高数第十二章微分方程

高数第十二章微分方程第一节微分方程的基本概念

微分方程及微分方程的阶微分方程的解通解与特解初值问题第2页,共27页，2024年2月25日，星期天解一、问题的提出第3页,共27页，2024年2月25日，星期天解第4页,共27页，2024年2月25日，星期天代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需第5页,共27页，2024年2月25日，星期天定义：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫做微分方程.例二、微分方程的定义第6页,共27页，2024年2月25日，星期天微分方程的阶:

微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.一阶微分方程微分方程组高阶(n)微分方程(n

阶显式微分方程)第7页,共27页，2024年2月25日，星期天微分方程的解:三、微分方程的解通解与特解第8页,共27页，2024年2月25日，星期天通解:

微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.特解:确定了通解中任意常数以后的解.微分方程的积分曲线:微分方程的解的图形.

通解的图形叫积分曲线族.第9页,共27页，2024年2月25日，星期天三、初值问题利用初始条件,可用来确定通解中的任意常数.初值问题:

求微分方程的满足初始条件的解的问题.第10页,共27页，2024年2月25日，星期天在例1中

通解:特解:初值问题：

在例2中初值问题：通解:特解:第11页,共27页，2024年2月25日，星期天二阶微分方程的初值问题:几何意义:求微分方程过定点

的积分曲线.几何意义:求过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.一阶微分方程的初值问题:第12页,共27页，2024年2月25日，星期天解第13页,共27页，2024年2月25日，星期天所求特解为第14页,共27页，2024年2月25日，星期天求该曲线所满足的微分方程.2.已知曲线上点

P(x,y)处的法线与x

轴交点为

Q解:如图所示,令Y=0,得

Q

点的横坐标即点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,思考题第15页,共27页，2024年2月25日，星期天第二节可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程微分方程的隐式通解第16页,共27页，2024年2月25日，星期天一、可分离变量的微分方程第17页,共27页，2024年2月25日，星期天二、微分方程的隐式通解第18页,共27页，2024年2月25日，星期天第19页,共27页，2024年2月25日，星期天第20页,共27页，2024年2月25日，星期天解分离变量两端积分第21页,共27页，2024年2月25日，星期天第22页,共27页，2024年2月25日，星期天第23页,共27页，2024年2月25日，星期天解由题设条件衰变规律第24页,共27页，2024年2月25日，星期天

例4有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度第25页,共27页，2024年2月25日，星期天设在微小的时间间隔水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:第26页,共27页，20