+l)-(2Sn-i+l)=2an,

得an+1=3an.又因为a2=3=3ab所以数列⑸｝是首项为1,公比为3的等比数列.

所以,数列｛an｝的通项公式为an=37n£N*.

n-1

⑵设b产13-n-21,n£N*,则b「2,b2=l.

n-1n-1

当n23时，由于3>n+2,故bn=3-n-2,n23.

设数列限｝的前n项和为Tn,则32,T2=3.

9(1-3n-2)_(n+7)O2)_3n-n2-5n+ll

当nN3时,T=3+-

n22

经检验,n=2时也符合.

2,n=1,

所以T尸

3n-n2-5n+ll

,n>2,n£N*.

2

3.(2016四川，19,四分)已知数列｛aj的首项为1,3为数列｛aj的前n项和,Sn+1=qSn+l,其中q>0,n-N*.

(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列，求数列｛an｝的通项公式;

(2)设双曲线X2-4=1的离心率为e„,且-2,求比+e尹…+脸

an

解析(1)由已知，Sn+产qSn+1,Sn+2=qSn+1+l,两式相减得到an+2=qan+i,n》l.

又由S2=qSi+l得到a2=qai,

故a.尸qa1,对所有n，l都成立.

所以,数列｛a｝是首项为1,公比为q的等比数列.

从而&n=Qn1.

由a2,a3,a?+a3成等差数列，可得2a3=az+a2+a3,

所以9.3—23.2,故q—2.

n-1

所以an=2(nGN*).

⑵由⑴可知,④才二

所以双曲线x=-Jl的离心率力1+q2gi).

由e2=Jl+q2=2解得q=V3.

所以,比+e尹…+京

(l+l)+(l+q2)+-+[l+q2(n-1)]

叫

=n+|(3n-l).

4.(2015天津，18,13分)已知｛&,｝是各项均为正数的等比数列，｛bj是等差数列，且a尸bi=l,bz+b3=2a3,a.5-3b2-7.

⑴求｛aj和｛bj的通项公式;

⑵设Cn=ah,n£N*,求数列｛cj的前n项和.

解析(1)设数列均｝的公比为q,数列｛b0｝的公差为d,由题意知q>0.由已知，有消去&整理得/_2，-8=0.又因为q>0,

解得q=2,所以d=2.

所以数列瓜｝的通项公式为4二2二n£N*;数列｛bj的通项公式为bn=2n-l,nWN*.

(2)由(l)<cn=(2n-l)-2"二设｛cj的前n项和为Sn,贝U

Sn=lX2°+3X2*+5X22+-+(2n-3)X2n-2+(2n-l)X2n-1,

J23n-1n

2Sn=lX2+3X2+5X2+-+(2n-3)X2+(2n-l)X2,

上述两式相减,得-Sn=l式2+2。+…+211-(2nT)X2n=2n+1-3-(2n-l)X2n=-(2n-3)X2n-3,

所以，Sn=(2n-3)・2n+3,neN*.

教师用书专用(5—9)

5.(2017江苏，19,16分)对于给定的正整数k,若数列｛aj满足：an-k+an-k+什…+an-i+an+i+…+an+k-i+an+k=2kan对任意正整数n(n>k)总成立,

则称数列a｝是“P(k)数列”.

⑴证明：等差数列｛a｝是“P⑶数列”；

(2)若数列｛4｝既是“P(2)数列”，又是“P⑶数列”，证明：｛&｝是等差数列.

证明⑴证明：因为区｝是等差数列，设其公差为d,则an=ai+(n-l)d,

从而，当n24时,an-k+an+k-ai+(n-k-1)d+ai+(n+k-1)d=2ai+2(n-1)d=2an,k=l,2,3,

所以an-3+an-2+an-l+an+l+an+2+an+3=6an,

因此等差数列｛an｝是“P⑶数列”.

(2)数列瓜｝既是“P⑵数列”，又是“P⑶数列”，因此，

当n23时，an-2+an-i+an+i+an+2=4an,①

当n24时，an-3+an-2+an-i+an+i+an+2+an+3=6an.(2)

+=-

由①知，an-3an-24an-i(an+an+i),③

an+2+an+3=4an+l-(an-l+an).(3)

将③④代入②，得an-i+an+i=2anj其中n24,

所以a3,a4,比,…是等差数列，设其公差为d'.

，

在①中，取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d,

，

在①中，取n=3,则ai+a2+a4+a5=4a3,所以ai=a3-2d,

所以数列｛aj是等差数列.

6.(2015浙江,17,15分)已知数列｛aj和｛bj满足ai=2,bi=l,an+i=2an(n£N*),bi+如+扣+…+张=bn+「l(n£N*).

⑴求an与bn;

⑵记数列｛ah｝的前n项和为求

n

解析⑴由ak2,an+i=2an,得an=2(n£N*).

