山东省临沂市平邑县第二中学高三数学文联考试题含解析

山东省临沂市平邑县第二中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，若a1>1，则(

)A.a1<a3，a2<a4 B.a1>a3，a2<a4C.a1<a3，a2>a4 D.a1>a3，a2>a4参考答案：B∵，∴，得，即，∴.若，则，，矛盾.∴，则，.∴，.2.若样本数据的平均数是10，方差是2，则数据的平均数与方差分别是（）

A.20,8

B.21,12

C.22,2

D.21,8参考答案：D3.在中，，若O为内部的一点，且满足，则=（

）A. B. C. D.参考答案：C略4.若曲线在点处的切线垂直于直线，则点坐标为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.双曲线与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用条件可得A（）在双曲线上，=c，从而可得（c，2c）在双曲线上，代入化简，即可得到结论．解答： 解：∵双曲线与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，∴A（）在双曲线上，=c∴（c，2c）在双曲线上，∴∴c4﹣6a2c2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∴∵e＞1∴e=故选B．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．6.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜2}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}．故选：D．7.定义在R上的函数满足，且时，，则A．1

B．

C．

D．参考答案：C【知识点】函数的奇偶性与单调性

B3,B4

解析：由，因为，所以，，所以.故选【思路点拨】把所求的值利用函数的奇偶性与单调性导入已知的区间，再求出结果.8.设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.若f(1)＝2，则f(99)等于

A、13

B、2

C、

D、参考答案：C9.函数的图象大致是（

）

参考答案：A试题分析：当时，，得或，因此函数图象与轴正半轴的交点有2个，当，，因此图象在轴下方，故符合图象为A考点：函数的图象10.已知复数（是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且，则A.

B.

C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大者的边长为

．参考答案：和12.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为的鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且，，则该鳖臑外接球的表面积为_________．参考答案：9π【分析】根据鳖臑的体积可求出,由勾股定理可求出,确定外接球球心为中点，即可得到球半径，求出球的表面积.【详解】如图，鳖臑四个面都是直角三角形，且平面，所以，故,所以,由知,即，在直角三角形中斜边上的中点到各顶点距离相等，可知AD中点O到A，B，C，D的距离相等,所以鳖臑外接球的球心为,半径，球的表面积,故答案为：【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的半径，球的表面积，棱锥的体积，属于中档题.13.若，定义由右框图表示的运算（函数是函数的反函数），若输入时，输出，则输入时，输出．参考答案：14.设Sn是等比数列{an}的前n项的和，若a3+2a6=0，则的值是

．参考答案：2【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由已知利用等比数列的通项公式可求q3，然后利用等比数列的求和公式化简==，代入即可求解．【解答】解：∵a3+2a6=0，∴=﹣，即q3=﹣，∴====2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．15.已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若，则

．参考答案：16.已知函数若，则实数＝

.参考答案：2

略17.不等式的解集是

．参考答案：或略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+an=4，n∈N*（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知cn=2n+3（n∈N*），记dn=cn+logCan（C＞0，C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{dn}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{bn}，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列{bn}是等差数列．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】转化思想；作差法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1”即可得出；（2）dn=cn+logCan=2n+3+logC22﹣n=（2﹣logC2）n+3+2logC2，假设存在这样的常数C，使得数列{dn}是常数列，则2﹣logC2=0，解得C即可；（3）由于对于任意的正整数n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（）n﹣成立（*），b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1=（）n+1﹣．（*）两边同乘以可得：b1an+1+b2an+…+bna2=（）n+1﹣．两式相减可得可得bn+1=，即bn=，（n≥3）．n=1，2也成立，即可证明．【解答】解：（1）∵Sn+an=4，n∈N*．∴当n≥2时，Sn﹣1+an﹣1=4，∴an+an﹣an﹣1=0，即an=an﹣1．当n=1时，2a1=4，解得a1=2．∴数列{an}是等比数列，an=2?（）n﹣1=22﹣n．（2）dn=cn+logCan=2n+3+logC22﹣n=2n+3+（2﹣n）logC2=（2﹣logC2）n+3+2logC2，假设存在这样的常数C，使得数列{dn}是常数列，则2﹣logC2=0，解得C=．∴存在这样的常数C=，使得数列{dn}是常数列，dn=3+2=7．（3）证明：∵对于任意的正整数n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（）n﹣成立（*），∴b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1=（）n+1﹣．①（*）两边同乘以可得：b1an+1+b2an+…+bna2=（）n+1﹣．②．①﹣②可得bn+1a1=﹣=，∴bn+1=，∴bn=，（n≥3）．又2b1=﹣，解得b1=﹣．b1a2+b2a1=﹣，∴﹣×1+b2×2=﹣，解得b2=﹣．当n=1，2时，bn=，也适合．∴bn=，（n∈N*）是等差数列．【点评】本题考查an=，将给的和项混合式转化为项与项之间或和与和之间的关系式，然后再求通项或和的公式是一种常考模式，注意灵活地运用“错位相减法”的解题策略．19.（本小题满分12分）某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：

