最近五年江苏高考数学-函数与导数

最近五年江苏高考数学函数与导数考题评析2007年函数与导数注：当年全卷共21道题10道选择题6道填空题5道解答题分数5+5+5+5+16=36分6．设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，那么有〔〕A．B．C．D．【解析】依题意，有，〔点评：先求的解析式，再将“式”统一〕所以，，即，当x＜1时，－x＞－1，即2－x＞1，所以，故〔x＜1〕,，，，所以，选〔B〕8．设是奇函数，那么使的的取值范围是〔〕A．B．C．D．【解析】依题意，得，即，所以，，，〔点评：定义域中含0，要用好〕又，所以，，解得：－1＜x＜0，应选〔A〕9．二次函数的导数为，，对于任意实数，都有，那么的最小值为〔〕A．3B．C．2D．【解析】，，依题意，有，可得，＝＝＋1＋1＋1＝2，应选〔C〕〔点评：注意用好每一个条件，都是常数，带字母的常数，此处是特殊的常数，相对来说的，之后又成准变数了〕13．函数在区间上的最大值与最小值分别为，那么【解析】令，得：，,，，，，所以，.〔点评：此题比第9题容易多了，但是最值是整体考虑的，可能在端点处取得，而极值是局部，极值只能在区间中间取得，端点处无极值〕21．是不全为的实数，函数，，方程有实根，且的实数根都是的根；反之，的实数根都是的根；〔1〕求的值；〔2〕假设，求的取值范围；〔3〕假设，求的取值范围．【解析】此题主要考查函数、方程、不等式的根本知识，考查综合运用分类讨论、等价转化等思想方法分析问题及推理论证的能力．解：〔1〕设是的根，那么，那么是的根，那么，即，所以．〔2〕因为，所以，〔注：〔1〕中已得〕那么方程：==0的根也是方程的根．〔a〕假设，那么，此时的根为0，而的根也是0，所以，〔b〕假设，那么当时，的根为0，而的根也是0，当时，的根为0和，而的根不可能为0和，所以必无实数根，所以，所以，从而；〔注：此时要同解，只能一个同解，另一个无解〕综合上述可知：当时，；当时，．〔3〕由，知：，即的根为0和1，又由，∴=0必无实数根．〔a〕当时，；〔注：配方，按作三类讨论〕即函数在，恒成立，又，所以，即，所以；〔b〕当时，即函数在，恒成立，又，所以，，而，所以，所以不可能小于0；〔c〕，那么，这时的根为一切实数，而，∴，适合；综上所述：所求的取值范围为．〔点评：尽管是压轴题，但是方法常规〕2008年函数与导数注：从这一年开始，全卷共20道题14道填空题6道解答题分数5+5+18=28分8．设直线是曲线的一条切线，那么实数的值是解：，令得，故切点坐标为〔2，ln2〕，代入直线方程得；〔点评：此题只考导数的几何意义，切线的斜率〕14．设函数，假设对于任意的都有成立，那么实数的值为解：假设，那么不管取何值，显然成立；当即时，，可化为：；设，那么，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而；当即时，可化为：，，在区间上单调递增，因此，从而，综上．〔点评：此题我们常用方法是函数值域法，先讨论，再将除过去，求值域〕20．函数，〔为常数〕．函数定义为：对每个给定的实数，〔1〕求对所有实数成立的充分必要条件〔用表示〕；〔2〕设是两个实数，满足，且．假设，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为〔闭区间的长度定义为〕解：〔1〕由的定义可知：〔对所有实数〕等价于：〔对所有实数〕这又等价于：，〔注：这一步很重要，下手的地方啊〕即对所有实数均成立.〔*〕由于的最大值为，故〔*〕等价于，即，这就是所求的充分必要条件．〔注：绝对值不等式派上用场了〕〔2〕分两种情形讨论：〔i〕当时，由〔1〕知〔对所有实数〕〔承上〕Oyx(a,Oyx(a,f(a))(b,f(b))图1得，从而可知：，再由的单调性可知，函数在区间上的单调增区间的长度为：〔如图1〕〔ii〕当时，不妨设，那么，〔有序化处理〕当时，有，从而；当时，有从而；Oyx(a,f(Oyx(a,f(a))(b,f(b))(x0,y0)(p2,2)(p1,1)图2从而由方程：，解得图象交点的横坐标为：①显然，这说明在与之间；由〔1〕易知：综上可知，在区间上，〔如图2〕故由函数及的单调性可知：在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得：②故由上述①、②得：；综合〔i〕〔ii〕可知，在区间上的单调增区间的长度和为．〔点评：①根据第1题的结论分两类讨论；②注意有序化处理；③数形结合，由抽象变形象思考；④吃透增区间长度的真正含义〕2009年函数与导数分数5+5+5+16+16=47分3．函数的单调减区间为.【解析】，由得单调减区间为．亦可填写闭区间或半开半闭区间．〔点评：导数的应用，求单调区间〕9．在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，曲线C在点P处的切线的斜率为2，那么点P的坐标为.【解析】，又点P在第二象限内，∴点P的坐标为〔-2，15〕．〔点评：导数的应用，切线的斜率〕10．，函数，假设实数、满足，那么、的大小关系为.【解析】，函数在R上递减；由得：m<n．〔点评：估值法，指数函数的单调性〕19．按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件本钱为元，如果他卖出该产品的单价为元，那么他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，那么他的满意度为；如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，那么他对这两种交易的综合满意度为．