2020-2021学年辽源市友好学校高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年辽源市友好学校高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.已知命题p：3xER,sinx<1,贝)

A.-ip：3%GR,sinx>1B.-ip：VxGR,sinx>1

C.-ip：3%ER,sinx>1D.-ip：VxGR,sinx>1

2,已知集合/={x|x>1},B={x\x2-2%-3<0},则An8=()

A.{x|l<%<3}B.{x|l<%<3}C.{x\x>—1}D.{x\x>1}

3.设a=409,"=8°，c=log2",则正确的是()

A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>a>c

4.一元二次不等式(2%-3)(%+1)>0的解集为()

A.{x|-1<%<-}B.{x\x>5或久<—1]

C.{x|--<%<1}D.{x\x>1或％<--}

5.已知函数f(x)=11nt；j若/(x)<ax,则a的取值范围是()

A.[1,2]B.[1,+QO)C.[2,+oo]D.(-8,1]

6.已知a是第二象限角，直线sina%+tanay+cosa=0不经过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.已知幕函数图像经过点(2,8),则该幕函数的解析式是()

A.y=3XB.y=(2A/2)XC.y=X3D.y=/也

8.已知函数/(%)=在R上存在三个零点，则实数。的取值范围为()

A.[6e~3,2e]B.(0,2e]C.(―6e-3,0)D.(—6e~3,2e)

9.已知函数/(%)=log3(2"+1),则/(3)等于()

A.1B.V2C.2D.3

io.已知点MQI),点B在曲线~y~G—1上，若线段力B与曲线GJ~y=—相父且父点恰为线段

4B的中点，则称点B为曲线q与曲线J的一个“相关点”，记曲线G与曲线c；的“相关点”

的个数为n,则

A.n=0B,n=1C.n=2D.n>2

11.将函数y=2COS(2%+5-1的图象向右平移47r个单位得到y=/(切的图象，给出下列四个结论:

①/(久)为偶函数；

②/(%)在(-兀,兀)上有4个零点；

③/(X)在弓，学)上单调递减；

④/1彳1%)=/■(%+第,

则正确的结论序号是()

A.②④B.①②C.③④D.②③

12.将函数y=cos(2x+g)的图象向右平移1个周期后，所得图象对应的函数为/(久)，则函数/Q)的

单调递增区间为()

A.\kn+gk兀+勺(keZ)B.\kn-^,kn+$(kGZ)

C.[kn-^.kn+^keZ)D.即一或/OT+g(keZ)

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.函数f(%)=三三的定义域为____

八’Inx

14.弧长为4兀的扇形的圆心角为(则此扇形的面积为.

15.若幕函数g(©=(m2-m-1)/n在(0,+8)上为增函数，则实数6的值为.

16.已知a、S为锐角，且(1+tan/)(l+tang)=2,则tanatan0=.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知全集0=/?,集合4={久|1Wx<5},B={%|2<%<8},求力UB,(CyX)CiB.

18.如图所示，在平面直角坐标系中，锐角a和钝角£的终边分别于单位圆交于4B两点，

⑴如果4B两点的纵坐标分别为3、差求cos(”a)的值.

(2)已知点C(-1,W),记函数/'(a)=瓦？•瓦，求/'(a)的值域.

19.已知函数/(%)=1+a-4asinx—cos2、(a为常数，xG?,〃])，求/(%)的最小值g(a).

20.(本小题满分12分)

函数频礴=鲍@/竺书状豳画盛：-笔在一个周期内的图象如图所示，段为图象的最高点，蜃、蜉

为图象与德,轴的交点，且感点啜窗为正三角形。

(I)求侬的值及函数,真域E的值域;

(口)若.应W，且龙通上当急

求.施烈:开力的值。

A££

21.已知函数/(%)=%2+4%+3,

(1)若f(a+1)=0,求a的值；

(2)若函数g(%)=/(%)+c%为偶函数，求c.