由题意知，

当n=l时,bi=b2-l,故b2=2.

当n>2吐为“=*也,整理得如户”

nn+1n

所以bn=n(n£N*).

⑵由⑴知anbn=n・2n,

23n

因止匕Tn=2+2•2+3•2+-+n•2,

234n+1

2Tn=2+2・2+3•2+―+n-2,

23nn+1

所以Tn-2Tn=2+2+2+—+2-n-2.

故T产(n-l)2%2(n£N*).

22

7.(2014广东，19,14分)设各项均为正数的数列｛aj的前n项和为Sn,且Sn(n+n-3)Sn-3(n+n)=0,n£N*.

(1)求a1的值；

⑵求数列｛aj的通项公式；

⑶证明：对一切正整数n,+•••+—^—4

al(al+l)。2(。2+1)an(an+l)3

解析(1)VS2-(n2+n-3)S「3(n2+n)=0,

・,•令n=l,得居+a[6=0,

解得ai=2或ai=-3.

又an>0,.*.ai=2.

-22

(2)SSn(n+n-3)Sn-3(n+n)=0,

-2

得[Sn(n+n)](Sn+3)=0,

又an>0,所以Sn+3W0,

z

所以Sn=n+n,

22

所以当n22an=Sn-Sn-i=n+n-[(n-l)+n-l]=2n,

又由(1)知,a=2,符合上式，

所以an=2n.

3

⑶证明：由⑵知,—=7--T;,

an(an+l)2n(2n+l)

所以-------+-------+,,,+-------

叼(肉+1)。2@+1)anQi+l)

2x34x52n(2n+l)

<----+----+---+,,,+-------------

2x33x55x7(2n-l)(2n+l)

+1r

钙[G4).5'7,+…+岛-焉)]

44x1=1.

6233

8.(2013课标全国11,17,12分)已知等差数列瓜｝的公差不为零,a尸25,且Hi,a”，ai3成等比数列.

(1)求｛aj的通项公式；

(2)求ai+a4+a7+…+a3n-2.

解析(1)设以｝的公差为d.由题意得，城i=aiai3,

即(ai+10d)(ai+12d).

于是d(2a1+25d)=0.

又ai=25,所以d=0(舍去)或d=-2.

故an=-2n+27.

⑵令Sn=ai+a4+a7+,•,+a3n-2.

由（1）知a3『2=-6n+31,故（a3n-2｝是首项为25,公差为-6的等差数列.从而

Sn——（ai+a3n-2）

苦（-6n+56）

=-3n2+28n.

9.（2013山东，20,12分）设等差数列｛aj的前n项和为义且S4=4S2,a2„=2an+l.

（1）求数列｛aj的通项公式；

⑵若数列瓜｝满足红+也+…+纽=l-W，neN•，求｛bj的前n项和T„.

解析（1）设等差数列｛④｝的首项为ab公差为d.

由S4=4S2,a2n=2an+l得

14al+6d=8al+4d,

（由+（2n-l）d=2al+2（n-l）d+1,

解得ai=l,d=2.

因此an=2n-l,n£N*.

⑵由已知"&+…+也=1。,nSN,,得

Qj0,2Q-nZ

当n=l时，维I；

的2

当心2时，川方Q菽）最

所以组J,neN*.

an2

由（1）知,aNn-l,n£N*,

所以b.孝,nEN,,

v7T1,35,2n-l

又TII=2?F-J

1„1,3,,2n-3,2n-l

/芝+/+…+f+严,

两式相减得排点信+,+•••+孙篇

_3_1_2n-l

~22n-12n+）

所以TB竽

三年模拟

A组2016—2018年模拟•基础题组

考点一数列的通项公式及前n项和的求法

1.（2018辽宁沈阳二中期中，8）数列｛aj的前n项和为S”若a产二6则&等于（）

n（n+l）

B.7C.7D.之

6630

答案B

2.（2017陕西渭南二模.9）设S。为等差数列｛aj的前n项和，a?=3,S,=25,若｛品’的前n项和为摆,则n的值为（）

008009017

答案B

3.（2017山西孝义模考,9）已知数列｛aj,｛bj,其中｛aj是首项为3,公差为整数的等差数歹U,且a3>a1+3,aXaz+laFlogzb”,则｛比｝的

前n项和）

A.8（2-1）B.4（3-1）

C.1（4n-1）D.|（3n-1）

答案C

4.（人教A必5,二,4,B2,变式）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：”三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛

减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路,第一天健步行走，从第二天起脚痛,

每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,则第二天走了（）

里里里里

答案B

5.（2018福建六校联考，17）若数列⑸｝的前n项和S”满足Sn=2an+1.

