2024年广东省江门市台山市新宁中学教育集团中考一模数学试题

2023-2024学年广东省江门市台山市新宁中学教育集团中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．2的倒数是（）A． B．－2 C． D．22．一组数据：98、97、99、99、96，那么这组数据的众数为（）A．98 B．96 C．97 D．993．下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A． B． C． D．5．下列计算正确的是（）A． B． C． D．6．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．97．将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位得到抛物线的解析式为（）A． B． C． D．8．不等式组的解集是（）A． B． C． D．无解9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，，连接AE交BD于点F，则的面积与的面积之比为（）A． B． C． D．10．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，给出以下结论：①；②；③；④若、为函数图象上的两点，则其中正确的是（）A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分．11．分解因式：______．12．已知关于x一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为______．13．若实数a，b满足，则______．14．已知代数式的值是9，则代数式的值是______．15．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线______．16．如图，在菱形ABCD中，，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则BE的值为______．17．如图，在矩形ABCD中，，，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为______．三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（本小题6分）先化简，再求值：，其中19．（本小题6分）如图，，，，，AE与BD交于点F．（1）求证：；（2）求的度数．20．（本小题6分）如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的周围47km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？21．（本小题8分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：（1）本次调查的学生人数是______人；（2）图2中是______度，并将图1条形统计图补充完整；（3）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．22．（本小题8分）2020年1月份，为抗击新型冠状病毒，某药店计划购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知一袋甲种口罩的进价与一袋乙种口罩的进价和为40元，用90元购进甲种口罩的袋数与用150元购进乙种口罩的袋数相同．（1）求每袋甲种、乙种口罩的进价分别是多少元？（2）该药店计划购进甲、乙两种口罩共480袋，其中甲种口罩的袋数不大于乙种口罩袋数的，药店决定此次进货的总资金不超过10000元，求商场进货用的资金最少方案？23．（本小题8分）如图，AB为的直径，C为BA延长线上一点，D为上一点，连结AD，作于点E，交CD于点F，若．（1）求证：CD是的切线；（2）若，，求EF的长．24．（本小题10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点，与y轴交于点B，与反比例函数交于点，过B作轴，交反比例函数于点D，连接AD，CD．（1）求b，k的值；（2）求的面积；（3）设E为直线AB上一点，过点E作轴，交反比例函数于点F，若以点A，O，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．25．（本小题10分）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点，联结OD交线段AC于点E．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求的正切值；（3）当与相似时，求点D的坐标．答案和解析1．【答案】C【解析】解：2的倒数是：．故选：C．直接利用倒数的定义分析得出答案．此题主要考查了倒数，正确把握定义是解题关键．2．【答案】D【解析】解：这组数据中99出现2次，次数最多，所以这组数据的众数为99，故选：D．根据众数的定义求解即可．本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．3．【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选A．4．【答案】A【解析】解：由题意得：，解得：，故选：A．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．5．【答案】C【解析】解：2a和3b表示同类项，不能计算，因此选项A不符合题意；，因此选项B不符合题意；，因此选项C符合题意；，因此选项D不符合题意；故选：C．根据单项式乘以多项式、积的乘方与幂的乘方，整式的除法以及整式加减的计算法则进行计算即可．本题考查单项式乘以多项式、积的乘方与幂的乘方，整式的除法以及整式加减的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前提．6．【答案】A【解析】【分析】本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为解答．设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到，然后解方程即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则，解得，故这个多边形为六边形．故选：A．7．【答案】C【解析】解：将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位得到抛物线的解析式为：，即．故选：C．直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题．本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．8．【答案】B【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由得：，由得：，则不等式组的解集为．故选：B．9．【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．可证明，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．故选B．10．