22.已知a=(5有cos%,cos%),b=^sinx,2cosx),设函数f(%)=a•b+网？+

兽

(1)当由々1ml时，求函数/(%)的值域；

Ki?K?的

(2)当久时，若f(%)=8,求函数/乐—生|的值；

L阐篡J八：域

(3)将函数y=/(%)的图象向右平移3个单位后，再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位,

得到函数y=g。)的图象，求函数g。)的表达式并判断奇偶性.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：

本题所给的命题是一个存在量词命题，存在量词命题的否定是一个全称量词命题，把存在符号变为

任意符号，将结论否定即可求解.

本题的关键是正确理解含有量词的命题的否定的书写格式与规则，即存在量词命题的否定是全称量

词命题，全称量词命题的否定是特称命题.

解：p：3%e/?,sinx<1,

-ip：VxeR,sinx>1,

考查四个选项，D正确.

故选D

2.答案：A

解析：解：B-{x\-1<x<3]；

Ar\B={x\l<x<3].

故选：A.

可解出集合B,然后进行交集的运算即可.

考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算.

3.答案：B

解析：

本题主要考查指数和对数的运算以及指数函数和对数函数的性质，属于基础题.

根据指数和对数函数的性质求得a,6,c的取值范围，从而即可求解.

解：因为。=4。9,6=8。£

所以Zga=0.9lg4=1.8lg2,Igb=0Alg8=1.2lg2,

所以国a>Igb,因此a>b;

c=log217>log216—4,故c>4;

而a=409<4,故c>a>6.

故选8.

4.答案:B

解析：

本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题.

根据一元二次不等式的解法求解即可.

解：由(2x-3)(x+1)>0得x>|或x<-1,

所以不等式的解集为｛x|x<-1或x>|).

故选：B.

5.答案：A

解析：

本题考查函数恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，恒成立

问题常常转化为函数最值解决.

分x>0,xW0两种情况进行讨论，久>0时可知要使不等式恒成立，须有a>l；x<0时，再分x=0,

%<0两种情况讨论，分离参数a后化为函数最值可求，注意最后对a范围取交集.

解：(1)当%>0时，ln(%+1)>0,要使<(%)工ar,即ln<+1)4a久恒成立,则此时a之1.

(2)当汽<0时，一——1<ax,

若x=0,则左边V右边，a取任意实数；

若x<0时，-/Twa%可化为awr.

因为2J(_x)x(->=2,当且仅当x=—1时取等号.

此时须满足a<2.

综上可得，a的取值为[1,2],

故选A.

6.答案：B

解析:

本题考查了三角函数的符号、直线的斜率与截距的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

cosa

a是第二象限角，可得cosa<0,sina>0.直线sina%+tanay+cosa=0化为y=——-—x

JJtanatana9

22

即旷=—xcosa—可知：斜率k=—cosa>0,在y轴上的截距—0<0,即可得出.

sinasina

解：a是第二象限角，・•.cosa<0,sina>0.

直线sina%+tanay+cosa=0化为y=-^^-x—SPy=—xcosa一°,

tanatana'sina

2

.・・斜率k=-cosa>0,在y轴上的截距-UU<o,

sina

・•・直线经过第一、三、四象限，而不经过第二象限.

故选：B.

7.答案：C

解析：解：设幕函数为/(久)=久％

因为图象经过点(2,8),

/(2)=8=2八从而a=3,

函数的解析式/(久)=X3,

故选：C.

设出募函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式即可.

本题考查了求幕函数的解析式问题，待定系数法是常用方法之一，本题是一道基础题.

8.答案：D

解析：

解：令/(久)=0,

•••a=3ex—x2ex,

令h(x)=3ex—x2ex,

h'(x)=3ex—2xex—x2ex

=-ex(x+3)(%—1),

x<—3时，八'(久)<0,

—3<x<1时，h'(x~)>0,

x>1时,八'(久)<0,

•••h(x)m讥=%(-3)=-6e-3,

h(x)max=h(l)=2e；

.•・实数a的取值范围为：(-6e:2e),

故选：D.

