2020-2021学年广州市番禺区高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年广州市番禺区高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知a>0,若不等式-a|+3%W0的解集为W-1},则。的值为（）

A.；B.1C.2D.|

22

2.命题“VX6/?,若%>1,则X>0”的否命题是（）

A.V%eR,若％<1,则％<0B.BxE.R,若x<1,则％<0

C.V%6/?,若％>1,则％<0D.3xG/?,若%>1,贝氏<0

3.等差数列0中，已知前15项的和叵1,则冈等于（）

A.0B.12C.0D.6

4.设则“（x+l）（x—2）>0”是“国7俨的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.一名小学生的年龄和身高（单位：CM）的数据如下：

年龄X6789

身高y118126136144

由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归直线方程为歹=8.8%+8,预测该学生10岁时的

身高为（）

参考公式：回归直线方程是：y=bx+a,a=y-bx-

A.154B.153C.152D.151

6.在三棱锥P—ABC中，PA_L平面ABC,PA=AB=BC=AC,M是PC上一点，CM=2MP,则

直线BM与平面ABC所成角的正切值为（）

A.晅B.五C.|D.3

723

x—2

7.已知平面区域4={（%y）|y42],D2={（xfy）\kx-y+2<0,fc>0},在区域区内随机

-y<0

选取一点M,且点M恰好在区域。2上的概率为P，若0<pW：,则k的取值范围为（）

4

1

A.k>2B.0</c<1C.k>lD.0<fc<-

22

8.已知椭圆与双曲线竟-?=1的焦点相同，且短轴长为6,则此椭圆的方程为（）

寸2..2寸2,,2-,2-.2

A.L+y2=iB./+匕=1C.二+匕=1D.二+匕=1

575259925

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.已知抛物线C：丫2=8%的焦点产，圆加：（％—2y+y2=%过9的直线（与抛物线c和圆M从上

到下依次交于4P，Q，B四点，则下列结论正确的是（）

A.点4与点B的横坐标之积为定值

B.|4B|的最小值为10

C.|4P|+4|BQ|的最小值为13

D.以线段4B为直径的圆与抛物线C的准线相切

10.下列说法正确的是（）

A.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位数是6

B.已知一组数据2,3,5,%,8的平均数为5,则这组数据的方差是5.2

C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大

D.若X],x2>...»Xio的标准差为2，则3刀1+1,3%2+1>■-->3xio+1的标准差是6

11.设正实数a,b满足a+6=1,则下列选项中，正确的有（）

A.7ab<5B.^+-<4C,y[a+y[b<V2D.a2+b2>-

12.在矩形28CD中，AB=1,AD=2,△ABD沿对角线BD翻折，形成三棱锥4一BCD下列判断正

确的是（）

A.UAC=V3W是“AB1CD”的充分条件

B.aAC=V3"是"AB1CD”的必要条件

c.当AC=百时，三棱锥a-的体积为逐

6

D.三棱锥人-BC。外接球的表面积不是定值

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

x—y<0,

13.已知％,y满足约束条件工之0,贝！Jz=%+y的最大值为.

y<2

14.在正项等比数列｛a九｝中，a3=1,a7=9,则的=.

15.在空间直角坐标系中，点(H1，缸写关于第’轴的对称点是:獭苒-瀚:，则点P：E%鼠磁到坐标原

点。的距离|阖榜|=.

16.双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离等于半实轴长，则双曲线的离心率为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知圆C：%2+y2=r2,直线/：ax+by=r2,分别根据下列条件，判断直线Z与圆C具有怎样

的位置关系：

(1)点P(a,b)在圆C上;

(2)点P(a,b)在圆C外.

18.已知等比数列｛&J和等差数列｛,｝均是首项为2,各项为正数的数列，且多=4a2,a2b3=6.

(I)求数列｛厮｝、｛%｝的通项公式；

1

(H)求数歹K7一｝的前几项和SnOGN*);

DnDn+l

(HI)求使a如<0.001成立的正整数n的最小值.

19.已知函数/(%)=4/—4ax+(a2—2a+2).

(1)若a=1,求/(x)在闭区间［0,2］上的值域；

(2)若/Q)在闭区间［0,2］上有最小值3,求实数a的值.

20.如图，四棱锥P—4BCD中，P4_L平面4BCD,四边形4BCD为直角梯形，AD1DC,DC//AB,

PA=AB=2,AD=DC1.

(1)求证：PC1BC；

(2)E为PB中点，F为BC中点，求四棱锥。—EFCP的体积.

B

21.为了参加数学选拔赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前

模拟测试，成绩（单位：分）记录如下：

理科：79,80,81,79,94,92,85,90

文科：94,80,90,81,73,84,90,80

（1）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测

试中发挥更好；

（2）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出2人进行培训，求抽出的2人中至少有1名理科组同学的概

率.

