高一教案集合与函数

课题名称函数及其表示学科数学年级高一学校雷锋中学课时时长（分钟）120分钟知识点集合与函数概念教学目标1、了解集合的集合含义与性质．2、掌握集合的表示方法和基本关系及基本运算．3、了解函数的概念及其表示法，4、函数的基本性质。教学重点函数的基本性质教学难点函数的基本性质教学内容第一部分知识梳理第二部分例题精讲一、向量的概念【例1】判断下列各命题是否正确．(1)零向量没有方向；(2)若|a|＝|b|，则a＝b；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)如果a∥b，b∥c，那么a∥c；(6)若a＝b，b＝c，则a＝c；(7)若四边形ABCD是平行四边形，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))；(8)a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.二、向量的线性运算【例2－1】在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线AD交边BC于D，已知AB＝3，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，则AD的长为()．A．1 B.eq\r(3) C．2eq\r(3) D．3【例2－2】如图所示，已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，eq\o(OE,\s\up6(→))＝e，eq\o(OF,\s\up6(→))＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：(1)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)).方法提炼1．平面向量的线性运算法则的应用三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量的和用平行四边形法则，差用三角形法则．2．两个重要结论(1)向量的中线公式：若P为线段AB的中点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．(2)向量加法的多边形法则eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).提醒：当两个向量共线(平行)时，三角形法则同样适用．向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但当两个向量共线(平行)时，平行四边形法则就不适用了．三、向量的共线问题【例3－1】设e1，e2是两个不共线向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若eq\o(BF,\s\up6(→))＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．【例3－2】设两个非零向量a与b不共线．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．方法提炼1．向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．提醒：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上．以向量为背景的新定义问题【典例】设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若eq\o(A1A3,\s\up6(→))＝λeq\o(A1A2,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(A1A4,\s\up6(→))＝μeq\o(A1A2,\s\up6(→))(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，则称A3，A4调和分割点A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是()．A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上解析：由eq\o(A1A3,\s\up6(→))＝λeq\o(A1A2,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(A1A4,\s\up6(→))＝μeq\o(A1A2,\s\up6(→))(μ∈R)知：四点A1，A2，A3，A4在同一条直线上，且不重合．因为C，D调和分割点A，B，所以A，B，C，D四点在同一直线上，设eq\o(AC,\s\up6(→))＝ceq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝deq\o(AB,\s\up6(→))，则eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2，选项A中c＝eq\f(1,2)，此时d不存在，故选项A不正确；同理选项B也不正确；选项C中，0＜c＜1,0＜d＜1，eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＞2，也不正确，故选D.答案：D答题指导：1．可通过特例、验证等方法理解新定义问题．2．化生为熟、化新为旧，设法把新定义问题转化为熟悉的问题来解决．3．“按规则办事”，新定义问题怎么规定，就怎么办．一、平面向量基本定理的应用【例1】已知梯形ABCD，如图所示，2eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，M，N分别为AD，BC的中点．设eq\o(AD,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e2，试用e1，e2表示eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→)).方法提炼应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．二、平面向量的坐标运算【例2】已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.提炼1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而使几何问题可转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．提醒：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标与点A的坐标相同．三、平面向量共线的坐标表示【例3－1】已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()．A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C．1 D．2【例3－2】已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．方法提炼向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．提醒：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为：x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等．忽视平行四边形的种类而丢解【典例】已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．正解：如图所示，设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，D(x，y)．(1)若四边形ABCD1为平行四边形，则eq\o(AD1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，而eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(x＋1，y)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，－5)．由eq\o(AD1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝－2，,y＝－5.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－5.))∴D1(－3，－5)．(2)若四边形ACD2B为平行四边形，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD2,\s\up6(→)).而eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4,0)，eq\o(CD2,\s\up6(→))＝(x－1，y＋5)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝4，,y＋5＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－5.))∴D2(5，－5)．(3)若四边形ACBD3为平行四边形，则eq\o(AD3,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)).而eq\o(AD3,\s\up6(→))＝(x＋1，y)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2,5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝2，,y＝5.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.))∴D3(1,5)．综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1,5)．答题指导：1．本题考查向量坐标的基本运算，难度中等，但错误率较高，典型错误是忽视了分类讨论．此外，有的学生不知道运用平行四边形的性质，找不到解决问题的切入口．2．向量本身就具有数形结合的特点，所以在解决此类问题时，要注意画图，利用数形结合的思想求解第三部分课堂精炼1．给出下列命题：(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．(3)λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．(4)λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为()．A．1 B．2 C．3 D．42．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于()．A．a B．b C．c D．03．