【答案】C【解析】解：①由图象可知：，，由对称轴可知：，∴，∴，故①正确；②由对称轴可知：，∴，∵抛物线过点，∴，∴，∴，故②正确；③当时，y取最大值，y的最大值为，当x取全体实数时，，即，故③正确；④关于对称轴的对称点为：∴，故④错误；故选：C．①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；②根据对称轴可知抛物线与x轴的另一个交点坐标，再求当时y的值即可判断；③根据抛物线的顶点的纵坐标最大即可判断．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．11．【答案】【解析】解：．故答案为：．观察原式，找到公因式3，提出公因式后发现符合平方差公式，利用平方差公式继续分解．本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．12．【答案】【解析】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴，即，∴．故答案为：．根据题意得出关于k的方程，求出k的值即可．本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解题的关键．13．【答案】－1【解析】解：∵，∴，，∴，故答案为：－1．根据非负数的性质求出a、b，从而求出的值．本题考查了非负数的性质，掌握非负数的性质的应用是解题关键．14．【答案】10【解析】解：由题意得，整理，得，∴，故答案为：10．先求得，再将变形后整体代入求解．此题考查了运用整体思想进行代数式化简求值的能力，关键是能将代数式准确变形并整体代入计算．15．【答案】【解析】【分析】本题考查了弧长的计算．利用弧长公式，结合圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长计算得结论．【解答】解：圆锥的底面周长，设圆锥的母线长为R，则：，解得．故答案为．16．【答案】【解析】解：由作法得MN垂直平分CD，即，，∵四边形ABCD为菱形，∴，，∴，，在中，，在中，故答案为．利用基本作法得到得MN垂直平分CD，即，，再利用菱形的性质得到，，则利用勾股定理先计算出AE，然后计算出BE．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．17．【答案】【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，扇形的面积公式，轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．由矩形的性质求出，由矩形的性质和轴对称性可知，，根据可求出答案．【解答】解：∵当点P从点A运动到点D时，线段BQ的长度不变，∴点Q运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段PQ在平面内扫过的面积，∵矩形ABCD中，，，∴在中，，∴，∴，∴，由矩形的性质和轴对称性可知，，∴．故答案为：．18．【答案】解：，当时，原式【解析】根据完全平方公式、单项式乘多项式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．19．【答案】解：（1）∵，，∴，，即，在和中，，∴，∴；（2）如图，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．（1）先证明，再证明便可得；（2）由全等三角形的性质得，由，推出，可得．20．【答案】解：过点C作，垂足为D．如图所示：根据题意可知，，∵，∴，∴，在中，，，，则，，∴这艘船继续向东航行安全．【解析】过C作于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出，根据等角对等边得出，然后在中求出CD即可．本题考查了勾股定理的应用以及等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定和勾股定理是解题的关键．21．【答案】4054【解析】解：（1）本次调查的学生人数是（人），故答案为：40；（2），自主学习的时间是1.5小时的人数有：（人），故答案为：54；补全统计图如下：（3）根据题意画树状图如下：∴共有12种等可能的结果，其中同时选中A的有4种，同时选中A，B的概率是．（1）由自主学习的时间是1小时的有12人，占30%求解即可得出答案；（2）用360°乘以0.5小时人数所占比例，总人数乘以1.5小时人数所占比例即可；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与扇形统计图、条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．22．【答案】解：（1）设甲种口罩进价x元/袋，则乙种口罩进价为元/袋，依题意有，解得，经检验是原方程的解，则．故甲种口罩进价15元/袋，则乙种口罩进价为25元/袋；（2）设购进甲种口罩y袋，则购进乙种口罩袋，依题意有，解得．因为y是整数，甲种口罩的袋数少于乙种口罩袋数，所以y取200，201，202，203，204共有5种方案．【解析】（1）可设甲种口罩进价x元/袋，则乙种口罩进价为元/袋，根据用90元购进甲种口罩的袋数与用150元购进乙种口罩的袋数相同，得出方程求出即可；（2）可设购进甲种口罩y袋，则购进乙种口罩袋，根据甲种口罩的袋数不大于乙种口罩袋数的，药店决定此次进货的总资金不超过10000元，得出不等式组求出即可．本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式组的应用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．23．【答案】（1）证明：连接OD，如图，∵，∴，∴，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∵OD为的半径，∴CD是的切线；（2）解：∵，在中，，∴，设，则，∴，∴．∵AB为的直径，∴，∴，∵，∴．∴，∴，∴．∵，∴，∵，∴OE为的中位线，∴，∴．【解析】（1）连接OD，利用直角三角形的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质与已知条件得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可；（2）利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，，；利用圆周角定理和平行线的判定与性质得到，再利用相似三角形的判定与性质，列出比例式求得相等OF，利用垂径定理和三角形的中位线定理求出线段OE，则．本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，三角形的中位线定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．24．【答案】解：（1）∵直线经过点，∴，∴，∴直线AB的解析式为，∵点在直线上，∴，∴，∴，把代入得，；（2）∵直线与y轴交于点B，∴，∵轴，∴把代入中得，，∴，∴的面积；（3）∵以点A，O，E，F为顶点的四边形为平行四边形，，∴，设点，①当点E位于点F的左侧时，∴点，则，∴，∵，∴，∴；②当点E位于点F的右侧时，∴点，则，解得：，∵，∴，∴，综上所述，若以点A，O，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点E的坐标为或．【解析】（1）∵根据题意列方程即可得到结论；（2）根据一次函数的解析式得到，把