2019-2020学年人教A版河北省衡水市武邑中学高一第一学期期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷

一、选择题

1.下列四个集合中，是空集的是（）

A.{x|A+3=3}B.{(x,y)|y=-x,x,y£R)

C.{x|fwo}D.{x|x-A+1=0,XGR}

2.若1弧度的圆心角所对的弧长为6,则这个圆心角所夹的扇形的面积是（）

A.3B.6C.18D.9

3.已知数列｛aj是首项初=4,公比°于1的等比数列，且4日，建，-2a成等差数列，则

公比g等于（）

A.—B.-1C.-2D.2

2

4.设向量（1,cos6）与芯=（-1,2cos9）垂直，则cos26等于（）

B

A•券-iC.0D.-1

5.集合5={y|y=3",xGR},T={y\y=^-\,xGR},则SD7是()

A.SB.TC.0D.有限集

1

6.已知函数f(x)={，那么7F（M2）的值是（）

lnx,x>l

A.0B.1C.In(M2)D.2

7.幕函数的图象过点（2,1）,则它的单调递增区间是（）

A.(0,+oo)B.[0,+8)C.(一8,0)D.(-8,+oo)

8.已知a=,0.3,b=203,c=0.3°2,则a,b,c三者的大小关系是（）

A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a

9.函数尸（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，5（x）=-A+1,则当xVO时，2（x）

等于（）

A.-A+1B.-x-1C.A+1D.x-1

=

10.21og6Iog6'?/3()

2

A.1B.0C.6D.Iog—

63

11.已知x,yFR,且547-~5'+7二则()

A.4)X<4)yB.X02

C.3W3'D.logj_xylc

22

12.如果函数A(x)对任意的实数x,都有2(x)=f(1-x),

log2(3x-1),那么函数A(x)在［-2,0］的最大值为(

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

13.已知函数r(2A+1)=4X,则f(5)=.

14.在图中，G、H、M、〃分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线袱腑是异

面直线的图形有.(填上所有正确答案的序号)

H

15.在三棱锥P-4%中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=A/11，则三棱锥P-48C的外接

球的表面积为.

16.某同学在研究函数f(x)=—―(xGR)时，分别给出下面几个结论：

①等式fx)=-f(x)在xGR时恒成立；

②函数2(X)的值域为(-1,1)；

③若木手及，则一定有f(X、)#=f(.X2,)；

④方程2(x)=x在R上有三个根.

其中正确结论的序号有.(请将你认为正确的结论的序号都填上)

三.解答题：(共80分.写出必要的文字说明、过程、步骤)

17.已知/i：/的+6=0,/2:(.m-2)A+3y+2/w=0,分别求m的值，使得4和/2:

(1)垂直;

(2)平行；

(3)重合；

(4)相交.

18.设全集Q/?,集合/={x|2—e1},B={x\x-4x-5<0].

(I)求/D5,(C/)U(CUB);

(II)设集合餐｛x|府1VxV2〃-1｝,若Bnc=c,求实数)的取值范围.

19.如图，在三棱柱48C-48G中，侧棱44i_L底面48C,AC=3,BC=4,AB=5,AA^=4,

点。是48的中点.

(I)求证：4G〃平面GDBy

(II)求证：ACLBG

(III)求直线45与平面即CC所成的角的正切值.

20.已知函数f(x)=log,(A+1)-Ioga(1-x),a>0且a#=1.

(1)求,(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)当a>1时，求使尸(x)>0的x的取值范围.

21.已知A(x)=Iog3x.

(1)作出这个函数的图象；

(2)若5(a)<f(2),利用图象求a的取值范围.

22.已知正项数列｛a〃｝的前"项和为£,且当和£满足：4£=(a„+1)2(/7=1,2,3…)，

(1)求｛&｝的通项公式；

(2)设&=-----,求｛4｝的前"项和乙;

an，arH-l

(3)在(2)的条件下，对任意"GN*,都成立，求整数加的最大值.

参考答案

选择题

1.下列四个集合中，是空集的是()

A.{x|x+3=3}B.{(x,y)|y=-x,x,yGR)

C.{x|x^O}D.{x|x2-A+1=O,XGR}

解：根据题意，由于空集中没有任何元素，对于选项4x=O；

对于选项8,(0,0)是集合中的元素；

对于选项C,由于x=0成立;

对于选项。，方程无解.

故选：D.

