高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用8省公开课一等奖新名师获奖PP

用向量法求空间角立体几何中向量方法1/39空间的角直线与平面所成角直线与平面所成角平面与平面所成角平面与平面所成角异面直线所成角异面直线所成角2/39异面直线所成角异面直线所成角3/391．空间角及向量求法角分类向量求法范围异面直线所成角设两异面直线所成角为θ，它们方向向量为a，b，则cosθ＝＝

|cos〈a，b〉|4/39例1如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB中点,则对角线DB1与CM所成角余弦值为_____.BC

A

MxzyB1C1D1A1CDABCD5/39解:以A为原点建立如图所表示直角坐标系A-xyz,设正方体棱长为2,则M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),于是,

∴cos<，>=6/39练习7/398/39线面角9/39斜线与平面所成角平面一条斜线和它在这个平面内射影AOB10/39当直线与平面垂直时，直线与平面所成角是90°当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成角是0°

11/39|cos〈a，n〉|12/39步骤：13/39例2：正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长为1,高为，求AC1与侧面ABB1A1所成角zxyC1A1B1ACBO14/39解:建立如图示直角坐标系,则A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,0)设面ABB1A1法向量为n=(x,y,z)由得取y=,得n=(3,,0)而∴∴C1A1B1CAOBxyz15/39答案：C16/3917/3918/39二面角19/39从一条直线出发两个半平面所形成图形叫做二面角这条直线叫做二面角棱从一条直线出发两个半平面所形成图形叫做二面角这条直线叫做二面角棱20/39二面角平面角二面角平面角以二面角棱上任意一点为端点，以二面角棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱两条射线，O这两条射线所成角叫做二面角平面角21/39（3）二面角设n1、n2分别是二面角两个半平面α、β法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β大小与法向量n1、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角大小可转化为求两个平面法向量夹角，这么可防止了二面角平面角作图麻烦.n1n1n2n222/39|cos〈n1，n2〉|[0，π]23/3924/39例3：在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C大小.BzxyABCDS25/39解：建立如图所表示空间直角坐标系O-xyz，则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.设平面SCD法向量n1=(x,y,z),则由

得

n1=(1,1,2).而面SAD法向量n2

=(1,0,0).于是二面角A-SD-C大小θ满足

∴二面角A-SD-C大小为.26/39如图，在底面是直角梯形四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，．求面SCD与面SBA所成二面角余弦值．练习3：SBACDzxy27/39设平面ADBCS28/39aba´b´•onmaba´b´onm•mnnm课堂小结1.异面直线所成角：

29/392.直线与平面所成角：

30/393.二面角：ll31/394、用空间向量处理立体几何问题“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量联络，用空间向量表示问题中包括点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）经过向量运算，研究点、直线、平面之间位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（