22.（本题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（-3,巾）到焦点的距

离为5,求抛物线的方程和小的值.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：

本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题，关键是由已知条件知x<0,从而解绝对值不等式即可.

解：由题意可得-a\<一3%的解集为<-1}.

而由-a|<-3%,可得3%<x-a<-3%,求得％<-p

a_

；•-5=—41,a=2,

故选：C.

2.答案：A

解析：解：否命题的条件做条件，否命题的结论做结论的命题是原命题的否命题，

“vxeR,若％>1,贝阮>0"

的否命题为：VxGR,若久W1,则xW0,

故选：A.

根据命题的否命题的规则进行求解，就是否定条件做条件，否定结论做结论的命题；

本题主要考查命题的否命题的法则，是一道基础题，注意区别否命题与命题的否定的区别.

3.答案：D

解析：试题分析：由等差数列的前n项和公式得国，所以凶，又凶，所以选D

考点：等差数列的前n项和公式

4.答案：A

解析：解：由(％+1)(%-2)>0得x>2或％<-1,

由|x|>1得久>1或x<-1,

则“Q+i)(x-2)>o”是“田>r的充分不必要条件，

故选：A.

根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键.比较基础.

5.答案：B

解析：

先计算样本中心点，进而可求线性回归方程，由此可预测该学生10岁时的身高.

本题考查回归分析的运用，考查学生的计算能力，确定线性回归直线方程是关键.

118+126+136+144

解：由题意，八千=7.5,y-----------=131

4

代入线性回归直线方程为夕=8.8%+可得131=8.8X7.5+%,・,*=65

.Jy=8.8%+65

••・x=10时，丁=8,8X10+65=153

故选B.

6.答案：A

解析：解：设PA=3,过点M作MN〃尸4交4C于点N,连接BN,

…一,…MNCNCM2

-MN//PA,—=—=—=

xL*iO

•••MN=2,CN=2,AN=1,

在4ABN中，BN=yjAN2+AB2-2AN-AB-cos^NAB=

Jl2+32-2xlx3x|=V7,

•••PA_L平面ABC,MN//PA,MN_L平面ABC,

AMBN是直线BM与平面ABC所成角，

MN22V7

••・tan乙MBN=—=-p=——.

BN^77

故直线BM与平面ABC所成角的正切值为处.

7

故选：A.

设PA=3,过点M作MN〃P4交AC于点N,连接BN,推导出是直线与平面ABC所成角,

由此能求出直线BM与平面4BC所成角的正切值.

本题考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运

算求解能力，是中档题.

7.答案：B

解析：解：依题意可在平面直角坐标系中作出集合久所表示的平面区域是三角形与4所表示的平面

区域是阴影部分的三角形（如图），

由图可知01=|x4x4=8,

由于0<p4热啥

所以0<。2w2.由于直线恒过点(0,2),

所以直线依-y+2=0与直线x=-2的交点在(—2,2)与(—2,0)之间，

则kx—y+2<0的斜率k>0的取值范围是：(0,1].

故选B

本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出。1、对应面积的大小，然后将其代入几何概

型的计算公式进行求解.在解题过程中，注意三角形面积的应用.

本题考查的知识点是二元一次不等式(组)与平面区域、几何概型的意义，关键是要找出。对应面积的

大小，并将其面积代入几何概型计算公式进行求解.几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，

可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关.

8.答案：C

解析：

本题考查椭圆、双曲线的标准方程，注意先求出双曲线的焦点坐标.

根据题意，由双曲线的标准方程求出双曲线的焦点坐标，分析可得椭圆的焦点在x轴上，且c=4,

又由椭圆的短轴长可得b的值，由椭圆的几何性质计算可得a的值，将a、b的值代入椭圆方程即可得

答案.

22

解：根据题意，双曲线上—匕=1的焦点为(±4,0),

124

又由椭圆与双曲线的焦点相同，则椭圆的焦点在%轴上，且c=4,

又由椭圆的短轴长为6,则b=3,

则小=b2+c2=25,

故椭圆的方程为：三+匕=1.

259

故选C.

9.答案：AD

解析：解：抛物线C：V=8x的焦点?(2,0),准线方程为久=-2,

设为)，3(久2，、2)，直线，的方程为X=my+2,

与抛物线的方程联立，可得y2-8my-16=0,

可得丫1+火=8m,乃力=一16，

则/七=丝"=竺*=4,故A正确；

2

\AB\=%1+冷+4=m®+y2)+8=8m+8>8,当7n=0时，|AB|取得最小值8,故B错误；

由|4P|+4\BQ\=\AF\-\PF\+4(|BF|-|FQ|)=\AF\+4|BF|-\PF\-4\QF\=/+2+4(x2+

2)-i-2

J2

=+4x2+y>2j4%i%2+y=日当且仅当％i=2%2，取得等号，

即有|4P|+4|BQ|的最小值为弓，故C错误；

由|4B|=8+8爪2,AB的中点的横坐标为生署=匕手=2+462,

可得4B的中点到准线的距离为2+4血2+2=4+4巾2=/43|,

则以线段4B为直径的圆与抛物线C的准线相切，故D正确.