2.若1弧度的圆心角所对的弧长为6,则这个圆心角所夹的扇形的面积是()

A.3B.6C.18D.9

解：由1弧度的圆心角所对的弧长为6,利用弧度定义得&=工，

r

所以r=6,

所以S=—/<=—•6*6=18.

22

故选：C.

3.已知数列{&}是首项留=4,公比g丰1的等比数列，且4台，%,-2a成等差数列，则

公比g等于()

A.—B.-1C.-2D.2

2

解：•.•数列{a.}是首项3=4,公比牛#1的等比数列，且4a“全，-2备成等差数列，

.\2a5=4ai-2a3,

：.2(4<7)=4X4-2(4</2),

解得q=1(舍)或q=-1.

故选：B.

4.设向量；=(1,cos0)与己=(-1,2cos0)垂直，则cos2。等于()

A.返B.—C.0D.-1

22

解：,.•W=(1,cos0),1=(-1,2cos0),且两向量垂直,

]=0,-1+2cos20=0,

则cos20=2cos20-1=0.

故选：C.

5.集合5={y|y=3",xGR},T={y\y=^-},xGR},贝SD7是()

A.SB.TC.0D.有限集

解：由集合S中的函数y=3'>0,得到集合5=bdy>0};

由集合7■中的函数y=f得到集合r={y|y>-1},

贝"5DT=S.

故选：A.

x--i

6.已知函数f(x)=(,那么/(/成)的值是()

lnx,x>l

A.0B.1C.In(/〃2)D.2

解：V//72<1,：.f(//72)=e/n2-1=2-1=1,

故选：B.

7.赛函数的图象过点(2,-),则它的单调递增区间是()

4

A.(0,+8)B.[0,+8)C.(-8,0)D.(-OO,+8)

解：设赛函数f(x)=x,

则2'=工，得a=-2;

4

(x)=x2

.I它的单调递增区间是(-8,0).

故选：C.

8.已知且=而§,2>=203,c=0.3°2,则a,b,c三者的大小关系是()

A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a

解：,••g=0・37co.3°-2<1<2°-3，

故选：A.

9.函数2(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=-A+1,则当xVO时，f(x)

等于()

A.-A+1B.-X-\C.A+1D.x-1

解：设xVO,则-x>0,

,当x>0时，f(x)=-A+1,/.f(-x)=A+1

又•.,r(x)是定义在R上的奇函数，

.../(x)=-f(-x)=-(A+1)=-x-1

故选：B.

=

10.21og6Iog6\［2()

2

A.1B.0C.6D.Iog6-1

o

,r23

解：2log6；2<-3log6^/3=log6(V2)+log6

=Iog62+1og63=Iog66=1.

故选：A.

11.已知x,ySR,且5*+7-"W5"+77,则()

A.B.

C.3，W3"D.logj_x<logj

22

解：•函数y=5*-7-'为增函数，

.•.5'+77W5'+77,即5,-77W5"-7:可得后y,

：.A,B,〃错误，C正确，

故选：C.

12.如果函数f(x)对任意的实数x,都有f(x)=f(1-x),且当x

log2(3x-1),那么函数f(x)在［-2,0］的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

解：函数f（X）对任意的实数X,都有f（x）=2（1-X）,

可得r（X）的图象关于直线x=£对称，

当x■时，f（x）=Iog2（3x-1）,且为递增函数，

可得xV告时，5（x）为递减函数，

函数A（x）在［-2,0］递减，可得"-2）取得最大值，

由2(-2)=5(3)=log2(9-1)=3,

则"x）在［-2,0］的最大值为3.

故选：C.

二、填空题：（每小题5分，共20分）

13.已知函数r(2A+1)=4x,则f(5)=16.

解：已知函数尸(2A+1)=4X,令1=2A+1,贝"x=±L故有r(力)=4(上L

2,2

故f(5)=4(5-L)2=)6,

'2'

故答案为16.

14.在图中，G、H、M、”分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线皈腑是异

面直线的图形有（2）、（4）.（填上所有正确答案的序号）

【解答】解析：如题干图（1）中，直线〃的；

图（2）中，G、H、〃三点共面，但腑面GHN,因此直线0/与掰V异面;

图（3）中，连接断?，GM//HN,因此，加与做共面；

图（4）中，G、M、〃共面，但肉面GMN,二郎/与独异面.

所以图（2）、（4）中断与做异面.

故答案为：（2）、（4）

15.在三棱锥户-4仇7中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=V11，则三棱锥P-48c的外接

球的表面积为26n.

解：二•三棱锥中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=VT1，

二构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,5,小五，

则长方体的对角线长等于三棱锥P-48C外接球的直径.

