2023-2024学年安徽亳州利辛县阚疃金石中学高考仿真卷数学试卷含解析

2023-2024学年安徽亳州利辛县阚疃金石中学高考仿真卷数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点，是函数的函数图像上的任意两点，且在点处的切线与直线AB平行，则()A．，b为任意非零实数 B．，a为任意非零实数C．a、b均为任意实数 D．不存在满足条件的实数a，b2．已知边长为4的菱形，，为的中点，为平面内一点，若，则（）A．16 B．14 C．12 D．83．已知全集，集合，则（）A． B． C． D．4．已知复数为虚数单位），则z的虚部为（）A．2 B． C．4 D．5．设为虚数单位，复数，则实数的值是（）A．1 B．-1 C．0 D．26．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．47．已知函数，若恒成立，则满足条件的的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．38．已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．9．已知命题若，则，则下列说法正确的是（）A．命题是真命题B．命题的逆命题是真命题C．命题的否命题是“若，则”D．命题的逆否命题是“若，则”10．一个频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本在、内的数据个数共有（）A． B． C． D．11．已知复数满足，则（）A． B． C． D．12．已知集合,，则A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的左右焦点为，过作轴的垂线与相交于两点，与轴相交于.若，则双曲线的离心率为_________.14．在中，已知，则的最小值是________．15．过抛物线C：（）的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若，则l的斜率为______.16．已知均为非负实数，且，则的取值范围为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列是各项均为正数的等比数列，数列为等差数列，且，，.（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）设为数列的前项和，若对于任意，有，求实数的值.18．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为.（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程及的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到距离的取值范围.19．（12分）如图，三棱台中，侧面与侧面是全等的梯形，若，且.（Ⅰ）若，，证明：∥平面；（Ⅱ）若二面角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20．（12分）已知.（1）若曲线在点处的切线也与曲线相切，求实数的值；（2）试讨论函数零点的个数.21．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性并指出相应单调区间；（2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围．22．（10分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利50元，未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开学季进了160盒该产品，以（单位：盒，）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润.（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的平均数和众数；（2）将表示为的函数；（3）以需求量的频率作为各需求量的概率，求开学季利润不少于4800元的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

求得的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得，为任意非零实数.【详解】依题意，在点处的切线与直线AB平行，即有，所以，由于对任意上式都成立，可得，为非零实数.故选：A【点睛】本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题．2、B【解析】

取中点，可确定；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得，利用可求得结果.【详解】取中点，连接，，，即.，，，则.故选：.【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解.3、D【解析】

根据函数定义域的求解方法可分别求得集合，由补集和交集定义可求得结果.【详解】，，，.故选：.【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.4、A【解析】

对复数进行乘法运算，并计算得到，从而得到虚部为2.【详解】因为，所以z的虚部为2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意.5、A【解析】

根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得的值.【详解】复数，由复数乘法运算化简可得，所以由复数定义可知，解得，故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.6、A【解析】

由倾斜角的余弦值，求出正切值，即的关系，求出双曲线的离心率.【详解】解：设双曲线的半个焦距为，由题意又，则，，，所以离心率，故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题7、C【解析】

由不等式恒成立问题分类讨论：①当，②当，③当，考查方程的解的个数，综合①②③得解．【详解】①当时，，满足题意，②当时，，，，，故不恒成立，③当时，设，，令，得，，得，下面考查方程的解的个数，设（a），则（a）由导数的应用可得：（a）在为减函数，在，为增函数，则（a），即有一解，又，均为增函数，所以存在1个使得成立，综合①②③得：满足条件的的个数是2个，故选：．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.8、B【解析】

由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用即可得解.【详解】平面，底面是边长为2的正方形，如图建立空间直角坐标系，由题意：，，，，，为的中点，.，，，异面直线与所成角的余弦值为即为.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.9、B【解析】

解不等式，可判断A选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】解不等式，解得，则命题为假命题，A选项错误；命题的逆命题是“若，则”，该命题为真命题，B选项正确；命题的否命题是“若，则”，C选项错误；命题的逆否命题是“若，则”，D选项错误．故选：B．【点睛】本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题.10、B【解析】

计算出样本在的数据个数，再减去样本在的数据个数即可得出结果.【详解】由题意可知，样本在的数据个数为，样本在的数据个数为，因此，样本在、内的数据个数为.故选：B.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.11、A【解析】

根据复数的运算法则，可得，然后利用复数模的概念，可得结果.【详解】由题可知：由，所以所以故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.12、D【解析】