故选：AD.

由联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，可判断4由弦长公式，求得最小值，可判断B；

由抛物线的定义和基本不等式求得最小值，可判断C；由线段的中点坐标和弦长公式，结合直线和圆

的位置关系，可判断D.

本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力、

推理能力，属于中档题.

10.答案：BD

解析:解：，10X60%=6,

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位数为第六位和第七位的平均数，即等=6.5,故

A选项错误，

•••数据2,3,5,x,8的平均数为5,

，2+3+5+%+8=5x5,即％=7,

・•.数据2,3,5,7,8的方差是=故2选项正确，

用分层随机抽样时，每层的个体被抽到的概率相同，故C选项错误，

,%2，…，*10的标准差为2，方差为4,

.­-3%1+1,3X2+1,3久io+1的方差为32x4=36,即标准差为6,故。选项正确.

故选：BD.

根据已知条件，结合百分位数的概念，即可判断4选项，利用平均数和方差的公式，即可判断B选项，

结合分层抽样的概念，即可判断C选项，运用随机变量函数线性方差公式，即可判断。选项.

本题考查了分层抽样的概念，以及平均数与方差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.

11.答案：ACD

解析:

本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及

思维能力，属于一般题.

直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断4B、C、。的结论.

解：对于2：由于正实数a,b满足a+b=1,则a+b22V^，所以当且仅当a=b=号时

等号成立，故A正确；

对于B：工+工=（a+b）©+工）=2+^+222+2陌=4,当且仅当士=，即a=b=：时等号成

立，故2错误；

对于C：若论+伤<&，则a+b+2VHF<2,由于a+b=l,所以而三|,由4可知正确，故C

正确；

对于D：由于2（a2+炉）2（a+b）2,所以a2+b22|,当且仅当a=b=之时等号成立，故。正确；

故选：ACD.

12.答案：ABC

解析：解：若AC=陋,在A4BC中，AB=1,BC=2,

可得筋+心=心，即2BJ.4C,

XABLAD,ACCtAD=A,则AB1平面4CD,

而CDu平面ACD,贝!MB_LCD；

若AB_LC。，由ABJ.A。，ADC\CD=D,

则4B1平面ACD,ACu平面ACD,可得4B1AC,

而4B=1,BC=2,可得2占=-4-1=百,

故A、8都正确；

当4。=百，可得AaCD为C为直角顶点的直角三角形，

可得匕-BCD=VB-ACD=|xlxixlxV3=^故C正确；

取BD的中点。，连接04,0C,由AABD和ABCD均以BD为斜边的直角三角形，

可得。4=OB=0C=0D=-BD=—.

22

可得。为三棱锥a-BCD的球心，贝口球=4TTR2=47r吗2=5兀，故。错误.

故选：ABC.

考虑4C=g,由勾股定理的逆定理和线面垂直的判定和性质，推得4B1CD；

再由48，。。，结合线面垂直的判定和性质，推得48，AC,再由勾股定理可得AC=百，即可判定

A,B；

再由三棱锥的体积公式，计算可判断C；

取BD的中点0,由等腰三角形的性质可得。为三棱锥的外接球的球心，求得球的半径R,由球的表面

积公式计算可判断D.

本题考查命题的真假判断，主要是空间线线的位置关系和棱锥的体积、棱锥的外接球的表面积求法，

考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.

13.答案：4

(x-y<0,

解析：解：由x,y满足约束条件卜20,作出可行域如图，

ly<2

联立3二;解得4(2,2).

由图可知，使目标函数z=x+y取得最大值最大值的最优解为

点4的坐标，

・•・z=%+y的最大值为：4.

故答案为：4.-5

由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数z=x+y的最优解，代入坐标求得2=%+、的最

小值.

本题考查了简单的线性规划，体现了数形结合的解题思想方法，解答的关键是正确作出可行域，是

中档题.

14.答案：3

解析：解:在正项等比数列｛即｝中，an>0,

,•*CI3=1,=9,

•••al=a3a7=1x9=9,

则=3,

故答案为：3

根据等比数列的性质进行求解即可.

本题主要考查等比数列通项公式的应用，利用等比数列的性质是解决本题的关键.

