奥数讲义-第3讲三角形-二四制教师版

第3讲

三角形

0

1.内角和外角的性质~

①三角形的三个内角和为180。三角形的任何一个外角等于

三角形的任何一个外角大于

②三角形的外角和为__________

2.三边关系：「

两点之间的线段最短4三角形任意两边之和_________

L三角形任意两边之差_________

3.边角关系：

①等边对等角对②大边对大角对J

4.三角形的中位线

定理：三角形的中位线_________________________________________

5.三角形的五心

①内心是线的交点，到的距离相等

②外心是线的交点，到的距离相等

③重心是线的交点，重心分中线的比例为（证明？）

④垂心是线的交点.

⑤旁心是三角形两个外角的平分线与第三个内角的平分线的交点，到的距离相等.

6.三角形的分类

「_________三角形「不等边三角形

①按角分，_________三角形②按边分J，腰与底不等的等腰三角形

I三角形I等腰三角形।

7.特殊三角形：

⑴等腰三角形r性质：；；。

判定：；；

A

⑵等边三角形1性质：三边；三个角.

一判定：；；0

⑶直角三角形《性质：两锐角;边;斜边中线

8.全等三角形

①全等三角形的性质：O

②全等三角形的判定定理：O

③角平分线定理：互逆定理＞

9婀图一学习改变命运2009寒假

④线段垂直平分线定理：互逆定理＞=

9.相似三角形

⑴相似三角形的性质»

⑵相似三角形的判定定理o

⑶相似三角形中的基本图形：

平行型：A型，如图⑴；X型，如图⑵

①交错型：如图⑶，⑷，(5)

②旋转型：如图⑹

④母子三角形：如图⑺

基本要求略高要求较高要求

了解三角形的有关概念；了解三角形会用尺规法作给定条件的三角形；会运

的稳定性；会正确对三角形进行分用三角形内角和定理及推论；会按要求

类：理解三角形的内角和、外角和及解三角形的边、角的计算问题；能根据

三角形三边关系；会画三角形的主要线段；实际问题合理使用三角形的内心、外心

了解三角形的内心、外心、重心的知识解决问题；会证明三角形的中位

线定理，并会应用三角形中位线性质解

决有关问题

了解等腰三角形、等边三角形、直角能用等腰三角形、等边三角形、直角三会运用等腰三角形、等边三

特殊三角三角形的概念，会识别这三个图形；角形的性质和判定解决简单问题角形、直角三角形的知识解

形理解等腰三角形、等边三角形、直角决有关问题

三角形的性质和判定

相似三角了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简会利用相似三角形的知识解

形单的推理和计算决一些实际问题

了解全等三角形的概念，了解相似三掌握两个三角形全等的条件和性质；会会利用全等三角形的知识解

全等三角角形与全等三角形之间的关系应用全等三角形的性质与判定解决有关释或证明经过图形变换后得

形问题到的图形与原图形元素间的

关系

28|初二第三讲二四制I

1.（2008福州）已知三角形的两边长分别为4c机和951，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）

A.13cmB.6cmC.5cmD.4cm

【解析】B

4.（2008山东泰安）直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将AABC如图那样折叠，使点A与

点B重合,折痕为OE,则tanZCBE的值是（）

24币

A.--15.---

73

C.ZD.支

247

【解析】C

5.（2008山东滨州）如图，C为线段AE上一动点（不与点A,

E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形

CDE、AD与BE交于点,0,AD与BC交于点P,BE与

CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论：①AD=BE;

@PQ//AEi®AP=BQ；④DE=DP;（§）ZAOB=60°.

恒成立的结论有（把你认为正

确的序号都填上）。

【解析】1,2,3,5

6.（2007湖北罗田）如图，AABC中，D、E是8c边上的点，BD：DE：EC=3：2：1,时在AC边

上，CM：MA=1：2,BM交AD、AE于H、G,则

等于（）

A.3：2：lB.5：3：lC.25：12：5D.51：24：10

【解析】D

一、特殊三角形及全等三角形

H学习改变命运2009寒假

【例1】(2008浙江杭州)如图，在等腰AABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合

的任意一点，连结AP交BC于点E,连结交AC于点/。

(1)证明：ZCAE=ZCBF；

⑵证明：AE=BF;