⑴求｛4｝的通项公式；

⑵设片1。&5,求数列层J的前n项利T..

解析(1)当n=l时,ai=Si=2ai+l,得ai=-l;

当n22时,根据题意得Sn-i=2an-i+l,

所以a—S-Sn-i—(2a+1)—(2a-i+1)-2a—2a-i(n，2),即=2(n，2).

nnnnnnOn-l

・♦・数列｛aj是首项为-1,公比为2的等比数列.

・•・*(-1)・2$-2叱

n

⑵由⑴得bn=log2(-an+i)=log22=n.

.1_1_11

bnbn+in(n+l)nn+l)

.』=(11)+(消+…+@扁)=1扁=备

6.(2018广东汕头金山中学期中考试，17)已知数列｛4｝是等比数列,a2=4,a3+2是a?和a」的等差中项.

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)设bn=21og2a「l,求数列｛④卜｝的前n项和Tn.

解析(1)设数列瓜｝的公比为q(q70),

2

因为a2=4,所以a3=4q,a4=4q.

因为a3+2是a2和的等差中项,所以2S3+2)=az+a4,

即2(4q+2)=4+4q；化简得q2-2q=0.

因为公比qWO,所以q=2.

n-2n-2n

所以an=a2q=4X2=2(nGN*).

n

(2)因为an=2,所以bn=21og2an-l=2n-l,

h

所以anbn=(2n-l)2,

23n-1n

则Tn=lX2+3X2+5X2+-+(2n-3)2+(2n-l)2@,

234*67n

2Tli=1X2+3X2+5X2+-+(2n-3)2+(2n-l)2同②.

由①-②得,-Tn=2+2X22+2X2旺…+2X2n-(2n-l)2n+1

=2+2X4(1-2^1)-(2n-l)2llH

=-6-(2n-3)2n+1,

n+,

所以Tn=6+(2n-3)2.

7.(2017广东10月百校联考，17)已知数列区｝的前n项和S6n(g+1).

⑴求数列｛aj的通项公式；

(2)求数列凡・2巧的前n项和加

解析⑴VSn=|n(nai+l),.*.ai=|(ai+l),.*.ai=l,.*.Sn=|n(n+l),/.Sn-i=1n(n-1)(n^2),

两式相减得an=n(r)N2),

而当n=l时,ai=l也满足an=n,所以an=n(neN*).

23n-1

(2)Tn=l+2X2】+3X2+4X2+-+nX2,

23n-1n

则2Tn=lX2+2X2+3X2+—+(n-1)X2+nX2,

npnn

两式相减，得-*1+2旺22+…+2日-nX2=^y-nX2=2(l-n)-ti.'.Tn=(n-l)2+l.

8.(2017福建福州八中第六次质检，17)在等比数列区｝中，公比qWl,等差数列限｝满足匕刊=3,b4=a2,b13=a3.

⑴求数列｛aj与｛bj的通项公式；

n

(2)记^=(-l)bn+an,求数列｛cj的前2n项和S2n.

解析(1)设等差数列｛bj的公差为d.

则福:着=篝解得｛渭或｛二;,(舍去),

n

所以an=3,bn=2n+l.

⑵由(1)知夕(-1”(211+1)+31

232n

贝|Js2n=(3+3+3+-+3)+｛(-3)+5+(-7)+9+-+[-(4n-l)]+(4n+l)｝=(3)+[(5-3)+(9-7)+-+(4n+l-4n+l)]=2+2n.

考点二数列的综合应用

9.(2018河南中原名校11月联考，10)设函数f(x)满足f(n+l)="等(nCN*),且f(l)=2,则f(40)=()

答案D

10.(2017河南新乡第一次调研,6)已知各项均不为0的等差数列｛4｝满足a3-^+a„=0,数列也｝为等比数列，且b产a”则

bi•bi3=()

答案A

11.(2016福建四地六校第一次联考,9)设数列｛aj是以3为首项，1为公差的等差数列，｛&｝是以1为首项,2为公比的等比数列，则

%+%+%+%=()

答案B

12.(2018广东珠海二中期中，18)已知数列｛aj与圆｝满足an+「an=2(bn+「bn),n£N*,bn=2n-l,且a】=2.

⑴求数列｛%｝的通项公式;

⑵设Cn$Tn为数列｛c,J的前n项和，求Tn.

解析⑴因为an+i-an=2(bn+i-b，，bn=2n-l,

所以an+-an=2(bn+i-bn)=2(2n+l-2n+l)=4,

所以｛an｝是等差数列，首项a尸2,公差为4,所以an=4n-2.