15.答案：麻

解析：试题分析：两点关于y轴对称，则两点的横坐标，竖坐标互为相反数，纵坐标相同，所以由点

（T哉题关于裁轴的对称点是:询「廿一期可得做=通盘=成冲印:二勒姆；甩吸，「帆|=0

考点：空间点对称的位置关系及空间两点间距离

点评：点值阪熄关于X的对称点值3，关于y轴的对称点绳勒;f3，关于z轴的对称点

《一绳-4城，若域吗叶痂两次；.蹴寓>；痴邈）则空间H谶两点间的距离公式为

碳=43-漏雪,地蒯一离f土值一遇?’容易题

16.答案:V2

解析：解：根据题意，假设双曲线的焦点在%轴上，且其方程为：m-旨=1,

a2bz

有c=Va2+b2y

其焦点坐标为（土Va2+炉,0）,渐近线方程y=±£x,SPbx+ay=0

焦点到渐近线的距离d=\/az+bz=b,

又由该双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则有a=b,

则c=yja2+b2=V2a,

则该双曲线的离心率e=：=鱼，

故答案为：V2.

根据题意，假设双曲线的焦点在X轴上，设出方程，由标准方程可得其焦点坐标以及渐近线方程，进

而由点到直线距离公式可得焦点到渐近线的距离d=b,结合题意可得a=b,由双曲线的性质，进

而由离心率公式可得答案.

本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的焦点到渐近线的距离.

2

17.答案：解：圆心C到直线/的距离d=W由，

(1)因为点P(a,b)在圆C上，所以可得a?+b2=r2,

所以圆心C到直线/的距离&=r,所以直线/与圆相切；

(2)因为点P(a,b)在圆C外,所以口2+炉>「2,

所以圆心C到直线/的距离d<r,

所以直线I与圆相交.

解析：求出圆心C到直线I的距离d的表达式，再由P在圆上，圆外求出a,b与r的关系，进而求出d与

r的关系，判断出直线Z与圆的位置关系.

本题考查判断直线与圆的位置关系的方法，属于中档题.

18.答案：解：(1)设｛曲｝的公比为4,｛匕｝的公差为d,d>0.

vb2=4a2,a2b3=6.二2+d=4X2q,2qX(2+2d)=6,

解得d=2,q=|.

n-2

5=2XC)nT=(|),bn=2+2(n-1)=2n.

,i_i___5_、

f

(bnbn+12n(2n+2)4mn+V

_11.11..11x_11X_n

Sc=-(1-----1---------F…H-----------)=-f1-------)=-----，

n714v223nn+174'n+174n+4

(川)由(I"导死n=a2n=(｝2n-2,

vabn<0,001,

即(｝2n-2<0,001,

22n-2>1000,

••・2n-2>10,

即九>6,

.•・满足题意的正整数律的最小值为6.

解析：(I)利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出.

(H)利用裂项求和即可求出.

(川)由(1)得a3uaznuG)2n-2,利用与n<0.001,化简即可得出.

本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中

档题.

19.答案：解：(D/Q)=4/—4久+1=4(%—|)2,

%=1时，取得最小值0,%=2时，取得最大值9,

f。)在闭区间［0,2］上的值域为［0,9］；

(2)/(%)=4。—柒2+2—2a,

2

①当/<0即a<0时，f(x)min=f(0)=a—2a+2=3,解得：a=1—四或a=1+四(舍)；

@0<^<2即0<a<4时，=(©)=2—2a=3,解得：a=-“舍);

2

③;>2即a>4时，f(x)min=/(2)=a-10a+18=3,解得：a=5+国或a=5-g(舍).

综上可知：a的值为1-式或5+VTU.

解析：本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查分类讨论的思想方法

和运算能力，属于中档题.

(1)求出函数的对称轴，讨论对称轴和区间的关系，即可得到值域；

(2)将/Q)配方，求得对称轴，讨论区间和对称轴的关系，运用单调性，可得最小值，解方程可得a的

值.

20.答案：(1)证明：如图所示，

•••PA1平面4BCD,BCu平面ABCD,

PA1BC,D,,、5

连接AC,•••4。=CD,AD1CD,/J-'^

AC=V2,----------------------—

由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2-2AC-ABcos45°=2,

BC=V2,又AB=2,

AB2=AC2+BC2,

BC1AC,

：.BCJ_平面PAC,又PCu平面PAC,

PC1BC.

(2)解：S四边形PEFC=^SAPBC，

解析：(1)如图所示，利用线面垂直的性质定理可得：PA1BC,由2炉=AC2+8c2,可得BC1AC,

再利用线面垂直的判定定理即可证明.

Q)由于S四边形PEFC=04PBC，可得力-PEFC==[%-BCD=]XX