令f(x)=0,得a=3ex—x2ex,令h(x)=3ex—x2ex,求导数〃(x)=3ex—2xex-x2ex=—ex(x+

3)(%-1),由此求出函数f(x)在R上存在3个零点的a的范围.

本题考查函数最值的求法和函数存在3个零点时求a的取值范围.解题时要认真审题，仔细解答，注

意导数的应用.

9答案:C

解析：解：•.■函数/(X)=log3(2*+1),

・•・八3)=(。93(23+1)=2.

故选：C.

x

把函数y(x)=log3(2+1)中的x换成3,能求出/⑶的值.

本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是

基础题.

10.答案:B

解析:本题考查函数与方程以及函数的单调性。设段渺，-蓝:，则4B的中点为国号,9;；：,所以有1,

即，=3,所以“相关点”的个数就是方程岁解的个数，由于.=靖的图象在蔚轴上方，且是盛

上增函数，淖=&在(0+«>)上是减函数，所以它们的图象只有一个交点，即龈=1,故选艮

蔚

11.答案：A

解析：解：依题意，/(X)=2cos[2(x-7)+5=2COS(2X-^)-1.

对于①，因为/(0)=e—1，不是最值，故①错；

对于②，由/'(X)=0得cos(2久一：)=之,所以2久*=±f+2kn,kGZ,所以久=一盘+々兀或x=胃+

kn,kEZ.

令k=0,-1,1,可得比=—翳，或—5或笫或等故②对；

对于③，当与<x<段时，]<2%—EV学此时，y=cosx在(；,学)先减后增，故③错；

对于④，偿-久)=f(x+由表示函数关于x=学对称,此时f穹)=—3最小值,故④对.

故选：A.

先根据图象的平移变换，求出/(%)的解析式.

对于①，只需/(0)取得最值即可；对于②，令〃久)=0,求出该区间上的根即可；对于③，根据x的

区间，求出3尤+9的范围，看看是否是sinx的减区间即可；对于④，由函数的对称性判断对称轴即

可.

本题考查三角函数的图象和性质，考查学生的化归与转化能力，逻辑推理能力与直观想象能力.属

于中档型.

12.答案：C

解析：解：将函数丫=。。5(2X+$的图象向右平移[个周期后，

而1个周期，即%

4424

故所得图象对应的函数为f(x)=cos(2久-m+9=cos(2x-g)的图象.

Z5O

令2kn-7T<2%—^<2/CTT,求得MT-||<x<

可得函数/⑺的单调递增区间为即一工,+勺，kez,

故选：C.

由题意利用函数y=Asin^x+S)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，

得出结论.

本题主要考查函数y=As讥(3%+0)的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题.

13.答案：(0,1)

2—x—]2>0

解析：解：由“ri%W0，解得0<x<1.

%>0

函数“吗=三三的定义域为(0,1).

故答案为：(0,1).

由根式内部的代数式大于等于0,对数式的真数大于0且分式的分母不等于0,联立不等式组求解即可

得答案.

本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题.

14.答案：2471

解析：解：设扇形的半径为R,

4n=-R,

3

R=12,

___-i

，•扇形的面积=-x4TTx12=247r.

故答案为：247r.

15.答案：2

解析：

本题考查了累函数的概念及其单调性，解答的关键是掌握累函数定义及性质，属于基础题.

因为只有y=久。型的函数才是幕函数，所以只有?n2一巾一1=1,函数g(x)=(根2一小一1)万恒才是

嘉函数，又函数g(X)=(爪2一小-1)久加在％e(0,+8)上为增函数，所以基指数应大于0.

解：要使函数g(x)=(62一小一1)万加是幕函数，且在％e(0,+8)上为增函数，

贝0nl2—广一1=1,解得m=2.

故答案为2.

