2024年中考数学考点01 数与式解析版

试卷第=page1010页，共=sectionpages5252页知识必备01数与式方法一：实数计算中的规律问题的解决方法一．选择题（共1小题）1．（2022•牡丹江）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（）A． B．﹣ C． D．﹣【分析】根据给出的数据可以推算出第n个数是×（﹣1）n+1所以第12个数字把n＝12代入求值即可．【解答】解：根据给出的数据特点可知第n个数是×（﹣1）n+1，∴第12个数就是×（﹣1）12+1＝﹣．故选：D．【点评】考查了找规律以及代数式求值问题，关键要读懂题意，能根据题意找到规律并利用规律解决问题．二．填空题（共3小题）2．（2022•怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是744．【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【解答】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有个数．∴前27行共有378个数，∴第27行第21个数是一共378个数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2＝744．故答案为：744．【点评】本题考查了数列的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．3．（2022•鄂尔多斯）按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是．【分析】由所给的数，发现规律为第n个数是，当n＝30时即可求解．【解答】解：∵，，，……，∴第n个数是，当n＝30时，＝＝，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键．4．（2023•甘孜州）有一列数，记第n个数为an，已知a1＝2，当n＞1时，an＝，则a2023的值为2．【分析】分别计算出ai（i为正整数），根据所发现的规律即可解决问题．【解答】解：由题知，a1＝2，，，，…由此可知，．所以a2023＝2．故答案为：2．【点评】本题考查实数计算中的规律，能根据计算出的ai（i为正整数）的值发现规律是解题的关键．方法二：有关实数与数轴的应用题的解决方法一．选择题（共5小题）1．（2023•徐州）如图，数轴上点A、B、C、D分别对应实数a、b、c、d，下列各式的值最小的是（）A．|a| B．|b| C．|c| D．|d|【分析】结合数轴得出a，b，c，d四个数的绝对值大小进行判断即可．【解答】解：由数轴可得点A离原点距离最远，其次是D点，再次是B点，C点离原点距离最近，则|a|＞|d|＞|b|＞|c|，其中值最小的是|c|，故选：C．【点评】本题考查实数与数轴的关系及绝对值的几何意义，离原点越近的点所表示的数的绝对值越小是解题的关键．2．（2023•自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（）A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣【分析】结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案．【解答】解：∵OA＝OB，点A表示的数是2023，∴OB＝2023，∵点B在O点左侧，∴点B表示的数为：0﹣2023＝﹣2023，故选：B．【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．3．（2022•广西）如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，则点A关于原点对称的点表示的数是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【分析】关于原点对称的数是互为相反数．【解答】解：∵关于原点对称的数是互为相反数，又∵1和﹣1是互为相反数，故选：C．【点评】本题考查数轴和相反数的知识，掌握基本概念是解题的关键．4．（2023•杭州）已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中﹣1＜a＜0，0＜b＜1．若a×b＝c，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（）A． B． C． D．【分析】根据a，b的范围，可得a×b的范围，从而可得点C在数轴上的位置，从而得出答案．【解答】解：∵﹣1＜a＜0，0＜b＜1，∴﹣1＜a×b＜0，即﹣1＜c＜0，那么点C应在﹣1和0之间，则A，C，D不符合题意，B符合题意，故选：B．【点评】本题主要考查实数与数轴的关系，结合已知条件求得﹣1＜a×b＜0是解题的关键．5．（2023•菏泽）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）A．c（b﹣a）＜0 B．b（c﹣a）＜0 C．a（b﹣c）＞0 D．a（c+b）＞0【分析】由数轴可得a＜0＜b＜c，然后得出b﹣a，c﹣a，b﹣c，c+b与0的大小关系，再根据有理数乘法法则进行判断即可．【解答】解：由数轴可得a＜0＜b＜c，则b﹣a＞0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，c+b＞0，那么c（b﹣a）＞0，b（c﹣a）＞0，a（b﹣c）＞0，a（c+b）＜0，则A，B，D均不符合题意，C符合题意，故选：C．【点评】本题考查实数与数轴的关系，结合数轴得出b﹣a，c﹣a，b﹣c，c+b与0的大小关系是解题的关键．二．填空题（共2小题）6．（2023•湘潭）数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数有0（答案不唯一）．（写出一个即可）【分析】数轴上到原点的距离小于的点所表示的数为﹣与之间的所有数，然后写出其中的一个整数即可．【解答】解：数轴上到原点的距离小于的点所表示的数为﹣与之间的所有数，则其中的整数为0（答案不唯一），故答案为：0（答案不唯一）．【点评】本题考查实数与数轴的关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．7．（2023•连云港）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，则a+b＜0．（用“＞”“＜”或“＝”填空）【分析】由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用绝对值较大的数减去较小的数即可求得答案．【解答】解：由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，则a+b＜0，故答案为：＜．【点评】本题考查实数与数轴及其加法法则，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．方法三：化简求值问题的解决方法一．整式的混合运算—化简求值（共4小题）1．（2023•长沙）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2＝4﹣a2﹣2a2﹣6a+3a2＝4﹣6a，当a＝﹣时，原式＝4﹣6×（﹣）＝4+2＝6．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．2．（2023•邵阳）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝．【分析】利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a，b的值代入计算即可求解．