湖南省株洲市富里中学高三数学理联考试卷含解析

湖南省株洲市富里中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.平面⊥平面，，与两平面所成的角分别为和，过分别作两平面交线的垂线，垂足为，则＝（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C2.在复平面内，复数(是虚数单位）对应的点位于（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：A略3.函数的定义域为（

）A．(0,3)

B．(1,+∞)

C．(1,3)

D．[1,3)参考答案：D4.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n

④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④参考答案：A【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．【解答】解：对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，又因为m⊥α，l?α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①和②故选：A5.下列函数中,既是奇函数又是增函数的是（

）

参考答案：C略6.设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的图象一部分可以是(

)A. B.C. D.参考答案：A分析：求出函数的导数，得到切线的斜率的函数的解析式，然后判断函数的图象即可．详解：由可得：

即，

函数是奇函数，排除选项B，D；

当时，，排除选项C．

故选：A．点睛：本题考查函数的导数的应用，函数的图象的判断，是基本知识的考查．7.下列命题错误的是(

)A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．若为假命题，则、均为假命题

C．命题：存在,使得，则：任意,都有

D．“”是“”的充分不必要条件参考答案：B8.设集合A={1，2，3}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B=（）A．{1} B．{1，2} C．{1，3} D．{1，2，3}参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，∴A∩B={1，3}，故选：C．【点评】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．9.已知集合，，则A∩B=（

）A．{3} B．{1,2}

C．{2,3} D．{1,2,3}参考答案：D由题意，集合，，所以，故选D.10.函数的最大值是（▲）

A．8

B．7

C．6.5

D．5.5参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点是直线上一动点，PA，PB是圆的两条切线，A，B为切点，若弦AB的长的最小值为，则k的值为

．参考答案：圆的圆心，半径是，如图所示，根据圆的性质知，当取得最小值时，取得最小值，即有，此时圆心到直线的距离就是的最小值，故答案为.

12.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，△ABC面积的最大值为

．参考答案：由题意可知，，得，由余弦定理，由基本不等式，从而 面积的最大值为，当且仅当时取到最大值.

13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若△ABC的面积，则ab的最小值为

．参考答案：48，由余弦定理得，整理得，，则由余弦定理可得：，，当且仅当时，等号成立，ab的最小值为48.

14.已知点在上的射影为点，则的最大值为

.参考答案：略15.函数的定义域是

__________

参考答案：16.已知公差为零的等差数列的前n项和为则等于

.参考答案：4由得，即。所以，所以。17.已知函数f'（x）、g'（x）分别是二次函数f（x）和三次函数g（x）的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示：①若f（1）=1，则f（﹣1）=；②设函数h（x）=f（x）﹣g（x），则h（﹣1），h（0），h（1）的大小关系为．（用“＜”连接）参考答案：1；h（0）＜h（1）＜h（﹣1）。【考点】利用导数研究函数的单调性．

