概率的基本性质 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

概率的基本性质册别：必修第二册学科：高中数学（人教版）

1.通过类比函数性质的研究路径，确定概率性质的研究思路和方法；

2.通过实例的分析，能结合古典概型的概率求法理解概率的性质；

3.通过课本例题，理解随机事件概率的运算法则，会通过事件的关系运算，理解和事件概率加法公式及对立事件概率的求法．

学习目标复习回顾事件的关系或运算含义符号表示图形表示包含A发生导致B发生AB

相等AB且BAA=B

并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B(或)A+B

交事件(积事件)A与B同时发生A∩B(或)AB

互斥(互不相容)A与B不能同时发生

互为对立A与B有且仅有一个发生复习回顾

对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用P（A）表示.

试验的样本点及样本空间具有如下共同特征：（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概型模型，简称古典概型.

其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.提出问题

给出一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质.

例如：在给出指数函数的定义后，从定义出发，研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用.

思考1：你认为可以从哪些角度研究概率的性质？

请按下暂停键，思考后再听讲哦！确定思路

从概率的定义出发研究概率的性质，例如概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系（互斥、对立、包含等）时，它们的概率之间的关系，等等.

由概率的定义可知：任何事件的概率都是非负的；在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生.

对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用P（A）表示.探究性质

由概率的定义可知：

任何事件的概率都是非负的；

在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生.

对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用P（A）表示.

性质1

对任意的事件A，都有

P（A）≥0

性质2

必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即

P（Ω）=1，P（

）=0.探究性质

在“事件的关系和运算”中，我们研究过事件之间的某些关系.具有这些关系的事件，它们的概率之间会有什么关系呢？

思考2：设事件A与事件B互斥，和事件A∪B的概率与事件A，B的概率之间具有怎样的关系？

请按下暂停键，思考后再听讲哦！探究性质

10.1.2例6

一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”.第二次第一次12341×(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)×(3,2)(4,2)3(1,3)(2,3)×(4,3)4(1,4)(2,4)(3,4)×事件R与事件G互斥，R∪G=“两次摸到的球颜色相同”.P（R）=P（G）=P（R∪G）==P（R）+P（G）.

n（R）=n（G）=2n(R∪G)=2+2=4.探究性质

事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以n（A∪B）=n（A）+n（B），这等价于P（A∪B）=P（A）+P（B）性质3

如果事件A与事件B互斥，那么

P（A∪B）=P（A）+P（B）

两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和.

互斥事件的概率加法公式：推广

如果事件A1，A2,…，Am互斥，那么P（A1∪A2∪…∪Am）=P（A1）+P（A2）+…+P（Am）探究性质

思考3：设事件A与事件B互为对立事件，它们的概率有什么关系？

请按下暂停键，思考后再听讲哦！

事件A和事件B互为对立事件，所以和事件A∪B为必然事件，即P（A∪B）=1.由性质3，得

1=P（A∪B）=P（A）+P（B）性质4

如果事件A与事件B互为对立事件，那么

P（B）=1-P（A），P（A）=1-P（B）.探究性质

请按下暂停键，思考后再听讲哦！即P（A）≤P（B）

思考4：在古典概型中，对于事件A与事件B，如果AB，那么它们的概率有什么关系？

由于AB，即n（A）≤n（B），于是

一般地，对于事件A与事件B，如果AB，即事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率不超过事件B的概率.

于是有概率的单调性：性质5：如果AB，那么P（A）≤P（B）.探究性质

由性质5可得，对于任意事件A，因为性质5：如果AB，那么P（A）≤P（B）.所以0≤P（A）≤1.思考探究

思考5：在10.1.2节例6的摸球试验中，“两个球中有红球”=R1∪R2，那么P（R1∪R2）和P（R1）+P（R2）相等吗？如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P（R1∪R2）.

请按下暂停键，思考后再听讲哦！

10.1.2例6

一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”.探究性质

10.1.2例6

一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”..第二次第一次12341×(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)×(3,2)(4,2)3(1,3)(2,3)×(4,3)4(1,4)(2,4)(3,4)×P（R1）=P（R2）=P（R1∪R2）=≠P（R1）+P（R2）.

n（R1）=n（R2）=6n(R1∪R2)=10.R1∩R2={（1，2），（2，1）}≠即事件R1，R2不互斥.P（R1∪R2）=P（R1）+P（R2）-P（R1∩R2）

探究性质性质6

设A，B是随机试验中的两个事件，我们有P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）

性质3

如果事件A与事件B互斥，那么

P（A∪B）=P（A）+P（B）性质3是性质6的特殊情况.探究性质性质1

对任意的事件A，都有

P（A）≥0.性质2

必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即

P（Ω）=1，P（

）=0.性质3

如果事件A与事件B互斥，那么

P（A∪B）=P（A）+P（B）.性质4

如果事件A与事件B互为对立事件，那么

P（B）=1-P（A），P（A）=1-P（B）.性质5

如果AB，那么P（A）≤P（B）.性质6

设A，B是随机试验中的两个事件，我们有P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）.

例题巩固

例11

从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=.那么

（1）C=“抽到红花色”，求P(C)；

（2）D=“抽到黑花色”，求P(D).

解:

（1）因为C=A∪B，

且A与B是互斥事件.

请按下暂停键，思考后再听讲哦！

P(C)=P(A)+P(B)

（2）因为C与D互斥，且C∪D为必然事件，所以C与D互为对立事件.

P(D)=1-P(C)例题巩固

例12

为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖得饮料.若从一箱中随机取出2罐，能中奖的概率为多少？

分析：“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况.如果设A=“中奖”，A1=“第一罐中奖”，A2=“第二罐中奖”，那么就可以通过事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题.

请按下暂停键，思考后再听讲哦！例题巩固

解：设事件A=“中奖”，事件A1=“第一罐中奖”，事件A2=“第二罐中奖”，那么事件A1A2=“两罐都中奖”，A1A2=“第一罐中奖，第二罐不中奖”，A1A2=“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且A=A1A2∪A1A2∪A1A2又因为A1A2，A1A2，A1A2互斥，由互斥事件的概率加法公式，可得

样本空间包含的样本点个数为n(Ω)=30，且每个样本点都是等可能的.P(A)=P(A1A2)+P(A1A2)+P(A1A2)n(A1A2)=2，n(A1A2)=8，n(A1A2)=8P(A)=.例题巩固

注意到事件A的对立事件为“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于A1A2=“两罐都不中奖”，而n(A1A2)=12，所以P(A1A2)=.因此P(A)=1-P(A1A2)=.课堂小结1.我们是从哪些角度研究概率的基本性质？

一个具体事件的概率是一个度量值.考虑所有事件的概率，可以把它看成以事件为自变量，在[0，1]上取值的函数.所以，可以类比函数的性质，研究概率的取值范围、特殊事件的概率、概率的单调性，类比几何度量（长度或面积），研究概率的加法公式等.

请按下暂停键，思考后再听讲哦！课堂小结2.在探究过程中，采用什么方法研究概率的性质？

从概率的定义出发，通过具体的例子，采用由特殊到一般的