【解答】解：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2＝a2﹣（3b）2+（a2﹣6ab+9b2）＝a2﹣9b2+a2﹣6ab+9b2＝2a2﹣6ab，当a＝﹣3，时，原式＝＝24．【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＝b2．3．（2022•广西）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝．【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将x、y的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x＝x2﹣y2+y2﹣2y＝x2﹣2y，当x＝1，y＝时，原式＝12﹣2×＝0．【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式混合运算的运算法则，注意平方差公式的应用．4．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9＝2x2﹣6x﹣7，∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴2x2﹣6x＝﹣2，∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则、灵活运用整体思想是解题的关键．二．分式的化简求值（共14小题）5．（2023•湘潭）先化简，再求值：（1+）•，其中x＝6．【分析】利用分式的运算法则将分式进行化简，然后代入已知数据进行计算即可．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝6时，原式＝＝2．【点评】本题考查分式的化简求值，将分式化简为是解题的关键．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．【点评】本题考查的是分式的化简求值、实数的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．7．（2023•黑龙江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中m＝tan60°﹣1．【分析】利用分式的运算法则先化简分式，再代入特殊角的函数值确定m，最后利用二次根式的性质得结论．【解答】解：原式＝÷＝×＝．当m＝tan60°﹣1＝﹣1时，原式＝＝＝．【点评】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则及特殊角的函数值是解决本题的关键．8．（2023•湘西州）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣1．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，最后把a的值代入计算即可．【解答】解：＝＝＝a+1，当时，原式＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（2023•鞍山）先化简，再求值：（+1），其中x＝4．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：（+1）＝•＝•＝，当x＝4时，原式＝＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．10．（2023•宿迁）先化简，再求值：，其中．【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．【解答】解：＝＝＝x﹣1，当时，原式＝．【点评】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．11．（2023•辽宁）先化简，再求值：÷﹣，其中m＝2．【分析】先对原式进行化简，然后把m的值代入化简后的算式进行计算即可．【解答】解：原式＝＝＝，∴当m＝2时，原式＝．【点评】本题考查分式的应用，熟练掌握分式化简求值的方法和步骤是解题关键．12．（2023•牡丹江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝sin30°．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：（1﹣）÷＝•＝•＝x+1，当x＝sin30°＝时，原式＝+1＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．13．（2023•营口）先化简，再求值：（m+2+）•，其中m＝+tan45°．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：（m+2+）•＝•＝•＝•＝﹣2（3+m）＝﹣6﹣2m，当m＝+tan45°＝4+1＝5时，原式＝﹣6﹣2×5＝﹣6﹣10＝﹣16．【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．14．（2023•恩施州）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣2．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：÷（1﹣）＝÷＝•＝﹣，当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．15．（2023•鄂州）先化简，再求值：﹣，其中a＝2．【分析】先利用分式的运算法则将分式进行化简，然后代入已知数值进行计算即可．【解答】解：原式＝＝＝，当a＝2时，原式＝＝．【点评】本题考查分式的化简求值，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．16．（2023•吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式，请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．例：先化简，再求值：，其中a＝100．解：原式＝……【分析】由题意先求得M，然后将分式进行化简，最后代入已知数值进行计算即可．【解答】解：由题意可得＝＝，则M＝a，那么﹣＝﹣＝＝＝，当a＝100时，原式＝＝．【点评】本题考查分式的化简求值，由已知条件求得M的值是解题的关键．17．（2023•随州）先化简，再求值：÷，其中x＝1．【分析】先把除法转化为乘法，再约分，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：÷＝•＝，当x＝1时，原式＝＝．【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．18．（2023•枣庄）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组﹣1＜a＜的解集中选取一个合适的整数．【分析】先将分式利用相关运算法则进行化简，然后代入一个合适的整数进行计算即可．【解答】解：（a﹣）÷＝（a﹣）•＝a•﹣•＝﹣1＝，∵a2﹣1≠0，a≠0，∴a≠±1，a≠0，∴a＝2，原式＝＝．【点评】本题考查分式化简求值，特别注意根据分式有意义的条件得出a≠±1，a≠0．易错点1：平方根、算术平方根、立方根的区别1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．2.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．3.立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．1．（2023•无锡）实数9的算术平方根是（）A．3 B．±3 C． D．