随机变量的协方差和相关系数市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

第三节随机变量协方差和相关系数协方差相关系数协方差矩阵相关系数矩阵原点矩、中心矩第1页

前面我们介绍了随机变量数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间关系数字特征，这就是本讲要讨论协方差和相关系数第2页

E[X-EX][Y-EY]称为随机变量X和Y协方差,记为cov(X,Y)，即

一、协方差cov(X,Y)=E[X-EX][Y-EY]=EXY-EXEY1.定义1)当(X,Y)是离散型随机变量时,2)当(X,Y)是连续型随机变量时,第3页(6)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)(5)cov(aX,bY)=abcov(X,Y)a,b是常数(7)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y)(4)cov(aX+b,Y)=acov(X,Y)a,b是常数2.简单性质(3)cov(X,Y)=cov(Y,X)(2)cov(X,X)=D(X)(1)cov(X,C)=0,C为常数；第4页

协方差大小在一定程度上反应了X和Y相互间关系，但它还受X与Y本身度量单位影响.

为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数

.第5页二、相关系数为随机变量X和Y相关系数

.定义:

设D(X)>0,D(Y)>0,称在不致引发混同时，记

为

.第6页相关系数性质：证:由方差性质和协方差定义知,对任意实数b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2bcov(X,Y)令，则上式为

D(Y-bX)=

因为方差D(Y)是正,故必有1≥0,所以|≤1。第7页存在常数a,b(b≠0)，使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1线性相关.第8页3.X和Y独立时，

=0，但其逆不真.因为当X和Y独立时，cov(X,Y)=0,故=0但由并不一定能推出X和Y独立.例1

设X~N(0,1),Y=X2,求X和Y相关系数。证:第9页4.若，则称X和Y（线性）不相关。定理：若随机变量X与Y数学期望和方差都存在，且均不为零，则以下四个命题等价：（1）；（2）cov(X,Y)=0；（3）E(XY)=EXEY；（4）D(X±Y)=DX+DY。注：反应了X与Y线性关系亲密程度；X与Y不相关表明二者没有线性关系，但不等于说没有其它关系。第10页但能够证实对下述情形，独立与不相关等价若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立X与Y不相关若X与Y独立，则X与Y不相关，但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.独立与不相关关系：第11页三、协方差矩阵将二维随机变量（X1,X2）四个数量指标排成矩阵形式:称此矩阵为（X1,X2）协方差矩阵.这是一个非负定对称矩阵第12页

类似定义n维随机变量(X1,X2,…,Xn)协方差矩阵.为(X1,X2,…,Xn)协方差矩阵.都存在,则称(i,j=1,2,…,n)若矩阵这是一个非负定对称矩阵第13页为(X1,X2,…,Xn)相关系数矩阵。都存在,则称(i,j=1,2,…,n)若矩阵四、相关系数矩阵这是一个非负定对称矩阵第14页因为故相关系数矩阵主对角元素均为1.第15页五、原点矩和中心矩定义设X和Y是随机变量，若存在，称它为Xk阶原点矩，简称k阶矩.

存在，称它为Xk阶中心矩.注：均值E(X)是X一阶原点矩,

方差D(X)是X二阶中心矩.第16页注:协方差cov(X,Y)是X和Y二阶混合中心矩.称它为X和Y

k+l阶混合原点矩.若存在，称它