广西壮族自治区柳州市民族高级中学高三数学理摸底试卷含解析

广西壮族自治区柳州市民族高级中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对于函数则下列正确的是（

）A．该函数的值域是[－1，1]B．当且仅当时，该函数取得最大值1C．当且仅当D．该函数是以π为最小正周期的周期函数参考答案：C略2.已知向量∥，则实数的值为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A3.实数(为实数)的共轭复数为A.1

B.－5

C.－1

D.－i参考答案：C4.集合A＝{y∈R|y＝lgx，x>1}，B＝{－2，－1,1,2}，则下列结论中正确的是()A．A∩B＝{－2，－1}

B．(?RA)∪B＝(－∞，0)C．A∪B＝(0，＋∞)

D．(?RA)∩B＝{－2，－1}参考答案：D5.若命题p：，则┑p为()A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为.直径为6的球的体积为，则A.1：2 B.2：27C.1：3 D.4：27参考答案：D7.已知复数在复平面内对应的点在二、四象限的角平分线上，则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2参考答案：A【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用两个复数代数形式的除法法则及虚数单位的幂运算性质，化简复数到最简形式，考查复数对应点所在的位置．【解答】解：化简复数﹣i=﹣1﹣（a+1）i，由题意知

a+1=﹣1，解得a=﹣2．故选A．8.曲线y=在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（

）

A．

B．－

C．

D．参考答案：A9.实数满足,若的最大值为13,则实数的值为（

）A.2

B. C. D.5参考答案：C略10.设为等差数列的前项和，若，公差，，则（

）A．8

B．7

C．6

D．5参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.中国古代数学瑰宝《九章算术》中有这样一道题：“今有堑堵（底面为直角三角形的直棱柱）下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为直角三角形的直棱柱，底面的直角边长宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，则题中的堑堵的外接球的表面积为

平方尺．参考答案：12.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7=．参考答案：49【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质求得a1+a7，再用前n项和公式求得．【解答】解：∵a2+a6=a1+a7∴故答案是49【点评】本题考查等差数列的性质和等差数列前n项和公式．13.已知sin（﹣α）+cos（﹣α）=，则cos（+2α）=．参考答案：﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵sin（﹣α）+cos（﹣α）=，∴1+sin（﹣2α）=，∴sin（﹣2α）=﹣，∴cos（+2α）=sin（﹣2α）=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．14.已知圆C过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为________________.］参考答案：略15.已知f（x）=，x≥0，若f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x）），n∈N+，则f2015（x）的表达式为

．参考答案：【考点】归纳推理；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；推理和证明．【分析】由题意，可先求出f1（x），f2（x），f3（x）…，归纳出fn（x）的表达式，即可得出f2015（x）的表达式【解答】解：由题意f1（x）=f（x）=．f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））==，…fn+1（x）=f（fn（x））=，故f2015（x）=故答案为：．【点评】本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征．16.已知且，则复数对应点在第二象限的概率为（用最简分数表示）参考答案：

17.在数列{an}中，设S0=0，Sn=a1+a2+a3+…+an，其中1≤k≤n，k,n∈N*，当n≤14时，使Sn=0的n的最大值为

．参考答案：12

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC，PA=，PC=2，PB=，E是PC的中点，F是PB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：EF⊥平面PAC；（3）求PC与平面ABC所成角的大小．参考答案：考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题： 计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析： （1）由中位线定理，再由线面平行的判定定理，即可得证；（2）先运用直径所对的角为直角，及勾股定理的逆定理，再由线面垂直的判定定理，证得BC⊥平面PAC，由于EF∥BC，即可得证；（3）运用线面垂直的判定定理，证得PA⊥平面ABC，即∠PCA为PC与平面ABC所成角，通过解直角三角形，即可得到．解答： 证明：（1）在△PBC中，E是PC的中点，F是PB的中点，所以EF∥BC．又BC?平面ABC，EF?平面ABC，所以EF∥平面ABC．（2）因为AB是⊙O的直径，所以BC⊥AC．在Rt△ABC中，AB=2，AC=BC，所以．因为在△PCB中，，，，所以PB2=PC2+BC2，所以BC⊥PC．又PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC．由（1）知EF∥BC，所以EF⊥平面PAC．（3）解：由（2）知BC⊥平面PAC，PA?平面PAC，所以PA⊥BC．因为在△PAC中，，，，所以PC2=PA2+AC2，所以PA⊥AC．又AC∩BC=C，所以PA⊥平面ABC．所以∠PCA为PC与平面ABC所成角．在Rt△PAC中，，所以∠PCA=，即PC与平面ABC所成角的大小为．点评： 本题考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直，考查线面平行的判定和线面垂直的判定和性质及运用，考查空间直线和平面所成的角的求法，属于中档题．19.

为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换5000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车，今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆：计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入ａ辆．

（1）求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；

（2）若该市计划5年内完成全部更换，求a的最小值．参考答案：20.（12分）已知点在函数的图象上.(1)若数列是等差数列，求证：数列是等比数列；(2)若数列的前项和，过点的直线与两坐标轴所围图形的面积为，求最小的实数，使得对任意的，恒成立.参考答案：(1)略;(2).试题分析：(1)由题设数列的公比为，则对恒成立，依题意的，求得，根据得到数列是等比数列；(2)由(1)求得，进而根据考点：数列与函数的关系，数列的综合应用21.如图，半径为1的半圆O上有一动点B，MN为直径，A为半径ON延长线上的一点，且OA=2，∠AOB的角平分线交半圆于点C．（1）若，求cos∠AOC的值；（2）若A，B，C三点共线，求线段AC的长．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）若，利用向量的数量积公式，即可求cos∠AOC的值；（2）若A，B，C三点共线，可得，利用余弦定理，即可求线段AC的长．【解答】解：（1）设∠AOC=θ，，∴=4+1×2×cos（π﹣2θ）+1×2×cos（π﹣θ）+cosθ=﹣4cos2θ﹣cosθ+6∴﹣4cos2θ﹣cosθ+6=3，∴（舍去）（2）A，B，C三点共线，所以∴∴AC2=1+4﹣2×1×2×cosθ=2，∴．22.（本小题满分12分）如图，四边形PCBM是直角梯形，，∥，．又，，直线AM与直线PC所成的角为．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.参考答案：方法1：（1）∵，∴平面ABC，∴．（4分）（2）取BC的中点N，连MN．∵，∴，∴平面ABC．作，交AC的延长线于H，连结MH．由三垂线定理得，∴为二面角的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为，∴在中，．在中，．在中，．