﹣9【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．【解答】解：实数9的算术平方根是3，故选：A．【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．易错点2：关于实数的运算，要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。2．（2023•恩施州）下列实数：﹣1，0，，﹣其中最小的是（）A．﹣1 B．0 C． D．﹣【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小，即可解答．【解答】解：∵|﹣1|＝1，|﹣|＝，∴1＞，∴﹣1＜﹣，在﹣1，0，，﹣这四个数中，∵﹣1＜﹣＜0＜，∴最小的数是﹣1，故选：A．【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．3．（2023•盘锦）下列运算正确的是（）A．2a2+a3＝3a5 B．a3÷a＝a C．（﹣m2）3＝﹣m6 D．（﹣2ab）2＝4ab2【分析】选项A根据合并同类项法则判断即可；选项B根据同底数幂的除法法则判断即可；选项C、D根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断即可．【解答】解：A．2a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；B．a3÷a＝a2，故本选项不符合题意；C．（﹣m2）3＝﹣m6，故本选项符合题意；D．（﹣2ab）2＝4a2b2，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握幂的相关运算法则是解答本题的关键．4．（2023•恩施州）下列运算正确的是（）A．（m﹣1）2＝m2﹣1 B．（2m）3＝6m3 C．m7÷m3＝m4 D．m2+m5＝m7【分析】依据题意，由完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法及合并同类项逐项判断可以得解．【解答】解：由题意，对于A选项，（m﹣1）2＝m2﹣2m+1≠m2﹣1，∴A选项错误，不符合题意．对于B选项，（2m）3＝8m3≠6m3，∴B选项错误，不符合题意．对于C选项，m7÷m3＝m4，∴C选项正确，符合题意．对于D选项，m2与m5不是同类项不能合并，∴D选项错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法及合并同类项，解题时要能熟练掌握并理解．5．（2023•鞍山）下列运算正确的是（）A．（4ab）2＝8a2b2 B．2a2+a2＝3a4 C．a6÷a4＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2【分析】根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法法则，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、（4ab）2＝16a2b2，故A不符合题意；B、2a2+a2＝3a2，故B不符合题意；C、a6÷a4＝a2，故C符合题意；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了整式的混合运算，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．6．（2023•临沂）下列运算正确的是（）A．3a﹣2a＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（a5）2＝a7 D．3a3•2a2＝6a5【分析】根据合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、3a﹣2a＝a，故A不符合题意；B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故B不符合题意；C、（a5）2＝a10，故C不符合题意；D、3a3•2a2＝6a5，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．7．（2023•宁夏）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是﹣1，点B是AC的中点，线段AB＝，则点C表示的数是2﹣1．【分析】先表示出点B表示的数，再根据点B是AC的中点进行求解．【解答】解：∵点A表示的数是﹣1，线段AB＝，∴点B表示的数是﹣1+，∵点B是AC的中点，∴线段BC＝AB＝，∴点C表示的数是：﹣1+＝2﹣1，故答案为：2﹣1．【点评】此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识．8．（2023•黄石）计算：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝9．【分析】先计算零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．【解答】解：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝9+1﹣2×＝9+1﹣1＝9，故答案为：9．【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．9．（2023•盐城）计算：（）﹣1+4cos60°﹣（5﹣π）0．【分析】先算负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可．【解答】解：由题意，原式＝2+4×﹣1＝2+2﹣1＝3．【点评】本题主要考查实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．10．（2023•济宁）计算：．【分析】根据实数的运算进行计算．【解答】解：＝2＝＝．【点评】本题主要考查了实数的运算的知识、锐角三角函数的知识、绝对值的知识、负指数的知识，难度不大．易错点3：整式的化简求值先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．同时注意平方差公式和完全平方公式的应用.11．（2023•盐城）先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．【分析】依据题意，利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a，b的值代入计算即可求解．【解答】解：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b）＝a2+6ab+9b2+a2﹣9b2＝2a2+6ab．当a＝2，b＝﹣1时，原式＝2×22+6×2×（﹣1）＝8﹣12＝﹣4．【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＝b2．12．（2023•长沙）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2＝4﹣a2﹣2a2﹣6a+3a2＝4﹣6a，当a＝﹣时，原式＝4﹣6×（﹣）＝4+2＝6．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．易错点4：因式分解能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．13．（2023•攀枝花）以下因式分解正确的是（）A．ax2﹣a＝a（x2﹣1） B．m3+m＝m（m2+1） C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3 D．