16.答案:1

解析：解：,已知a、0为锐角，且(1+tan])(l+tang)=2,贝Ul+tan]+tan§+tan].tang=2,

化简可得，tan-+tan--1—tan--tan二tan(巴史)=巴主真片=1,

222221-tan-tan^

22

差且=2，[a+£=],即a与0互为余角，故有tanatan0=1,

故答案为1.

由条件利用两角和的正切公式求得tan(W^)=巴士吗=1,可得字=?即a+8=p由此求得

21-tan-2tan2-24乙

tanatanpff]^.

本题主要考查两角和的正切公式，互余的两个角正切值间的关系，属于中档题.

17.答案：解：•••U=R,A={x\l<%<5],B={x\2<%<8},

・•.AUB={x|l<x<8},QyA={x\x<1或久>5],(C“)CB={x|5<x<8].

解析：进行交集、并集和补集的运算即可.

本题考查了描述法的定义，交集、并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题.

18.答案:解：⑴如果力、B两点的纵坐标分别为[i|,则有sina=±sin.=4|,

513513

结合a为锐角、£为钝角，可得cosa="-sin2a=|,cos，=-Jl-sin2/?=一得，

5312433

•••cos(S—a)=cos/3cosa+sin^sina=-----x-4——x-=—.

13513565

(2)已知点C(—1,遮)，函数f(a)=OA-OC={cosa,sina)•(—1,V3)=y/3sina—cosa=2sin(cr—

由a为锐角，可得a—6(―gg),sin(a--)62s讥(a—^)E(—1,73),

ooJ、6，、2，2,o

即/(a)的值域为(-1,V3).

解析：⑴由条件利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求出有sina、s讥/?、cosa、

cos/?的值，可得cos(/?—a)=cos^cosa+s讥雄讥仇的值.

(2)由条件利用两个向量的数量积公式求得/(%)=2s出(a-》，再根据a为锐角、正弦函数的定义域

和值域求得〃久)的值域.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两个向量的数量积公式，正弦

函数的定义域和值域，属于中档题.

19.答案：解：/(x)=1+a—4asinx-cos2x=/(x)=sin2x—4asinx+a,

令t=sinx,x6碎㈤)，・•・tE［0,1］,

则函数等价为y=/-4戊+处对称轴为直线t=2a,

(1)若2a<0即a<0时，y=t2—4at+a在［0,1］内递增，

当t=0时，函数取得最小值，则此时最小值为g(a)=a.

(2)若0<2QV1,即OVa时.

当t=2a,函数取得最小值g(a)=4a2—8a2+a=a—4a2,

(3)若2。21,即a22时，y=/一4at+a在［0,1］内递减，

当力=1,函数取得最小值g(a)=-3a+1,

a,a<0

a-4a2,0<a<-

{—3a+1,ci—

解析：利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数，讨论对称轴和区间的关系即可得到结论.

本题主要考查函数最值的求解，利用换元法结合二次函数的性质是解决本题的关键.

20.答案：(1)雄=色，函数的值域为翻球弧5］(口)芷

解析：试题分析：(I)由已知可得舞磷二%7—AM做，

，.二,负命=冬献壁侬鼠斗次嬴侬£：=乐博的伊案普马.....2分

所以正三角形,圆羁的高为象后，则解=4，

所以函数的周期为膏=罢您司=感，得雄=:，

函数的值域为|［-£晨悬道］....6分

(n)由于翼琼=噫格T殊:丑5=‘罢’即恪"?“:带马=：'

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又殊组r—,.秘，得%'/#史r-用小，所以瞬^/书露=%，

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考点：本小题主要考查三角函数的图象和性质、两角和与差的三角函数，考查学生数形结合数学思

想的应用和运算求解能力.

点评：由三角函数的图象可以求出最值、周期、单调区间和对称轴、对称中心等，也要会由函数

朋=.遂|盛帼御明#@年画三角函数的图象，另外三角函数中公式较多，要灵活应用.

21.答案：解：(1)函数/'(久)=/+4久+3,f(a+1)=0,

可得(