⑶以线段；AE,斯和AB为边构成一个新的三角形A8G(点E与点尸

ABG

重合于点G),记AABC和AABG的面积分别为5AAsc和&，如果

存在点P,能使％^=之而，求NC的取值范围。

【解析】⑴：AA8C等腰三角形，CH是底边上的高线,

AC=BC,ZACP=ZBCP,

又CP=CP,：.\ACPg\BCP,

:.NCAP=NCBP,即NCAE=NCB尸；3分

(2),/ZACE=NBCF,ZCAE=ZCBF,AC=BC,

AACEgNBCF,:.AE=BF;3分

BC

(3)由⑵知AABG是以AB为底边的等腰三角形，5AA=S凶8G等价于AE=AC,

①当NC为直角或钝角时，在AACE中，不论点P在CH何处，均有AE>AC,所以结论不

成立；

②当NC为锐角时，NA=90°-」NC,而NGC<4，要使AE=AC,只需使NC=NCEA,

2

此时，ZCAE=180°-2ZC>0,

只须180。一2ZC<90°--ZC,解得60。</(7<90。.一4分

2

(也可在ACEA中通过比较NC和ZCEA的大小而得到结论)

【例2】(2008广东)

(1)如图，点。是线段AD的中点，分别以A。和。。为边在线段AD的同侧作等边三角形0AB和

等边三角形OCD,连结AC和3D,相交于点E,连结8c.

求/4£B的大小；

(2)如图，AOAB固定不动，保持AOC。的形状和大小不变，将AOCD绕着点。旋转(AOAB

和AOCD不能重叠)，求/4£8的大小

(1)如图.CB

■:ABOC和AABO都是等边三角形，

且点0是线段AD的中点,/^\/^\

：.OD=OC=OB=OA,Z1=Z2=60°,......1分

Z4=Z5DOA

又Z4+Z5=Z2=60°,

Z4=30°.........................................2分

30|第三讲二四制

同理，Z6=30°.....................3分

ZAEB=Z4+Z6,

ZAEB=60°...................4分

⑵如图.

ABOC和AABO都是等边三角形，

：.OD=OC,OB=OA,Zl=Z2=60°,......5分

又：OD=OA,

：.OD=OB,OA=OC,

：.Z4=Z5,Z6=Z7...............6分

ZDOB=Z1+Z3,

ZAOC=N2+N3,D

ZODB=ZAOC.....................7分

•/Z4+Z5+ZDOB=180°,Z6+Z7+ZAOC=180°,

2Z5=2Z6,

Z5=Z6......................................8分

又：NA£B=N8-N5,Z8=Z2+Z6,

ZAEB=N2+N5-N5=N2,

ZAEB=60°..................................9分

【例3】（2007河北）在AABC中，AB=AC,CG_LBA交54的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图

15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为尸，一条直角边与4c边在一条直线上，另一条

直角边恰好经过点3.

（1）在图15-1中请你通过观察、测量3尸与CG的长度，猜想并写

出斯与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；

⑵当三角尺沿AC方向平移到图15-2所示的位置时，一条直角边仍

与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点。，过点。

作DELB4于点E.此时请你通过观察、测量OE、。尸与CG的

长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后

证明你的猜想；

⑶当三角尺在⑵的基础上沿AC方向继续平移到图15-3所示的

位置（点厂在线段AC上，且点P与点C不重合）时，⑵中的

猜想是否仍然成立？（不用说明理由）

【解析】⑴BF=CG;..............................（1分）

在A4B厂和AACG中，图15-2

VZF=ZG=90°,ZFAB=ZGAC,AB=AC,

：.NABF丝AACG（AAS）,

：.BF=CG............................（4分）

（2）DE+DF=CG;........................（5分）

过点。作。H_LCG于点H（如图7）.....（6分）

：DE_LS4于点E,ZG=90°,DH±CG,

四边形EDHG为矩形，

DE=HG,DH//BG,：.ZGBC=Z.HDC,

,/AB=AC,：.ZFCD=ZGBC=ZHDC,又：ZF=ZDHC=90°,CD=DC,

：.\FDC也A/7CD（AAS）,：.DF=CH.

：.GH+CH=DE+DF=CG,FpDE+DF=CG..................（9分）

⑶仍然成立......................................................（10分）

（注：本题还可以利用面积来进行证明，比如⑵中连结AD）

H学习改变命运2009寒假

二'用旋转'对称'平移解决三角形问题

【例4】(2008天津)已知RtAABC中，ZACB=90°,C4=CB,有一个圆心角为45。，半径的长等于C4的

扇形CE/绕点C转，且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N.

(1)当扇形CE尸绕点C在NACB的内部旋转时，如图①，求证：MN2=AM2+BN2；思路点拨:

考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决.可将AACM沿

直线CE对折，得ADCM,连DN,只需证£>N=8N,NMDN=90。就可以了.请你完成证

明过程：

⑵当扇形CE尸绕点C旋转至图②的位置时，关系式脑/=402+期2是否仍然成立？若成立，

请证明；若不成立，请说明理由.