x2+2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）【分析】利用平方差公式，x2﹣1还可分解因式；利用十字相乘法，x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）．【解答】解：（A）ax2﹣a＝a（x2﹣1）＝a（x+1）（x﹣1）；故A不正确，不符合题意．（B）m3+m＝m（m2+1）；故B正确，符合题意．（C）x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）；故CD不正确，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键．14．（2023•恩施州）因式分解：a（a﹣2）+1＝（a﹣1）2．【分析】根据完全平方公式进行分解，即可解答．【解答】解：a（a﹣2）+1＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故答案为：（a﹣1）2．【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．15．（2023•常州）分解因式：x2y﹣4y＝y（x+2）（x﹣2）．【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x+2）（x﹣2），故答案为：y（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．易错点5：分式的有关概念分式有意义的条件是分母不等于零．分式无意义的条件是分母等于零．分式的值为正数的条件是分子、分母同号．分式的值为负数的条件是分子、分母异号．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．16．（2023•贵州）化简结果正确的是（）A．1 B．a C． D．【分析】依据题意，根据分式的加减运算法则进行计算即可得解．【解答】解：由题意，原式＝＝＝1．故选：A．【点评】本题主要考查分式的加减运算，解题时需要熟练掌握法则并能准确计算．17．（2023•新疆）要使分式有意义，则x需满足的条件是x≠5．【分析】根据分母不为0可得：x﹣5≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：x﹣5≠0，解得：x≠5，故答案为：x≠5．【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为0是解题的关键．18．（2023•北京）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值．【分析】根据已知可得x+2y＝1，然后利用分式的基本性质化简分式，再把x+2y＝1代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：∵x+2y﹣1＝0，∴x+2y＝1，∴＝＝＝＝2，∴的值为2．【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键．易错点6：分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．19．（2023•鞍山）先化简，再求值：（+1），其中x＝4．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：（+1）＝•＝•＝，当x＝4时，原式＝＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．20．（2023•牡丹江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝sin30°．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：（1﹣）÷＝•＝•＝x+1，当x＝sin30°＝时，原式＝+1＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．21．（2023•营口）先化简，再求值：（m+2+）•，其中m＝+tan45°．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：（m+2+）•＝•＝•＝•＝﹣2（3+m）＝﹣6﹣2m，当m＝+tan45°＝4+1＝5时，原式＝﹣6﹣2×5＝﹣6﹣10＝﹣16．【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．22．（2023•恩施州）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣2．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：÷（1﹣）＝÷＝•＝﹣，当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．23．（2023•日照）（1）化简：﹣|1﹣|+2﹣2﹣2sin45°；（2）先化简，再求值：（﹣x）÷，其中x＝﹣．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（1）﹣|1﹣|+2﹣2﹣2sin45°＝2﹣（﹣1）+﹣2×＝2﹣+1+﹣＝；（2）（﹣x）÷＝•＝•＝•＝2（x﹣2）＝2x﹣4，当x＝﹣时，原式＝2×（﹣）﹣4＝﹣1﹣4＝﹣5．【点评】本题考查了分式的化简求值，实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．易错点7：二次根式的运算24．（2023•恩施州）计算：×＝6．【分析】根据二次根式的乘法法则，进行计算即可解答．【解答】解：×＝＝＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．25．（2023•潍坊）从﹣，，中任意选择两个数，分别填在算式（□+〇）2÷里面的“□”与“〇”中，计算该算式的结果是﹣2（答案不唯一）．（只需写出一种结果）【分析】根据二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答．【解答】解：若“□”是﹣，“〇”是，则（﹣+）2÷＝（5﹣2）÷＝﹣2；若“□”是﹣，“〇”是，则（﹣+）2÷＝（8﹣2）÷＝4﹣2；若“□”是，“〇”是，则（+）2÷＝（9+2）÷＝+6；故答案为：﹣2（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．26．（2023•天津）计算的结果为1．【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答．【解答】解：＝（）2﹣（）2＝7﹣6＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．易错点8：数与式的变化规律探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程27．（2023•台湾）若想在等差数列1，2，3，4，5中插入一些数，使得新的数列也是等差数列，且新的数列的首项仍是1，末项仍是5，则新的数列的项数可能为下列何者（）A．11 B．15 C．30 D．33【分析】因为等差数列1，2，3，4，5，则公差为1，插入一些数，使得新的数列也是等差数列，且新的数列的首项仍是1，末项仍是5，可知：插入的新数个数是4的倍数，由此可作判断．【解答】解：根据题意可知：有4个位置插入一些数，∴插入的新数个数是4的倍数，∵11﹣5＝6，15﹣5＝10，30﹣5＝25，33﹣5＝28，又知28是4的倍数，∴新的数列的项数可能为33．故选：D．【点评】本题考查了等差数列，数字的变化类的规律问题，确定插入的新数个数是4的倍数是解本题的关键．28．（2023•岳阳）观察下列式子：12﹣1＝1×0；22﹣2＝2×1；32﹣3＝3×2；42﹣4＝4×3；52﹣5＝5×4；…依此规律，则第n（n为正整数）个等式是n2﹣n＝n（n﹣1）．