⑵c尸脸"*(251)-2".

bn(2n-l)nl

.,.Tn=C1+C2+C3+…+Cn=l•2+3•22+5•23+**«+(2n-l),2n①,

23

2Tn=l-2+3・2+5・2’+…+(2n—l)・2"】②,

①-②得

2nn+1n+,

-Tn=l-2+2・2+2•2,+…+2・2-(2n-l)-2田=2+2・^^-(2n-l)-2=-6-(2n-3)-2,

・・・Tn=6+（2n—3）-2n+1.

13.（2017广东韶关六校联考，17）已知等差数列｛aj的前n项和为Sn,且S3=9,aba3,a7成等比数列.

⑴求数列｛aj的通项公式；

⑵当an>d时,数列d｝满足况=2%求数列｛bj的前n项和Tn.

解析⑴设K｝的公差为d.,・•等差数列a｝的前n项和为柞,且53=9,a.,a3,a7成等比数列,

**(3a1+^d=9,解传｛d=0或｛d=l.

当｛：i二o'时,a产3;当时，an=2+(n-l)=n+l.

/.｛an｝的通项公式为an=3或an=n+l.

ann+1

(2)Van^ai,.*.an=n+l,.*.bn=2=2,

,2

..b1=2=4,$=2.

・•・｛bj是以4为首项，以2为公比的等比数列,

二Tn=^p=2"2-4.

B组2016—2018年模拟•提升题组

（满分:80分时间：60分钟）

一、选择题（每小题5分，共10分）

1.（2018湖北孝感六校联考,10）已知数列瓜｝满足:af③+广/为（n£N*）.若bn+1=（n-2X）-（£+1）（n£N*）,b.=-|人,且数列｛bn｝是

单调递增数列，则实数人的取值范围是（）

B.X<1

答案A

2.（2016河南洛阳期中，12）设a产曙+曙+…+赞，则对任意正整数m,n（m〉n）都成立的是（）

_,1_.m-n

maK2mma”-2-

答案A

二、填空题（每小题5分，共10分）

n

3.（2017江西南昌模拟，14）已知数列｛③｝的通项为an=（-l）-（4n-3）,则数列｛4｝的前50项和丁布.

答案100

4.（2016安徽皖江名校联考，16）数列瓜｝满足:且a*竽警（nCN*）,则工+巳+且+…+空结.

33an+n的a2a3«2016—

6047L1

T-3x42016

三、解答题（每小题15分，共60分）

5.（2018福建福州八校联考，17）已知公差不为0的等差数列｛aj的前三项和为6,且a2,a4,as成等比数列.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设L=」一,数列｛bj的前n项和为Sn,求使的n的最大值.

anan+l15

解析（1）设等差数列｛④｝的首项为a1,公差为d（d70）,依题意可得

pi+a2+a3=6,+d=2,

gd—0,

(0,••a，i~l,d=l,•(an=n.

⑵由⑴可得b0扁=!盍

，S.=（L粉（消+…+Q会齐上

令「圭嗒得n〈14，'n的最大值为13.

6.（2018广东佛山一中期中考试，17）在等差数列｛aj中，a尸3,其前n项和为S.,等比数列｛b.｝的各项均为正数,瓦=1,公比为q,且

b2+S2=12,q量.

（1）求an与bn；

（2）证明［w/咛+…

解析（1）设数列｛a“｝的公差为d.

（b+S=12,（q+6+d=12,

因为2S22所以L6+d

解得q=3或q=-4（舍）,d=3.

n-1

故an=3+3（n-l）=3n,bn=3.

（2）证明：因为$“=喏2

所以.Vs方《G-击）

故我+…金

钊"）+（醇+（M）+…+G岛）卜焉）

因为n'l,所以0〈击W^,所以称忘1-全＜1,

所以*IO-击）号

即岩+#••*4

7.（2017湖南长沙长郡中学模拟，17）已知｛4｝是等差数列，｛bn｝是等比数列I,Sn为数列｛禺｝的前n项和,&=bk1,且

b3s3=36,b2s2=8（neN*）.

(1)求an和bn；

⑵若"“求数列｛就那前n项和1.

解析(1)设｛4｝的公差为d,｛bn｝的公比为q,

由题意得怨：:川-6,解得，厂,或卜=-|,

(<7(2+d)=8.(q=2,Q=6

n-1n

/.an=2n-l,bn=2或an=^(5-2n),bn=6\

(2)若an<an+i,由(1)知an=2n-l,

则1--1—=1fJ-.

,

anan+1(2n-l)(2n+l)2\2n-l2n+17

,•工费4+找+…+右一壶)=肃.

8.(2017福建龙岩五校期中，20)已知数列｛aj的首项a,=2,且满足a„«=2a.+3•2°*',nEN".

⑴设b。孽,证明数列｛bj是等差数列；

⑵求数列｛&｝的前n项和S”

解析⑴证明：贽泸篝四弃=3,

数列｛b.｝是以瓦号=1为首项,3为公差的等差数列.

n

(2)由(1