【解析】⑴证明将AACM沿直线CE对折，得ADCM,连。N,

贝UKDCM会AACM..............................................................1分

有C£>=C4,DM=AM,ZDCM=ZACM,NCDM=ZA.

又由CA=CB,得CD=CB..........................2分

由ZDCN=ZECF-ZDCM=45°-ZDCM,

ZBCN=ZACB-ZECF-ZACM=90°-45°-ZACM=45°-ZACM,

得NDCN=NBCN......................................................................3分

又CN=CN,

\CDN峪NCBN................................................................4分

有DN=BN,ACDM=ZB.

，ZMDN=ZCDM+ZCDN=ZA+ZB=90°.5分

在RtXMDN中，由勾股定理，

MN2=DM2+DN2.FpMN2=AM2+BN2......................

⑵关系式MN?=AM?+gyp仍然成立...................

证明将AACM沿直线CE对折，得AGCM,连GN,

则\GCM丝KXCM...........................................8分

有CG=C4,GM=AM,

ZGCM=ZACM,ZCGM=ZCAM.

又由CA=CB,得CG=CB.

由ZGCN=ZGCM+ZECF=ZGCM+45°,

32|初二第三讲二四制I

NBCN=ZACB-ZACN=90°-（ZECF-ZACM）=45°+ZACM.

得ZGCN=ZBCN..........................................................................................9分

又CN=CN,

ACGNg\CBN.

有GN=BN,ZCGN=ZB=45°,

ZCGM=ZCAM=180°-ZCAB=135°

ZMGN=ZCGM-ZCGN=135°-45°=90°.

/.在RtAMGN中，由勾股定理，

^-MN2=GM2+GN2.FpMN2=AM2+BN2...................]0分

另：此题也可用旋转的方法来解答

BD

【变式】（2008湖北恩施）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形A8C和

AFG摆放在一起，A为公共顶点，ZBAC=ZAGF=90°,它们的斜边长为2,

若AABC固定不动，AAFC绕点A旋转，AF.AG与边BC的交点分别为。、F

E（点。不与点3重合，点E不与点C重合），设=根，CD=n.

（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.

⑵求相与力的函数关系式，直接写出自变量”的取值范围.

⑶以△A8C的斜边8c所在的直线为龙轴，8c边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标

系（如图）.在边BC上找一点。，使BD=CE,求出。点的坐标，并通过计算验证

BD2+CE2=DE2.

（4）在旋转过程中，⑶中的等量关系BD2+CE2=。石2是否始终成立，若成立,请证明，若不成立，请说

明理由.

【解析】⑴MBE^ADAE,\ABE^NDCA1分

,/ZBAE=ABAD+45°,ZCDA=ZBAD+45°

/.ZBAE=ZCDA

又NB=NC=45°

\ABE^NDCA3分

(2)"J\ABE^\DCA

.BEBA

"CA~CD

由依题意可知

.m_&

m=—5分

n

自变量n的取值范围为6分

(3)由BD=CE可得BE=CD,即m=八

..2

・m=—

n

m=n=A/2

H学习改变命运2009寒假

•/OB=OC=-BC=1

2

.*.OE=OD=y/2-l

：.£>(1-72,0)7分

BD=OB-OD=l-e-D=2-4i=CE,DE=BC-2BD=2-2Q-版)=2版-2

'：Blf+CE2=2B»=2(2-&=12-8后，DE2=(2>/2-2)2=12-8A/2

BD2+CE2=DE28分

⑷成立9分

证明:如图，将AACE绕点A顺时针旋转90。至A4BH的位置，则CE=HB,AE=AH,

ZABH=ZC=45。,旋转角ZEAH=90°.

连接HD,在AE4。和AH4D中

AE=AH,/HAD=ZEAH-ZFAG=45°=ZEAD,AD=AD.

：.XFAD^\HAD

：.DH=DE

又ZHBD=ZABH+ZABD=90°

BD2+HE2=DH-

即BD2+CE1=DE2

【例5】(2007北京)如图，已知AABC.