【分析】观察等式左边的特点，即第n个式子就是n的平方减去n；右边的特点是n与（n﹣1）的积．【解答】解：12﹣1＝1×0；22﹣2＝2×1；32﹣3＝3×2；42﹣4＝4×3；52﹣5＝5×4；…；依此规律，则第n（n为正整数）个等式是：n2﹣n＝n（n﹣1）．故答案为：n2﹣n＝n（n﹣1）．【点评】此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律是解本题的关键．29．（2023•德阳）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（）A．m+n B．m C．n﹣m D．2n【分析】依据题意，先逐步分析前面几次操作，可得整式串每6个整式一循环，再求解每6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，2023次后出现2025个整式，结合2025÷6＝337…3，从而可以得解．【解答】解：第1次操作后得到的整式串m，n，n﹣m；第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m；第3次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n；第4次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m；第5次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m；第6次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n；第7次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m；……第2023次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，……m，n，n﹣m；共2025个整式；归纳可得，以上整式串每六次一循环．每6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，∵2025÷6＝337…3，∴第2023次操作后得到的整式中，求最后三项之和即可．∴这个和为m+n+（n﹣m）＝2n．故选：D．【点评】本题主要考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律，并能灵活运算是解决本题的关键．30．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199 B．200 C．201 D．202【分析】分别计算f（1），f（2），f（3），…，f（），f（），…，相加后可解答．【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．【点评】本题考查了新定义，数字类规律问题，根据代入求值并找出规律是解本题的关键．31．（2023•济宁）已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2＝，a3＝，，，若a1＝2，则a2023的值是（）A．﹣ B． C．﹣3 D．2【分析】通过分别计算a1，a2，a3，a4，a5，的值归纳出an的值出现规律进行求解．【解答】解：由题意得，a1＝2，a2＝＝＝﹣3，a3＝＝＝﹣，a4＝＝＝，a5＝＝＝2，……，∴an的值按照2，﹣3，﹣，，……4次一个循环周期的规律出现，∵2023÷4＝505……3，∴a2023的值是﹣，故选：A．【点评】此题考查了分式计算规律性问题的解决能力，关键是能通过计算结果发现an的规律．一．正数和负数（共1小题）1．（2023•衡阳）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若收入500元记作+500元，则支出237元记作（）A．+237元 B．﹣237元 C．0元 D．﹣474元【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出表示方法．【解答】解：收入500元记作+500元，则支出237元应记作﹣237元，故选：B．【点评】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．二．有理数（共1小题）2．（2023•江西）下列各数中，正整数是（）A．3 B．2.1 C．0 D．﹣2【分析】整数和分数统称为有理数，整数包括正整数，0和负整数，分数包括正分数和负分数，据此进行判断即可．【解答】解：A．3是正整数，则A符合题意；B．2.1是有限小数，即为分数，则B不符合题意；C．0既不是正数，也不是负数，则C不符合题意；D．﹣2是负整数，则D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了有理数的分类，其相关定义是基础且重要知识点，必须熟练掌握．三．相反数（共2小题）3．（2023•青岛）的相反数是（）A．﹣ B． C．﹣7 D．7【分析】根据实数a的相反数是﹣a进行求解．【解答】解：的相反数是﹣，故选：A．【点评】此题考查了实数相反数的求解能力，关键是能准确理解并运用以上知识．4．（2023•赤峰）化简﹣（﹣20）的结果是（）A．﹣ B．20 C． D．﹣20【分析】根据相反数的含义以及求法，求出化简﹣（﹣20）的结果即可．【解答】解：﹣（﹣20）＝20．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．四．绝对值（共1小题）5．（2023•鞍山）﹣2023的绝对值是（）A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣【分析】依据题意，由绝对值的性质即可得解．【解答】解：由题意，根据一个负数的绝对值是它的相反数，∴|﹣2023|＝2023．故选：A．【点评】本题考查了绝对值的性质，解题时需要熟练掌握并理解．五．有理数大小比较（共2小题）6．（2023•湖州）下列各数中，最小的数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0【分析】正数大于一切负数；0大于负数，小于正数；两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．【解答】解：∵|﹣2|＝2，|﹣1|＝1，2＞1，∴﹣2＜﹣1＜0＜1，∴最小的数是﹣2．故选：A．【点评】本题考查有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的方法是解题关键．7．（2023•成都）在3，﹣7，0，四个数中，最大的数是（）A．3 B．﹣7 C．0 D．【分析】运用有理数大小比较的知识进行求解．【解答】解：∵﹣7＜0＜＜3，∴最大的数是3，故选：A．【点评】此题考查了有理数大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．六．有理数的加法（共1小题）8．（2023•青海）计算2+（﹣3）的结果是（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1【分析】依据有理数的加法法则进行计算即可．【解答】解：2+（﹣3）＝﹣（3﹣2）＝﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查的是有理数的加法法则，熟记法则是解题的关键．七．非负数的性质：偶次方（共1小题）9．（2023•西藏）已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2023的值是（）A．﹣2023 B．﹣1 C．1 D．2023【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可求解a，b的值，再代入计算可求解．