现假设甲生产A、B两种产品的单件本钱分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件本钱分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为；〔1〕求和关于、的表达式；当时，求证：；〔2〕设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？〔3〕记〔2〕中最大的综合满意度为，试问能否适中选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．【解析】此题主要考查函数的概念、根本不等式等根底知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力．〔1〕，，当时，；；所以：．〔点评：考查阅读理解能力和处理字母的能力〕〔2〕当时，；由，得，故当即时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为．〔点评：注意与的关系，转化到一个变量的问题处理〕〔3〕由〔2〕知：；由，得：，令，那么，即：；同理，由，得：；另一方面，，，；从而，由，；知当且仅当，即时，取等号；所以不能否适中选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立．〔点评：不等式中等号成立的条件，常常是解题杠杆的支点，用得准，轻松获解〕20．设为实数，函数；〔1〕假设，求的取值范围；〔2〕求的最小值；〔3〕设函数，直接写出〔不需给出演算步骤〕不等式的解集．【解析】此题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等根底知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．〔1〕假设，那么．〔2〕当时，，；当时，，综上可得：．〔注：二次函数的灵魂永远是开口方向与对称轴，最终解决单调性的问题〕〔3〕当时，得：；当或时，，得；当时，，得；讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.〔点评：重点是分类讨论，思考入手处是数形结合〕2010年函数与导数分数5+5+5+5+16=36分5．设函数是偶函数，那么实数【解析】设为奇函数，由，得．〔点评：此题考查函数的奇偶性的知识〕8．函数的图像在点处的切线与轴交点的横坐标为，为正整数，，那么【解析】在点处的切线方程为：，当时，解得，∴．〔点评：此题考查函数的切线方程、数列的通项〕11．函数，那么满足不等式的x的范围是【解析】．〔点评：此题考查分段函数的单调性，注意从图像特征考虑，才能快速获解〕14．将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，那么S的最小值是【解析】设剪成的小正三角形的边长为，那么．〔法一〕利用导数求函数最小值．由，得；当时，递减；当时，递增；故当时，S的最小值是．〔法二〕利用函数的方法求最小值．令，那么；故当时，S的最小值是．〔点评：此题考查函数中的建模应用，等价转化思想；一题多解．〕20．设是定义在区间上的函数，其导函数为．如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，那么称函数具有性质．〔1〕设函数，其中为实数；(i)求证：函数具有性质；(ii)求函数的单调区间．〔2〕函数具有性质；给定设为实数，，，且，假设||<||，求的取值范围．【解析】此题重点考查函数的概念、性质、图象及导数等根底知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．〔1〕(i)；∵时，恒成立，∴函数具有性质；(ii)当时，对于，；所以，故此时在区间上递增；当时，图像开口向上，对称轴：，方程的两根为：，而；当时，，，故此时有：在区间上递减；同理得：在区间上递增．综上所述，当时，在区间上递增；当时，在上递减；在上递增．〔2〕由题意，得：；又对任意的都有；所以对任意的都有，在上递增．又；当时，，且；∴；∴或，假设，那么∴，不合题意；∴，即，解得；∴．当时，，，符合题意．当时，，且，同理有：，即，解得，∴；综合以上讨论，得：所求的取值范围是〔0，1〕．2011年函数与导数分数5+5+5++14+16=45分2．函数的单调增区间是__________【解析】〔点评：送分题〕11．实数，函数，假设，那么a的值为________【解析】当时，有，∴〔舍去〕当时，，∴．〔点评：分段函数，分类讨论〕12．在平面直角坐标系中，点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，那么t的最大值是_____________【解析】设，那么，过点P作的垂线方程为：，；，所以，t在上单调增，在单调减，．〔点评：导数的应用〕17．请你设计一个包装盒，如下图，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm；〔1〕假设广告商要求包装盒侧面积S〔cm〕最大，试问x应取何值？〔2〕假设广告商要求包装盒容积V〔cm〕最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．【解析】〔1〕，〔0<x<30〕，所以x=15cm时侧面积最大；〔2〕，所以，；当时，递增，当时，递减；所以，当时，V最大；此时，包装盒的高与底面边长的比值为．〔点评：又是一道十足的导数应用题〕19．a，b是实数，函数，和是的导函数，假设在区间I上恒成立，那么称和在区间I上单调性一致；〔1〕设，假设函数和在区间上单调性一致，求实数b的取值范围；〔2〕设，且，假设函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求的最大值．