因为,,所以,,故选D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由已知可得，结合双曲线的定义可知，结合，从而可求出离心率.【详解】解：,，又，则.，，，即解得，即.故答案为:.【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的性质.本题的关键是根据几何关系，分析出.关于圆锥曲线的问题，一般如果能结合几何性质，可大大减少计算量.14、【解析】分析：可先用向量的数量积公式将原式变形为：，然后再结合余弦定理整理为，再由cosC的余弦定理得到a，b的关系式，最后利用基本不等式求解即可.详解：已知，可得，将角A,B,C的余弦定理代入得，由，当a=b时取到等号，故cosC的最小值为.点睛：考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能正确转化是解题关键.属于中档题.15、【解析】

分别过A，B，N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，，根据抛物线定义和求得，从而求得直线l的倾斜角.【详解】分别过A，B，N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，，由抛物线的定义知，，，因为，所以，所以，即直线的倾斜角为，又直线与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为，.故答案为：【点睛】此题考查抛物线的定义，根据已知条件做出辅助线利用抛物线定义和几何关系即可求解，属于较易题目.16、【解析】

设,可得的取值范围,分别利用基本不等式和，把用代换,结合的取值范围求关于的二次函数的最值即可求解.【详解】因为,，令，则,因为,当且仅当时等号成立,所以,,即,令则函数的对称轴为,所以当时函数有最大值为,即．当且，即，或，时取等号；因为,当且仅当时等号成立,所以,令,则函数的对称轴为,所以当时,函数有最小值为,即，当,且时取等号，所以.故答案为:【点睛】本题考查基本不等式与二次函数求最值相结合求代数式的取值范围;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;基本不等式:和的灵活运用是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）（3）【解析】

（1）假设公差，公比，根据等差数列和等比数列的通项公式，化简式子，可得，，然后利用公式法，可得结果.（2）根据（1）的结论，利用错位相减法求和，可得结果.（3）计算出，代值计算并化简，可得结果.【详解】解：（1）依题意：，即，解得：所以，（2），，，上面两式相减，得：则即所以，（3），所以由得，，即【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，以及利用错位相减法求和，属基础题.18、（1），.（2）【解析】

（1）根据直线的参数方程为（为参数），消去参数，即可求得的的普通方程，曲线的极坐标方程为，利用极坐标化直角坐标的公式:，即可求得答案；（2）的标准方程为，圆心为，半径为，根据点到直线距离公式，即可求得答案.【详解】（1）直线的参数方程为（为参数），消去参数的普通方程为.曲线的极坐标方程为，利用极坐标化直角坐标的公式:的直角坐标方程为.（2）的标准方程为，圆心为，半径为圆心到的距离为，点到的距离的取值范围是.【点睛】本题解题关键是掌握极坐标化直角坐标的公式和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19、(Ⅰ)见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)连接，由比例可得∥，进而得线面平行；（Ⅱ）过点作的垂线，建立空间直角坐标系，不妨设，则求得平面的法向量为，设平面的法向量为，由求二面角余弦即可.试题解析：（Ⅰ）证明：连接，梯形，,易知：；又，则∥；平面，平面，可得：∥平面；（Ⅱ）侧面是梯形，，,,则为二面角的平面角，；均为正三角形，在平面内，过点作的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设，则,故点，；设平面的法向量为，则有：；设平面的法向量为，则有：；，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.20、（1）（2）答案不唯一具体见解析【解析】

（1）利用导数的几何意义，设切点的坐标，用不同的方式求出两种切线方程，但两条切线本质为同一条，从而得到方程组，再构造函数研究其最大值，进而求得；（2）对函数进行求导后得，对分三种情况进行一级讨论，即，，，结合函数图象的单调性及零点存在定理，可得函数零点情况.【详解】解:（1）曲线在点处的切线方程为，即.令切线与曲线相切于点，则切线方程为，∴，∴，令，则，记，于是，在上单调递增，在上单调递减，∴，于是，.（2），①当时，恒成立，在上单调递增，且，∴函数在上有且仅有一个零点；②当时，在R上没有零点；③当时，令，则，即函数的增区间是，同理，减区间是，∴.ⅰ）若，则，在上没有零点；ⅱ）若，则有且仅有一个零点；ⅲ）若，则.，令，则，∴当时，单调递增，.∴又∵，∴在R上恰有两个零点，综上所述，当时，函数没有零点；当或时，函数恰有一个零点；当时，恰有两个零点.【点睛】本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识，求解切线有关问题时，一定要明确切点坐标.以导数为工具，研究函数的图象特征及性质，从而得到函数的零点个数，此时如果用到零点存在定理，必需说明在区间内单调且找到两个端点值的函数值相乘小于0，才算完整的解法.21、（1）答案见解析（2）【解析】

（1）先对函数进行求导得，对分成和两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；（2）对函数求导得，从而有，，，三个方程中利用得到.将不等式的左边