【解答】解：∵（a+2）2+|b﹣1|＝0，（a+2）2≥0，|b﹣1|≥0，∴a+2＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b＝1，∴（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．故选：B．【点评】此题考查了绝对值与偶次方非负性的应用，解题关键是利用非负性求出a、b的值．八．有理数的混合运算（共2小题）10．（2023•杭州）（﹣2）2+22＝（）A．0 B．2 C．4 D．8【分析】根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再计算加法即可．【解答】解：（﹣2）2+22＝4+4＝8．故选：D．【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘方的定义是解答本题的关键．11．（2023•随州）计算：（﹣2）2+（﹣2）×2＝0．【分析】根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再计算乘法，后计算加法即可．【解答】解：（﹣2）2+（﹣2）×2＝4+（﹣4）＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的相关运算法则是解答本题的关键．九．科学记数法—表示较大的数（共1小题）12．（2023•成都）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（）A．3×108 B．3×109 C．3×1010 D．3×1011【分析】运用科学记数法进行变形、求解．【解答】解：3000亿＝3000×108＝3×1011，故选：D．【点评】此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．一十．科学记数法—表示较小的数（共1小题）13．（2023•攀枝花）将数据0.000000023用科学记数法表示正确的是（）A．0.23×10﹣7 B．2.3×10﹣8 C．2.3×10﹣9 D．23×10﹣9【分析】根据科学记数法的记数规则判断正误即可．【解答】解：0.000000023＝2.3×10﹣8．故选：B．【点评】本题考查科学记数法，掌握科学记数法的记数规则是本题的关键．一十一．无理数（共1小题）14．（2023•荆州）在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（）A．﹣1 B． C． D．3.14【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．【解答】解：实数﹣1，，，3.14中，无理数是，故选：B．【点评】本题考查无理数的识别，其定义是基础且重要知识点，必须熟练掌握．一十二．实数的性质（共1小题）15．（2023•大庆）实数2023的相反数是（）A．2023 B．﹣2023 C． D．【分析】运用知识点：实数a的相反数是﹣a进行求解．【解答】解：由题意得，实数2023的相反数是﹣2023，故选：B．【点评】此题考查了实数相反数的求解能力，关键是能准确理解并运用相反数的定义进行求解．一十三．实数与数轴（共2小题）16．（2023•淮安）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．a＜﹣2 B．b＜2 C．a＞b D．﹣a＜b【分析】由数轴得，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，于是有a＜b，﹣a＜b，逐一判断即可．【解答】解：由数轴得，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴a＜b，﹣a＜b，∴A选项不符合题意，B选项不符合题意，C选项不符合题意，D选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了实数与数轴，观察数轴得出a、b的范围是解题的关键．17．（2023•宁夏）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是﹣1，点B是AC的中点，线段AB＝，则点C表示的数是2﹣1．【分析】先表示出点B表示的数，再根据点B是AC的中点进行求解．【解答】解：∵点A表示的数是﹣1，线段AB＝，∴点B表示的数是﹣1+，∵点B是AC的中点，∴线段BC＝AB＝，∴点C表示的数是：﹣1+＝2﹣1，故答案为：2﹣1．【点评】此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识．一十四．实数大小比较（共2小题）18．（2023•黄石）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定【分析】结合数轴表示确定实数a与b的符号和大小．【解答】解：由题意得，a＜0＜b，∴a＜b，故选：C．【点评】此题考查了实数的大小比较能力，关键是能准确运用该知识和数轴知识进行求解．19．（2023•甘孜州）比较大小：＞2．（填“＜”或“＞”）【分析】先把2写成，然后根据被开方数大的算术平方根也大即可得出比较结果．【解答】解：∵，又∵，∴，故答案为：＞．【点评】本题考查了实数的大小比较，是一道基础题．一十五．估算无理数的大小（共2小题）20．（2023•荆州）已知k＝（+）•（﹣），则与k最接近的整数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据平方差公式进行计算，然后估算即可．【解答】解：∵k＝（+）•（﹣）＝×2＝2，而1.4＜＜1.5，∴2.8＜2＜3，∴与k最接近的整数是3，故选：B．【点评】本题考查估算无理数的大小，平方差公式，解决本题的关键是掌握平方差公式．21．（2023•重庆）估计×（﹣）的值应在（）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【分析】先化简题干中的式子得到﹣1，明确的范围，利用不等式的性质求出﹣1的范围得出答案．【解答】解：原式＝﹣1．∵5＜＜6．∴4＜﹣1＜5．故选：A．【点评】本题以计算选择为背景考查了无理数的估算，考核了学生对式子的化简和比较大小的能力，解题关键是将式子化简，确定无理数的范围最后利用不等式的性质．一十六．实数的运算（共4小题）22．（2023•盐城）计算：（）﹣1+4cos60°﹣（5﹣π）0．【分析】先算负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可．【解答】解：由题意，原式＝2+4×﹣1＝2+2﹣1＝3．【点评】本题主要考查实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．23．（2023•北京）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算．【解答】解：原式＝4×+3+2﹣2＝2+3+2﹣2＝5．【点评】本题考查的是实数的运算，熟记特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键．24．（2023•内蒙古）计算：|﹣2|+（π﹣2023）0+（﹣）﹣2﹣2cos60°．【分析】根据绝对值的性质、零指数幂和负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式＝2﹣2+1+4﹣2×＝2﹣2+1+4﹣1＝2+2．【点评】本题考查的是实数的运算，掌握绝对值的性质、零指数幂和负整数指数幂、特殊角的三角函数值是解题的关键．25．（2023•长沙）计算：|﹣|+（﹣2023）0﹣2sin45°﹣（）﹣1．【分析】分别根据绝对值、零指数幂的运算法则及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式＝+1﹣2×﹣2＝+1﹣﹣2＝﹣1．