连续动态系统

连续动态系统3.1连续动态系统的数学描述系统分类：连续与离散，静态与动态，线性与非线性系统科学中迄今成熟的主要是线性系统理论系统科学重点研究非线性系统是处理非线性问题的一种方法论第2页,共22页，2024年2月25日，星期天线性动态系统

能够用线性数学模型描述的系统称为线性系统其基本特性满足叠加原理加和性齐次性线性连续动态系统的数学模型为线性常微分方程第3页,共22页，2024年2月25日，星期天线性连续动态系统的数学模型一般形式。。。第4页,共22页，2024年2月25日，星期天

模型方法隐含的一个假定是，只要动力学方程合理，就认为一切有关系统行为特性的信息都包含于其中

对于线性系统最理想的处理方法是求方程的解析解，只要求得方程的解析解，就可以把我系统的全部行为特性第5页,共22页，2024年2月25日，星期天非线性动态系统

不满足加和性和齐次性要求非线性函数关系有无穷多种定性性质不同的可能形态，不可能由一种或几种形式简单变换产生出来这种特点是现实系统无限多样性、差异性和复杂性的主要根源第6页,共22页，2024年2月25日，星期天非线性连续系统的动力学方程

一般形式。。。第7页,共22页，2024年2月25日，星期天

（1）自由系统与强迫系统演化方程包含外来作用项成为强迫系统：（2）自治系统与非自治系统演化方程包含时间t的是非自治系统第8页,共22页，2024年2月25日，星期天非线性系统的研究方法（1）解析法某些特殊情形下非线性函数方程可以获得解析解（2）几何方法主要用于分析系统的定性性质，从方程的结构和参数中直接提取系统的定性信息。庞加莱——微分方程定性理论（3）数值计算法使用计算机进行数值计算，求得方程的近似解第9页,共22页，2024年2月25日，星期天非线性因素是系统产生多样性、奇异性和复杂性的根源，而线性系统忽略了非线性因素，所以只适用于分析局部性质，不能用于大范围系统问题线性理论是非线性理论必要的基础性知识准备，其结论和方法对于解决非线性问题有重要应用。此外，非线性问题的本质常常需要在线性问题的比较中才能深入理解

第10页,共22页，2024年2月25日，星期天3.2轨道、暂态、定态非线性动力学方程获得解析解的情形极少，求解析解不是处理非线性问题的普适方法对于一般非线性系统可行的方法是定性描述，即在状态空间和参量空间中用几何方法等定性手段来研究从系统演化的角度看，重要的不是了解系统的定量性质，而是定性性质。第11页,共22页，2024年2月25日，星期天状态空间和参量空间1.由系统所有状态构成的集合成为系统的状态空间，又称相空间。空间的每个点称为状态点或相点。（x1,x2,...，xn)代表系统的一个具体状态或相，n是维数2.以控制参量c1,c2,...cm为坐标轴构造的m维空间，称为参量空间在状态空间和参量空间中描述系统，统称为状态空间方法第12页,共22页，2024年2月25日，星期天暂态与定态

系统在某个时刻可能达到但不借助外力就不能保持或回归的状态称为暂态系统到达后若无外部作用驱使将保持不变的状态或反复回归的状态称为定态状态空间几乎全是暂态点，定态只是其中极其微小的一部分ABC第13页,共22页，2024年2月25日，星期天定态包括：（1）平衡态数学上的不动点（2）周期态方程的周期解（3）拟周期态（4）混沌态

第14页,共22页，2024年2月25日，星期天初态与终态系统行为过程的起始时刻t0的系统状态称为系统的初始状态终了时刻t∞到达的状态称为系统的终态第15页,共22页，2024年2月25日，星期天3.3稳定性稳定性是系统的一种重要维生机制，稳定性越好，系统的维生能力越强新系统只有具备稳定性机制，才能保持刚刚建立起来的结构和特性，避免昙花一现稳定性问题是动态系统理论的首要问题第16页,共22页，2024年2月25日，星期天

稳定性的数学定义1.李雅普诺夫定义的稳定性（1）令Ф（t）是向量微分方程的一个解，X(t)为任何初态扰动X0=X（t0)引起的饥饿。如果对于给个足够小的ε>0，总有δ（ε）>0，使得只要在t=t0是满足就有对所有t>=t0成立，则这个解是稳定的。（2）设解X=Ф（t）是稳定的，并且则称这个解是渐进稳定的第17页,共22页，2024年2月25日，星期天2.庞加莱定义的稳定性（1）令Γ为动力学方程解Φ（t）对所有t定义的轨道，为解X（t）对所有t定义的轨道。如果对于任ε>0，存在δ（ε）>0，使得只要对某个成立，就存在某个X（t’）使得对所有t>0成立，则称是轨道稳定的（2）如果当t是，Γ'趋向于Γ，就成轨道是渐进稳定的第18页,共22页，2024年2月25日，星期天线性系统的稳定性由于线性系统方程存在一般解法，可以直接分析方程解来确定系统稳定与否，以及对稳定性的定量刻画依据特征值来判别稳定性对线性系统普遍适用：特征根一般为复数λk=Rk+iIk(1)如果所有特征根的实部是负数，系统是渐进稳定的(2)至少有一个λ的实部为正数时，系统是不稳定的(3)所有λ的实部均为非正数，但至少一个为0时，系统可能稳定，也可能不稳定第19页,共22页，2024年2月25日，星期天非线性系统的稳定性非线性系统由某个解的稳定与否一般不能断定其他解的稳定与否，所以只能讨论某个解的稳定与否，不能一般的讨论系统的稳定与否李雅普诺夫第一方法：当考察的是局部稳定性时，如果系统演化方程满足连续光滑性要求，在给定点的附近把方程组展开，略去最高次，得到一个同维的线性方程组，以此线性系统的稳定性判定非线性系统的局部稳定性第20页,共22页，2024年2月25日，星期天

李雅普诺夫直接方法：不解方程，直接根据方程的结构和参数提取有关系统稳定性的信息。具体思路是构造一