⑴请你在8c边上分别取两点。，E(8C的中点除外)，连结A

AD,AE,写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应

条件，并表示出面积相等的三角形；/

⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB+AOAD+AEBC

【解析】⑴如图l,BD=CE不DE;

MBD和AACE,MBE和AACD;

(2)证法一：如图2,分别过点。、B作CA、EA的平行线，J

两线相交于尸点，DF于AB交于G点。

：.ZACE=ZFDB,ZAEC=ZFBD//

在NAEC和AEBD中，丸CE=BD,//

可证AAECgAFBD,/一片----看~c

：.AC=FD,AE=FB,

在AAGD中，AG+DG>AD,

在NBFG中，BG+FG>FB,

：.AG+DG-AD>0,BG+FG-FB>0,

PA

：.AG+DG+BG+FG-AD-FB>0,:/

AB+FD>AD+FB,/^//\

：.AB+AC>AD+AE.//

证法二：如图3,分别过A、E作CB、C4的平行线，//

两线相交于厂点，跖于交于G点，连结BF,厂j-----E~c

则四边形五ECA是平行四边形。)

・•・FE=AC,AF=CE

9：BD=CE,

:.BD=AFF

：.四边形FBDA是平行四边形。FA

AFB=AD/dW

在AAGE中，AG+EG>AE;在45尸G中，BG+FG>FB,

可推得：AG+EG+BG+FG>AE+FB//

AB+AC>AD+AE.//I

BDEC

34|初二第三讲二四制.一一一一—一—.1

证法三：如图4,取DE的中点。，连结A。并延长到厂点,

使得尸O=AO,连结EF、CF,延长AE交C尸于G点。

在AADO和△尸EO中，入NAOD=NFOE,DO=EO,

可证：\ADO咨AFEO：.AD=FE

BD=CE,DO=EO,：.BO=CO,

同理可证NABO名AFCO；.AB=FC

在AACG中，AC+CG>AE+EG,

在\EFG中，EG+FG>EF,

可推得AC+CG+EG+FG>AE+EG+EF,

即AC+CF>AE+EF,

AB+AC>AD+AEo

【例6】（2007辽宁）如图，已知等边三角形ABC中，点、D,E,歹分别为边AB,AC,BC的中点，M

为直线BC上一动点，为等边三角形（点加的位置改变时，也随之整体移动）.

⑴如图①，当点M在点3左侧时，请你判断EN与叱有怎样的数量关系？点厂是否在直线

NE上?郁靖直援写出结论，不必证明或说明理由；

⑵如图②，当点M在8c上时，其它条件不变，⑴的结论中EN与的数量关系是否仍然

成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；

⑶若点加在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断⑴的结论中EN与M尸的数

量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由.

【解析】⑴判断：EN与MF相等（或,EN=MF）,点、F在直线NE上,3分

（说明：答对一个给2分）

⑵成立..............................................................................................4分

解法一：连结DE,DF......................................................5分

：AA8C是等边三角形，/.AB=AC=BC.

又：E,尸是三边的中点，

/.DE,DF,E尸为三角形的中位线.:.DE=DF=EF,ZFDE=60°.

又ZMDF+NFDN=60°,ZNDE+ZFDN=60°,

ZMDF=ZNDE.............................................................7分

在DMF和ADNE,DF=DE,DM=DN,ZMDF=ZNDE,

：.\DMF冬NDNE..................................................................8分

:.MF=NE..............................................................9分

解法二：延长EN,则EN过点F.................................5分

：AA8C是等边三角形，AB=AC=BC.

5学而思2009寒假

又：E,尸是三边的中点，/.EF=DF=BF.

:NBDM+ZMDF=60°,ZFDN+ZMDF=60°,

ZBDM=ZFDN................................................7分

又,/DM=DN,ZABM=NDFN=60°,

ADBM名ADFN.8分

BM=FN.

VBF=EF,:.MF=EN.9分

法三：连结。歹，NF.……5分

AABC是等边三角形，

AC=BC=AC.

又丁D,E,b是三边的中点,

，止为三角形的中位线，ADF=-AC-AB=DB.

22

又NBDM+ZMDF=60°,NNDF+ZMDF=60°,

：.ZBDM=ZFDN.................................................7分

在ADBM和ADFN中,DF=DB,

DM=DN,NBDM=ZNDF,\DBM名NDFN.

：.NB=ZDFN=60°...........................................8分

又：AD防是AABC各边中点所构成的三角形,

ZDFE=60°.

可得点N在EF上，

:.MF=EN.....................................••••9分

⑶画出图形（连出线段NE）,.•.•.•...1.1....分.............................