设长方体的棱长分别为x,y,z,则f+/=16,y+z=25,x+z2=11,

：.x+y+z=26

三棱锥夕-48C外接球的直径为每，

...三棱锥Q-48C外接球的表面积为4n•（壮生）2=26n.

故答案为：26n.

16.某同学在研究函数f(x)=——(xGR)时，分别给出下面几个结论：

1+lx|

①等式，(-x)=-f(x)在x£R时恒成立；

②函数f(%)的值域为(-1,1);

③若¥手工2,则一定有f(%1)#=f(x2)；

④方程r(x)=x在R上有三个根.

其中正确结论的序号有①②③.(请将你认为正确的结论的序号都填上)

解：对于①，任取x£R,都有，(-x)=--,A,=---r5(x),...①正确;

l+|-x|l+l：

对于②，当x>0时，f(%)=-^-=1--e(0,1),

1+x1+x

根据函数5(x)的奇偶性知xVO时，f(x)e(-1,0),

且x=0时，f(x)=0,f(x)G(-1,1),②正确;

1

对于③，则当x>0时，f(x)=］二，

由反比例函数的单调性知，f(x)在(0,+8)上是增函数,

再由f(x)的奇偶性知，f(x)在(-8,0)上也是增函数,

二汨手X2时，一定有f(%1)=#f(%2),③正确；

对于④，由③知F(x)的图象与尸、只有(0,0)一个交点,

...方程f(x)=*在R上有一个根，④错误.

正确结论的序号是①②③.

故答案为：①②③.

三.解答题：(共80分.写出必要的文字说明、过程、步骤)

17.已知A：/磔+6=0,/2:(.m-2)A+3J<+2OT=0,分别求加的值，使得4和/2:

(1)垂直；

(2)平行；

(3)重合；

(4)相交.

解：若(1)4和“垂直，则〃-2+3行0

••.7177=-1

2

(2)若4和/?平行，则见之=旦力啰

1mm6

・1m^-2m_3:::0

卉±3

:・m=-1

(3)若人和。重合，则匹2△犁

lmb

ttr—3

(4)若，和/2相交，则由(2)(3)可知加#3且加#-1

18.设全集Q/?,集合/={x|2—》1},Q{x|f-4x-5V0}.

(I)求/ns,([5)U([而;

(II)设集合G={x|而1VxV2m-1},若BnC=C,求实数〃的取值范围.

解：(I)..•全集Q/?,集合力={x|2—21}={x|xm1},

8={x\x-4x-5<0}={x|-1<x<5},

.•./nQ{x|lWxV5},

(CM)U([®={%|x<1或x》5}；

(II).集合”{x|府1VxV2。-1},BC\C=C,

：.CtB,

当C=z时，2m-1,

解得后2,

'm+l<2m-1

当存。时，由匿8得卜+1》-1,解得：2V庆3,

.2mT45

综上所述,：加的取值范围是(-8,3].

19.如图，在三棱柱48C-48G中，侧棱〃■!"底面46C,4a3,BC=4,4ff=5,4,=4,

点〃是48的中点.

(I)求证：4G〃平面CDBy

(II)求证：AC2-Ba

(III)求直线48与平面能GC所成的角的正切值.

解：(I)如图：

设BGC&XO,则0为能的中点，连接

；。为48的中点、,：.OD//Aa,

又；a七平面CDB,AG1平面CDB,

二/G〃平面CD民.

(II)•:A@+B@=A南,:.ACLBC.

又；GC〃〃，AAJ底面ABC,:CL氐面ABC,：.AC±CG.

又senca=c,rjcj•平面BC&&,

而BGu平面BCCyR,：.AC2.Ba.

(Ill)由(II)得ACL平面&BCG,

...直线SC是斜线48在平面8BCG上的射影,

二N/SC是直线48与平面88CG所成的角，

在A7A/5C中，&0=4近,AC=3,

20.已知函数f(x)=log,(A+1)-Ioga(1-x),a>0且a#1.

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断尸(x)的奇偶性并予以证明；

(3)当a>1时，求使尸(x)>0的x的取值范围.

(x+l>0

解：(1)A(x)=1阳(妙1)-log,(1-x)，则.解得-1VxV1.

故所求定义域为｛x|-1VxV1｝.

(2)/(x)为奇函数

由(1)知/(x)的定义域为｛x|-1VxV1｝,

且f(-X)=loga(-A+1)-loga(1+x)=-[IOga(A+1)-IOga(1-X)]=-A(X)