【点评】本题考查绝对值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值，熟知各个运算法则是解答此题的关键．一十七．代数式求值（共1小题）26．（2023•宁夏）如图是某种杆秤．在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡．测得x与y的几组对应数据如下表：x/克024610y/毫米1014182230由表中数据的规律可知，当x＝20克时，y＝50毫米．【分析】观察列表中数据可知当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为（10+2x）毫米，把x＝20代入求值即可．【解答】解：由题可得当放入0克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10毫米，当放入2克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×2＝14（毫米），当放入4克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×4＝18（毫米），当放入6克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×6＝22（毫米），当放入8克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×8＝26（毫米），当放入10克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×10＝22（毫米），……所以当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为（10+2x）毫米，当放入x＝20克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×20＝50（毫米），故答案为：50．【点评】此题主要是考查了列代数式，代数式求值，能够根据题意列出代数式是解答此题的关键．一十八．规律型：图形的变化类（共2小题）27．（2023•重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A．39 B．44 C．49 D．54【分析】根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题．【解答】解：由图可得，图案①有：4+5＝9根小木棒，图案②有：4+5×2＝14根小木棒，图案③有：4+5×3＝19根小木棒，…，∴第n个图案有：（4+5n）根小木棒，∴第⑧个图案有：4+5×8＝44根小木棒，故选：B．【点评】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．28．（2023•重庆）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14 B．20 C．23 D．26【分析】根据前4个图中的个数找到规律，再求解．【解答】解：第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有2+3×1＝5个圆圈，第③个图案中有2+3×2＝8个圆圈，第④个图案中有2+3×3＝11个圆圈，...，则第⑦个图案中圆圈的个数为：2+3×6＝20，故选：B．【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类，找到变换规律是解题的关键．一十九．整式的加减（共1小题）29．（2023•德阳）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（）A．m+n B．m C．n﹣m D．2n【分析】依据题意，先逐步分析前面几次操作，可得整式串每6个整式一循环，再求解每6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，2023次后出现2025个整式，结合2025÷6＝337…3，从而可以得解．【解答】解：第1次操作后得到的整式串m，n，n﹣m；第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m；第3次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n；第4次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m；第5次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m；第6次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n；第7次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m；……第2023次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，……m，n，n﹣m；共2025个整式；归纳可得，以上整式串每六次一循环．每6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，∵2025÷6＝337…3，∴第2023次操作后得到的整式中，求最后三项之和即可．∴这个和为m+n+（n﹣m）＝2n．故选：D．【点评】本题主要考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律，并能灵活运算是解决本题的关键．二十．整式的加减—化简求值（共1小题）30．（2023•沈阳）当a+b＝3时，代数式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值为2．【分析】先将原式去括号，然后合并同类项可得﹣a﹣b+5，再把前两项提取﹣1，然后把a+b的值代入可得结果．【解答】解：2（a+2b）﹣（3a+5b）+5＝2a+4b﹣3a﹣5b+5＝﹣a﹣b+5＝﹣（a+b）+5当a+b＝3时，原式＝﹣3+5＝2．故答案为：2．【点评】此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的关键．二十一．同底数幂的乘法（共1小题）31．（2023•湖州）计算a3•a的结果是（）A．a2 B．a3 C．a4 D．a5【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．【解答】解：a3•a＝a3+1＝a4，故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．二十二．幂的乘方与积的乘方（共1小题）32．（2023•衡阳）计算（x3）2的结果正确的是（）A．x6 B．x6 C．x5 D．x9【分析】根据积的乘方和幂的乘方计算方法进行计算即可．【解答】解：原式＝＝×x3×2＝x6．故选：B．【点评】本题主要考查积的乘方和幂的乘方的计算方法，是必考的知识点，一定要熟练掌握，并能灵活运用．二十三．同底数幂的除法（共1小题）33．（2023•无锡）下列运算正确的是（）A．a2×a3＝a6 B．a2+a3＝a5 C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a6÷a4＝a2【分析】选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可；选项B根据合并同类项法则判断即可；选项C根据积的乘方运算法则判断即可；选项D根据同底数幂的除法法则判断即可．【解答】解：A．a2×a3＝a5，故本选项不符合题意；B．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；C．（﹣2a）2＝4a2，故本选项不符合题意；D．