CM

MF与EN相等的结论仍然成立（或=成立）.…12分

三、相似三角形

【例7】（2008黄冈罗田）如图，已知AA8C中，AB=a,点。在AB边上移动（点。不与A、3重合）,

DE//BC,交AC于E,连结CO.设5AAite=S，52笈=H•

⑴当。为AB中点时，求S/S的值；

⑵若AD=x,^=y,求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围;

S

【解析】⑴•；DE〃BC,D为AB的中点,

AnAE_1

・•・\ADE^\ABC,——=

ABAC-2,

qAT

・.S/XADE__].•UAADE_C乙_1.S]_1

；•---------------------1,••---——•

S~AB~4AECS4

S1

1S、_EC_DB_a-x

⑵*•*40入Y，—yvf,,,

SAADEAEADX

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又••5)E_2_a-x-X+UX

AAz，,,^AADE=/.S・・S]一(.丹

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©

AB=AC,AD=AE,ABAC=ZDAE,且点8,A,。在一条直线上，连接BE,CD,M,N分

别为3E,CD的中点.

（1）求证：①BE=CD；②AAMN是等腰三角形.

⑵在图①的基础上，将A4DE绕点A按顺时针方向旋转180。，其他条件不变，得到图②所示的

图形.请直接写出⑴中的两个结论是否仍然成立；

⑶在⑵的条件下，请你在图②中延长ED交线段8c于点P.求证：\PBD^\AMN.

【解析】⑴®VZBAC=ZDAE

：.ZBAE=ZCAD

,/AB=AC,AD=AE

：.NABE^NACD

：.BE=CD..............................................................................3分

②由NABEg\ACD得NABE=ZACD,BE=CD

'：M,N分别是3E,CO的中点，/.BM=CN.........4分

又：AB=AC

：.\ABM丝AACN

AM=AN,即AAMN为等腰三角形.........................6分

⑵⑴中的两个结论仍然成立...............................................8分

(3)在图②中正确画出线段尸。

由⑴同理可证A48M名AACN

ZCAN=ZBAM

：.ZBAC=ZMAN

又ZBAC=ZDAE

：.ZMAN=ZDAE=ZBAC

：.NAMN,AADE和AABC都是顶角相等的等腰三角形.................................10分

NPBD=ZAMN,ZPDB=NADE-ZANM

：.APBD^AAMN

补充例题:

【例9】（2008湖北黄石）如图，为直角，点C为线段54的中点，点。是射线由以上的一个动点（不

与点B重合），连结AD,作垂足为E,连结CE,过

点E作EF_LCE,交.BD于F.

（1）求证：BF=FD；

⑵/A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；

⑶/A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G,满足条件

DG^-DA,并说明理由.

4

【解析】⑴在RtAAEB中，AC=BC,：.CE=-AB,，CB=CE,

2

，ZCEB=ZCBE.

NCEF=ZCBF=90°,

AZBEF=ZEBF,：.EF=BF.

:ZBEF+ZFED=90°,ZEBD+ZEDB=90°,

：.ZFED=ZEDF.

,:EF=FD.

：.BF=FD................................................................（3分）

(2)由⑴BF=FD,而8C=CA,

CF//AD,即AE//CF.

若AC〃EF,则AC=EF,：.BC=BF.

:.BA=BD,ZA=45.

H学习改变命运2009寒假

・••当0。<44<45。或45。<44<90。时，四边形ACFE为梯形.......(6分)

(3)作GH_LBD,垂足为H,则GH〃.

VDG=-DA：.DH=-DB.

4f4

又F为BD中点,・•・”为止的中点.

GH为DF的中垂线，ZGDF=ZGFD.

・・•点G在EDh上，ZEFD>ZGFD.

ZEFD+ZFDE+ZDEF=180°,

ZGFD+ZFDE+ZDEF<180°.

,3/EDF<180。,ZEDF<60°.

又NA+NEDb=90。，

30°<ZA<90°.

・••当30。KNA<90。时，£史上存在点G,满足条件DG=，ZM.……（9分）

4

。写测现画I

.f一

习题1.（2008福州龙岩）如图，在边长为4的等边三角形A8C中，4）是8c边上

的高，点£、厂是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）

A.4A/3B.3gC.2y/3D.3

【解析】C

习题2.（2008广东茂名）如图，AABC是等边三角形，被一平行于8c的矩形所截,

4?被截成三等分，则图中阴影部分的面积是AA8C的面积的（）

A.-B.-C.-D.-

9939

【解析】C

习题3.（2008浙江温州）以为斜边作等腰直角三角形0A8，再以。8为斜

边在AOAB外侧作等腰直角三角形OBC如此继续，得到8个等腰直

角三角形（如图），则图中AQ4B与的面积比值是（）

A.32B.64C.128D.256

【解析】C

习题4.（2008安徽）已知：点。到AABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且