（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；

（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；

（3）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望.参考答案：解析：(Ⅰ)每个学生有四个不同选择，根据乘法法则，选法总数N=

……3分

(Ⅱ)恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为

………………7分(Ⅲ)设A选修课被这3名学生选择的人数为，则＝0,1,2,3P(＝0)＝P(＝1)＝P(＝2)＝P(＝3)＝

………………9分0123P的分布列是

…………10分

…………12分

略20.（12分）设函数.(Ⅰ)用a表示;(Ⅱ)若的图象有两条与y轴垂直的切线,求实数a的取值范围;(Ⅲ)当a=2时,求在[0,3]上的最大值和最小值.参考答案：解析：21.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m．（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3；（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q垂直于AP，并证明你的结论．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】解法一：（1）如图：连AC，设AC∩BD=O，．利用线面平行的性质可得：OG∥PC．利用三角形中位线定理及其线面垂直的判定可得：AO⊥平面BDD1B1，可得线面角，利用直角三角形的边角关系即可得出．（Ⅱ）依题意，要在A1C1上找一点Q，使得D1Q⊥AP．只需D1Q⊥平面ACC1A1，设A1C1∩B1D1=O1，可推测A1C1的中点即为所求的Q点再利用线面垂直的判定与性质定理即可．解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用法向量的性质、线面垂直的判定与性质定理、向量夹角公式即可得出．（2）若在上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，依题意，对任意的m要使D1Q⊥AP，利用=0，解出x即可得出．【解答】解法一：（1）如图：连AC，设AC∩BD=O，．…，故OG∥PC．所以．又…故．…在Rt△AOG中，tan∠AGO===3，即．故当时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3．…（Ⅱ）依题意，要在A1C1上找一点Q，使得D1Q⊥AP．只需D1Q⊥平面ACC1A1，…设A1C1∩B1D1=O1，可推测A1C1的中点即为所求的Q点．…因为．，所以D1O1⊥平面ACC1A1，即D1Q⊥平面ACC1A1，…又AP?平面ACC1A1，故D1O1⊥AP．即D1Q⊥AP．…解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，…则A（1，0，0），B（1，1，0），P（0，1，m），C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1）．所以=（﹣1，﹣1，0），=（0，0，1），═（﹣1，1，m），=（﹣1，1，0），…又由的一个法向量．…设AP与所成的角为θ，则…依题意有：，解得．…故当时，直线．…（2）若在上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，…则．…依题意，对任意的m要使D1Q⊥AP，=﹣x+（1﹣x）+0=0，解得x=．…即C为D的中点时，满足题设的要求．…22.设函数f（x）=|1﹣2x|﹣3|x+1|，f（x）的最大值为M，正数a，b满足+=Mab．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）是否存在a，b，使得a6+b6=？并说明理由．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；基本不等式在最值问题中的应用．【专题】分类讨论；反证法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）直接采用零点分段法确定函数的最值；（2）先假设存在，再两次运用基本不等式得出≤和≥相互矛盾，所以假设不成立．【解答】解：（1）分三类讨论如下：①当x＜﹣1时，f（x）=x+4，单调递增，f（x）＜3；②当﹣1