【专题】计算题．【分析】①先结合函数图形求出f'（x）与g'（x）的解析式，然后求出原函数，根据f（1）=1，可求出f（﹣1）的值；②求出函数h（x）=f（x）﹣g（x）的解析式，然后将﹣1，0，1代入比较即可求出h（﹣1），h（0），h（1）的大小关系．【解答】解：根据函数f'（x）、g'（x）分别是二次函数f（x）和三次函数g（x）的导函数结合图象可知f'（x）=x、g'（x）=x2；则f（x）=x2+C，g（x）=x3+C'，①∵f（1）=1∴C=则f（x）=x2+，∴f（﹣1）=1②h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣x3+C﹣C'记C﹣C'=m为常数则h（﹣1）=+m，h（0）=m，h（1）=+m∴h（0）＜h（1）＜h（﹣1）故答案为：1，h（0）＜h（1）＜h（﹣1）【点评】本题主要考查了利用图形求解析式，以及根据导函数求原函数等知识，同时考查了比较函数值大小，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.数列{an}的各项均为正数，且an+1=an+﹣1（n∈N*），{an}的前n项和是Sn．（Ⅰ）若{an}是递增数列，求a1的取值范围；（Ⅱ）若a1＞2，且对任意n∈N*，都有Sn≥na1﹣（n﹣1），证明：Sn＜2n+1．参考答案：【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（I）由a2＞a1＞0?﹣1＞a1＞0，解得0＜a1＜2．又a3＞a2＞0，?＞a2，?0＜a2＜2?﹣1＜2，解得1＜a1＜2．可得：1＜a1＜2．下面利用数学归纳法证明：当1＜a1＜2时，?n∈N*，1＜an＜2成立即可．于是an+1﹣an=﹣1＞0，即an+1＞an，满足{an}是递增数列，即可得出a1的取值范围．（II）a1＞2，可用数学归纳法证明：an＞2对?n∈N*都成立．于是：an+1﹣an=﹣1＜2，即数列{an}是递减数列．在Sn≥na1﹣（n﹣1）中，令n=2，可得：2a1+﹣1=S2≥2a1﹣，解得a1≤3，因此2＜a1≤3．下证：（1）当时，Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立．事实上，当时，由an=a1+（an﹣a1）≥a1+（2﹣）=．累加求和即可证明．再证明：（2）时不合题意．事实上，当时，设an=bn+2，可得≤1．由an+1=an+﹣1（n∈N*），可得：bn+1=bn+﹣1，可得=≤≤．于是数列{bn}的前n和Tn≤3．故Sn=2n+Tn＜2n+3=na1+（2﹣a1）n+3，令a1=+t（t＞0），可得：Sn＜na1﹣．这与Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立矛盾．【解答】（I）解：由a2＞a1＞0?﹣1＞a1＞0，解得0＜a1＜2，①．又a3＞a2＞0，?＞a2，?0＜a2＜2?﹣1＜2，解得1＜a1＜2，②．由①②可得：1＜a1＜2．下面利用数学归纳法证明：当1＜a1＜2时，?n∈N*，1＜an＜2成立．（1）当n=1时，1＜a1＜2成立．（2）假设当n=k∈N*时，1＜an＜2成立．则当n=k+1时，ak+1=ak+﹣1∈?（1，2），即n=k+1时，不等式成立．综上（1）（2）可得：?n∈N*，1＜an＜2成立．于是an+1﹣an=﹣1＞0，即an+1＞an，∴{an}是递增数列，a1的取值范围是（1，2）．（II）证明：∵a1＞2，可用数学归纳法证明：an＞2对?n∈N*都成立．于是：an+1﹣an=﹣1＜2，即数列{an}是递减数列．在Sn≥na1﹣（n﹣1）中，令n=2，可得：2a1+﹣1=S2≥2a1﹣，解得a1≤3，因此2＜a1≤3．下证：（1）当时，Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立．事实上，当时，由an=a1+（an﹣a1）≥a1+（2﹣）=．于是Sn=a1+a2+…+an≥a1+（n﹣1）=na1﹣．再证明：（2）时不合题意．事实上，当时，设an=bn+2，可得≤1．由an+1=an+﹣1（n∈N*），可得：bn+1=bn+﹣1，可得=≤≤．于是数列{bn}的前n和Tn≤＜3b1≤3．故Sn=2n+Tn＜2n+3=na1+（2﹣a1）n+3，③．令a1=+t（t＞0），由③可得：Sn＜na1+（2﹣a1）n+3=na1﹣﹣tn+．只要n充分大，可得：Sn＜na1﹣．这与Sn≥na1﹣（n﹣1）恒成立矛盾．∴时不合题意．综上（1）（2）可得：，于是可得=≤≤．（由可得：）．故数列{bn}的前n项和Tn≤＜b1＜1，∴Sn=2n+Tn＜2n+1．19.（本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图,已知四边形内接于,且是的直径,过点的的切线与的延长线交于点.（I）若，，求的长；（II）若，求的大小.参考答案：(Ⅰ)因为MD为的切线,由切割线定理知,MD2=MAMB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB,

所以MA=3，AB=12－3=9.

………5分（Ⅱ）因为AM=AD，所以∠AMD=∠ADM,连接DB，又MD为的切线,由弦切角定理知,∠ADM=∠ABD，

又因为AB是的直径,所以∠ADB为直角，即∠BAD=90°-∠ABD.

又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD,于是90°-∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30°,所以∠BAD=60°.又四边形ABCD是圆内接四边形,所以∠BAD+∠DCB=180°,所以∠DCB=120°

………………10分20.已知函数.（I）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在定义域内存在零点，求的最大值；（Ⅲ）若，当时，不等式恒成立，求的取随范围．参考答案：（I）（1）当，增区间为（2）当，增区间为，减区间为（Ⅱ）函数的定义域为，由得设，则函数在单调递减，在单调递增故的最大值为（Ⅲ）由（I）得，当时，在递增，则故对，则故对分析可知：要证只需证即证即证构造函数，则故函数在递增，故1

当，由（I）可知在递增，则在恒成立；2

当，由（I）可知在递增，在递减ⅰ当，在递增，符合题意；ⅱ当由（I）可知在递增，在递减当时，由得，不合题意综合得：

略21.（本小题满分12分）将编号为1，2，3，4的四张同样材质的卡片，随机放入编码分别为1，2，3，4的四个小盒中，每盒仅放一张卡片，若第号卡片恰好落入第号小盒中，则称其为一个匹对，用表示匹对的个数.（Ⅰ）求第2号卡片恰好落入第2号小盒内的概率;（Ⅱ）求匹对数的分布列和数学期望.参考答案：解：（I）解：（1）设为“第2张卡片恰好落入第2号卡片”，则

…………4分（II）的可能取值为0，1，2，4，，，…8分∴的分布列为：0124∴

…………12分

22.选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极