已知△ABC和点M满足Meq\o(A,\s\up6(→))＋Meq\o(B,\s\up6(→))＋Meq\o(C,\s\up6(→))＝0，若存在实数m使得Aeq\o(B,\s\up6(→))＋Aeq\o(C,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，则m＝()．A．2 B．3 C．4 D．54．(2012四川高考)设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是()．A．|a|＝|b|且a∥b B．a＝－bC．a∥b D．a＝2b5．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？二．平面向量的基本定理及坐标运算1．(2012大纲全国高考)△ABC中，AB边的高为CD，若eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝()．A.eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b B.eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)bC.eq\f(3,5)a－eq\f(3,5)b D.eq\f(4,5)a－eq\f(4,5)b2．在△ABC中，点P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，点Q是AC的中点，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1,5)，则eq\o(BC,\s\up6(→))等于()．A．(－6,21) B．(－2,7)C．(6，－21) D．(2，－7)3．设a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx，\f(3,4)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)cosx))，且a∥b，则锐角x等于()．A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,3) D.eq\f(5π,12)4．已知直角坐标平面内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使得平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是__________．基础梳理自测知识梳理1．大小方向模长度00为1个单位方向相同或相反的非零平行相等相同相等相反2．b＋aa＋(b＋c)|λ|·|a|相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb3．存在唯一的实数λ，使b＝λa考点探究突破【例1】解：(1)不正确，零向量方向是任意的；(2)不正确；两向量模相等．方向不一定相同；(3)不正确；要看向量方向是否相同；(4)不正确；(5)不正确；(6)正确；(7)不正确；(8)不正确，a∥b，两向量方向不一定相同．【例2－1】C解析：如图所示，因为B，D，C三点共线，所以λ＋eq\f(1,3)＝1，即λ＝eq\f(2,3).在AB上取一点E使＝eq\f(2,3)，在AC上取一点F使＝eq\f(1,3)，由＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝＋，可知四边形AEDF为平行四边形，又∠BAD＝∠CAD＝30°，所以▱AEDF为菱形．因为＝eq\f(2,3)，AB＝3，所以菱形的边长为2.在△ADF中，eq\f(AD,sin120°)＝eq\f(DF,sin30°)，所以AD＝sin120°·eq\f(DF,sin30°)＝2eq\r(3).故选C.【例2－2】解：(1)－＝＝－＝d－b.(2)＋＝－＋＋＝b－a－c＋f.【例3－1】解：(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵＝2e1－8e2，∴＝2，又有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)由(1)可知＝e1－4e2，且＝3e1－ke2，由B，D，F三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,－k＝－4λ，))解得k＝12，∴k＝12.【例3－2】(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.∴与共线．∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)解：∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝(λk－1)＝0.∴k＝±1.演练巩固提升1．C解析：(1)错，两向量共线要看其方向而不是起点与终点；(2)对，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；(3)错，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0；(4)错．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．2．D解析：∵a＋b与c共线，∴存在实数λ1，使得a＋b＝λ1c.①又∵b＋c与a共线，∴存在实数λ2，使得b＋c＝λ2a.②由①得，b＝λ1c－a.∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＋1＝0，,λ2＝－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－1，,λ2＝－1.))∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.3．B解析：由已知条件可得M为△ABC的重心，设BC的中点为D，则＋＝2，又＝eq\f(2,3)，故m＝3.4．D解析：若eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，则向量eq\f(a,|a|)与eq\f(b,|b|)是方向相同的单位向量，所以a与b应共线同向，故选D.5．解：设＝a，＝tb，＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴＝－＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，＝－＝tb－a.要使A，B，C三点共线，则存在实数λ，使＝λ，即－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b＝λtb－λa，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)＝－λ，,\f(1,3)＝λt.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,t＝\f(1,2).))∴当t＝eq\f(1,2)时，三向量终点在同一直线上．基础梳理自测知识梳理1．不共线有且只有λ1e1＋λ2e2不共线的向量e1，e22．(1)(x，y)(x，y)xy(2)向量的坐标3．(2)(x2－x1，y2－y1)终点的坐标减去起点的坐标(3)λbx1y2－x2y1＝0考点探究突破【例1】解：∵2＝，∴2＝e2，∴＝eq\f(1,2)e2.又∵＝＋＋，∴＝－e2＋e1＋eq\f(1,2)e2＝e1－eq\f(1,2)e2.又由＝＋＋，得＝eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)e1＋e2＋eq\f(1,2)(e1－eq\f(1,2)e2)＝eq\f(3,4)e2.【例2】解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))【例3－1】B解析：∵a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，∴a＋λb＝(1,2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)．又∵(a＋λb)∥c，∴eq\f(1＋λ,3)＝eq\f(2,4)，解得λ＝eq\f(1,2).【例3－2】解：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－eq\f(1,2).(2)∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,3＝mλ.))解得m＝eq\f(3,2).演练巩固提升1．D解析：∵a·b＝0，∴a⊥b.又∵|a|＝1，|b|＝2，∴||＝eq\r(5)，∴||＝eq\f(1×2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).∴||＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2)＝eq\f(4\r(5),5).∴＝eq\f(\f(4\r(5),5),\r(5))＝eq\f(4,5)＝eq\f(4,5)(a－b)＝eq\f(4,5)a－eq\f(4,5)b.2．A解析：如图，＝＝－＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，＝＋＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)，＝3＝(－6,21)．3．B解析：∵a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx，\f(3,4)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)cosx))，且a∥b，∴eq\f(1,2)sinxcosx－eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝0，即eq\f(1,4)sin2x－eq\f(1,4)＝0.∴sin2x＝1.又∵x为锐角，∴2x＝eq\f(π,2)，x＝eq\f(π,4).4．{m|m≠－3}解析：要使c＝λa＋μb成立，则只需a与b不共线即可，∴只需满足eq\f(m,1)≠eq\f(2m－3,3)，即3m≠2m－3，∴m≠－3.高一必修一模块一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、集合｛0,1｝的子集有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、下列函数为奇函数的是（）3、已知，则的值为（）A.2B.C.D.4、下列函数中，不满足的函数是（）A.B.C.D.幂函数的图像经过点，则满足的的值为（）A.3B.C.27D.6、设函数，则满足的取值范围是（）A.B.C.D.7、设函数，则下列说法中正确的是（）A.在区间内均有零点.B.在区间内均无零点.C.在区间内有零点，在内无零点.D.在区间内无零点，在内有零点.二、填空：本大题共6小题，每小题5分，满分30分；把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．8、计算9、函数y＝eq\f(1,2x＋1)的值