a6÷a4＝a2，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．二十四．完全平方公式（共1小题）34．（2023•日照）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（﹣2m2）3＝﹣8m6 C．（x+y）2＝x2+y2 D．2ab+3a2b＝5a3b2【分析】分别根据同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，完全平方公式，合并同类项法则进行计算可得结果．【解答】解：A．a2•a3＝a2+3＝a5，所以A运算错误；B．（﹣2m2）3＝（﹣2）3m6＝﹣8m6，所以B运算正确；C．（x+y）2＝x2+2xy+y2，所以C运算错误；D．2ab与3a2b不是同类项，所以不能合并计算，所以D运算错误．故选：B．【点评】此题主要是考查了同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，完全平方公式，合并同类项法则，能够熟练运用各种法则是解答此题的关键．二十五．平方差公式（共3小题）35．（2023•黑龙江）下列运算正确的是（）A．（﹣2a）2＝﹣4a2 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（﹣m+2）（﹣m﹣2）＝m2﹣4 D．（a5）2＝a7【分析】分别对四个选项进行分析．【解答】解：（﹣2a）2＝4a2，所以A错误；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，所以B错误；（﹣m+2）（﹣m﹣2）＝m2﹣4，所以C正确；（a5）2＝a10，所以D错误．故选：C．【点评】本题主要考查了整式乘法的知识、积的乘方的知识、幂的乘方的知识、平方差公式、完全平方公式，难度不大．36．（2023•湖州）计算：（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1．【分析】直接利用平方差公式进行计算即可．【解答】解：（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，故答案为：a2﹣1．【点评】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟记平方差公式．37．（2023•无锡）（1）计算：（﹣3）2﹣+|﹣4|；（2）化简：（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）．【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可；（2）利用平方差公式和单项式乘以多项式进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝9﹣5+4＝8；（2）原式＝x2﹣4y2﹣x2+xy＝﹣4y2+xy．【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．二十六．整式的混合运算（共1小题）38．（2023•长沙）下列计算正确的是（）A．x2•x3＝x5 B．（x3）3＝x6 C．x（x+1）＝x2+1 D．（2a﹣1）2＝4a2﹣1【分析】根据同底数幂的乘法与幂的乘方、完全平方公式、整式的乘法对每个式子一一判断即可．【解答】解：A、x2•x3＝x5，本选项符合题意；B、（x3）3＝x9≠x6，本选项不符合题意；C、x（x+1）＝x2+x，本选项不符合题意；D、（2a﹣1）2＝4a2﹣4a+1≠4a2﹣1，本选项不符合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．二十七．整式的混合运算—化简求值（共2小题）39．（2023•内蒙古）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝﹣1，y＝+1．【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的运算法则以及合并同类项法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．【解答】解：原式＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy＝9xy，当x＝﹣1，y＝﹣1时，原式＝9（﹣1）（+1）＝9×（6﹣1）＝45．【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．40．（2023•盐城）先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．【分析】依据题意，利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a，b的值代入计算即可求解．【解答】解：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b）＝a2+6ab+9b2+a2﹣9b2＝2a2+6ab．当a＝2，b＝﹣1时，原式＝2×22+6×2×（﹣1）＝8﹣12＝﹣4．【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＝b2．二十八．因式分解的意义（共1小题）41．（2023•台湾）下列何者为多项式x2﹣36的因式（）A．x﹣3 B．x﹣4 C．x﹣6 D．x﹣9【分析】根据平方差公式因式分解可得答案．【解答】解：x2﹣36＝（x+6）（x﹣6），∴x﹣6是多项式x2﹣36的因式．故选：C．【点评】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解答本题的关键．二十九．因式分解-提公因式法（共1小题）42．（2023•苏州）因式分解：a2+ab＝a（a+b）．【分析】直接把公因式a提出来即可．【解答】解：a2+ab＝a（a+b）．故答案为：a（a+b）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．三十．因式分解-十字相乘法等（共1小题）43．（2023•攀枝花）以下因式分解正确的是（）A．ax2﹣a＝a（x2﹣1） B．m3+m＝m（m2+1） C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3 D．x2+2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）【分析】利用平方差公式，x2﹣1还可分解因式；利用十字相乘法，x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）．【解答】解：（A）ax2﹣a＝a（x2﹣1）＝a（x+1）（x﹣1）；故A不正确，不符合题意．（B）m3+m＝m（m2+1）；故B正确，符合题意．（C）x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）；故CD不正确，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键．三十一．因式分解的应用（共1小题）44．（2023•十堰）若x+y＝3，xy＝2，则x2y+xy2的值是6．【分析】利用提公因式法，把原式中公因式xy提出，代入数据计算即可．【解答】解：∵x+y＝3，xy＝2，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝2×3＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了解因式的应用中的整体思想，提公因式xy，出现两个整体xy、x+y是关键，代入数据计算即可．三十二．分式的值为零的条件（共1小题）45．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