山东省青岛市城阳区第七中学高三数学文联考试题含解析

山东省青岛市城阳区第七中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，4），则下列判断中不正确的是（）A．函数图象经过点（﹣1，1）B．当x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的值域是[0，4]C．函数满足f（x）+f（﹣x）=0D．函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0]参考答案：C【考点】幂函数的性质．【分析】由幂函数y=xa的图象经过点（8，4），求得幂函数的解析式，再由所得的解析式求出函数的值域、单调性等性质，得到答案．【解答】解：∵幂函数y=xa的图象经过点（2，4），∴4=2a，即22=2a解得a=2故函数的解析式为y=x2，故函数图象经过点（﹣1，1）；A正确；当x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的值域是[0，4]；正确；由于f（﹣x）=（﹣x）2=x2，函数不满足f（x）+f（﹣x）=0；C错；函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0]；正确故选C．2.设x,y满足则A．有最小值－7，最大值3

B．有最大值3，无最小值C．有最小值2，无最大值

D．有最小值－7，无最大值参考答案：C3.已知非零向量、满足|+|=|﹣|=||，则+与﹣的夹角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°参考答案：B【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】欲求（+）与（﹣）的夹角，根据公式cos＜，＞=，需表示（+）（﹣）及|+|?|﹣|；由于|+|?|﹣|易于用||表示，所以考虑把（+）（﹣）也用||表示，这需要把已知等式都平方整理即可．【解答】解：∵|+|=|﹣|=||∴（+）2=（﹣）2=2整理得?=0，2=2．设（+）与（﹣）的夹角为α，则（+）（﹣）=|+|?|﹣|cosα=2cosα，且（+）（﹣）=2﹣2=2．∴cosα=，解得α=60°．故选B．4.设复数（i是虚数单位），=A.i

B.-i

C.-1+i

D.1+i参考答案：C,=。5.已知分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：6.已知集合，若，则等于（

）A．

B．

C．或

D．或参考答案：D7.展开式中的系数为（）A.16

B.12

C.8

D.4参考答案：C8.已知i是虚数单位，复数z满足，则（

）A. B.2 C.1 D.参考答案：A【分析】运用复数的除法运算法则，求出复数的表达式，最后利用复数求模公式，求出复数的模.【详解】，所以，故本题选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算、求模公式，考查了数学运算能力.9.下列说法正确的是

（

）命题“若，则”的否命题为真命题“直线与直线互相垂直”的充分条件是“”命题“”的否定是“”命题：若，则或的逆否命题为：若或，则参考答案：B10.设的内角所对边的长分别为,若且的面积为2，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(几何证明选做题)如图，过点作圆的割线与切线，为切点，连接，的平分线与分别交于点，若，则

；

参考答案：12.

如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=1，PO=4，则⊙O的半径为

。参考答案：213.若（R，i为虚数单位），则ab=

．参考答案：14.已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=

参考答案：415.已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为

．参考答案：2【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．【解答】解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=a2h=，设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，此时h==2，故答案为：2．16.若，则＝．参考答案：答案：

17.用反证法证明命题“若正整数a，b，c满足b2﹣2ac=0，则a，b，c中至少有一个是偶数”时，反设应为

．参考答案：假设a，b，c都是奇数【考点】反证法与放缩法．【专题】证明题；推理和证明．【分析】利用反证法证明的步骤，从问题的结论的反面出发否定即可．【解答】解：假设a，b，c都是奇数“至少有一个偶数”的否定为“都不是偶数”，即反设应为“假设a，b，c都是奇数”．故答案为：假设a，b，c都是奇数．【点评】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围.参考答案：（1）；（2）m≥3或m≤﹣1.【分析】（1）利用零点分段法进行求解，即可得答案；（2）由题意可得|x﹣m|+2|x﹣1|≥2恒成立，设g（x）＝|x﹣m|+2|x﹣1|，由题意可得只需g（x）min≥2，运用绝对值不等式的性质和绝对值的性质，以及绝对值不等式的解法，可得所求范围．.【详解】（1）若，不等式①当时，不等式①等价于，∴；当时，不等式①等价于，∴；当时，不等式①等价于，∴；综上所述，不等式的解集为.（2）关于x的不等式|x﹣1|≥1恒成立，即为|x﹣m|+2|x﹣1|≥2恒成立，设g（x）＝|x﹣m|+2|x﹣1|，由题意可得只需g（x）min≥2，而g（x）＝|x﹣m|+|x﹣1|+|x﹣1|≥|x﹣m﹣x+1|+0＝|1﹣m|，当且仅当x＝1取得等号，则g（x）的最小值为|1﹣m|，由|1﹣m|≥2，解得m≥3或m≤﹣1．【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式、绝对值函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.19.（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最大值；（II）求函数的零点的集合。参考答案：20.已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：＞a．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为x=在（0，+∞）上有解，求出a的范围即可；（Ⅱ）求出g（x）的解析式，通过讨论a的范围，问题转化为证明x1lnx1+1＞ax12，令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．【解答】（Ⅰ）解：因为f′（x）=﹣2a，x＞0，因为函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，所以f′（x）=﹣在（0，+∞）上有解，即﹣2a=﹣在（0，+∞）上有解，也即x=在（0，+∞）上有解，所以＞0，得a＞，故所求实数a的取值范围是（，+∞）；（Ⅱ）证明：因为g（x）=f（x）+x2=x2+lnx﹣2ax，因为g′（x）=，①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意，②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2，因为x1为函数g（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，所以g′（x1）=x12﹣2ax1+=0，则a=，要证明+＞a，只需要证明x1lnx1+1＞ax12，因为x1lnx1+1﹣ax12=x1lnx1﹣+1=﹣﹣x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，令h（x）=﹣x3﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），所以h′（x）=﹣x2﹣+lnx，记P（x）=﹣x2﹣+lnx，x∈（0，1），则P′（x）=﹣3x+=，当0＜x＜时，p′（x）＞0，当＜x＜1时，p′（x）＜0，所以p（x）max=p（）=﹣1+ln＜0，所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）=0，原题得证．21.（本小题满分12分）为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进行百米测试，学生成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，第二组……第五组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，根据有关规定，成绩小于16秒为达标．（1）用样本估计总体，某班有学生45人,设为达标人数,求的数学期望与方差；（2）如果男女生使用相同的达标标准,则男女生达标情况如下表：

请把表格填写完整。根据表中所给的数据，能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”？若有，你能否提出一个更好的解决方法来？附：

参考答案：（Ⅰ）..................................3分若用样本估计总体，则总体达标的概率为0.6

从而～B(45，0.6）(人)，=10．8..................................6分（Ⅱ）

性别是否达标男女合计达标a=24b=630不达标c=8d=1220合计3218n=50.....................................................................................................................9分8．333由于>6．625,故有99%的把握认为“体育达标与性别有关”.........11分解决办法：可以根据男女生性别划分达标的标准..............................1