湖南省湖湘名校2023-2024学年高三第四次模拟考试数学试卷含解析

湖南省湖湘名校2023-2024学年高三第四次模拟考试数学试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），则f（x）的最小值为（）A． B． C． D．2．如图，设为内一点，且，则与的面积之比为A． B．C． D．3．i是虚数单位，若，则乘积的值是()A．－15 B．－3 C．3 D．154．设全集集合，则（）A． B． C． D．5．（）A． B． C．1 D．6．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（）A．2 B． C． D．37．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（）A． B． C． D．8．已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（）A． B． C．2 D．﹣29．已知平面向量，满足，，且，则（）A．3 B． C． D．510．下图为一个正四面体的侧面展开图，为的中点，则在原正四面体中，直线与直线所成角的余弦值为（）A． B．C． D．11．已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为A． B． C． D．12．下列不等式正确的是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____．14．已知，为双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上存在点满足，则的最大值为________．15．已知集合，，则________.16．满足线性的约束条件的目标函数的最大值为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知分别是的内角的对边，且．（Ⅰ）求．（Ⅱ）若，，求的面积．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的值．18．（12分）某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时）.（1）应抽查男生与女生各多少人？（2）根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表：时间（小时）[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]频率0.050.200.300.250.150.05若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时，请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”？男生女生总计每周平均体育锻炼时间不超过2小时每周平均体育锻炼时间超过2小时总计附：K2.P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87919．（12分）如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，底面，且，为的中点.（1）证明：；（2）设点是线段上的动点，当直线与直线所成的角最小时，求三棱锥的体积.20．（12分）已知动点到定点的距离比到轴的距离多.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设，是轨迹在上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且时，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.21．（12分）已知离心率为的椭圆经过点.(1)求椭圆的方程；(2)荐椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆分别交于，若直线、、的斜率成等差数列，请问的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.22．（10分）已知函数.（1）讨论函数单调性；（2）当时，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为，再求最值.【详解】已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），=，=，因为，所以f（x）的最小值为.故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2、A【解析】

作交于点，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出与的比例，再由与的比例，可得到结果.【详解】如图，作交于点，则，由题意，，，且，所以又，所以，，即，所以本题答案为A.【点睛】本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键.3、B【解析】，∴，选B．4、A【解析】

先求出，再与集合N求交集.【详解】由已知，，又，所以.故选：A.【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.5、A【解析】

利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.【详解】，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.6、A【解析】

分析：题设的直线与抛物线是相离的，可以化成，其中是点到准线的距离，也就是到焦点的距离，这样我们从几何意义得到的最小值，从而得到的最小值.详解：由①得到，，故①无解，所以直线与抛物线是相离的.由，而为到准线的距离，故为到焦点的距离，从而的最小值为到直线的距离，故的最小值为，故选A.点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.7、D【解析】

由试验结果知对0～1之间的均匀随机数，满足，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计的值．【详解】解：根据题意知，名同学取对都小于的正实数对，即，对应区域为边长为的正方形，其面积为，若两个正实数能与构成钝角三角形三边，则有，其面积；则有，解得故选：．【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题.线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.8、D【解析】

化简z＝（1+2i）（1+ai）=，再根据z∈R求解.【详解】因为z＝（1+2i）（1+ai）=，又因为z∈R，所以，解得a＝-2.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9、B【解析】

先求出，再利用求出，再求.【详解】解：由，所以，，，故选：B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.10、C【解析】

将正四面体的展开图还原为空间几何体，三点重合，记作，取中点，连接，即为与直线所成的角，表示出三角形的三条边长，用余弦定理即可求得.【详解】将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中三点重合，记作：则为中点，取中点，连接，设正四面体的棱长均为，由中位线定理可得且，所以即为与直线所成的角，，由余弦定理可得，所以直线与直线所成角的余弦值为，故选：C.【点睛】本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.11、D【解析】

如图所示，设依次构成等差数列，其公差为.根据椭圆定义得，又，则，解得，.所以，，，.在和中，由余弦定理得，整理解得.故选D．12、D【解析】

根据，利用排除法，即可求解．【详解】由，可排除A、B、C选项，又由，所以．故选D．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出得答案．【详解】，，则，的共轭复数在复平面内对应点的坐标为，故答案为【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键，是基础题．14、【解析】

设，由可得，整理得，即点在以为圆心，为半径的圆上．又点到双曲线的渐近线的距离为，所以当双曲线的渐近线与圆相切时，取得最大值，此时，解得．15、【解析】

利用交集定义直接求解．【详解】解：集合奇数，偶数，．故答案为：．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．16、1【解析】

作出不等式组表示的平面区域，将直线进行平移，利用的几何意义，可求出目标函数的最大值。【详解】由，得，作出可行域，如图所示：平移直线，由图像知，当直线经过点时，截距最小，此时取得最大值。由，解得，代入直线，得。【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的解法——平移法。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）由已知结合正弦定理先进行代换，然后结合和差角公式及正弦定理可求；（Ⅱ）由余弦定理可求，然后结合三角形的面积公式可求；（Ⅲ）结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解．【详解】（Ⅰ）因为，所以，所以，由正弦定理可得，；（Ⅱ）由余弦定理可得，，整理可得，，解可得，，因为，所以；（Ⅲ）由于，．所以．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式，二倍角公式及三角形的面积公式的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．18、（1）男生人数为人，女生人数55人.（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.【解析】

（1）求出男女比例，按比例分配即可；（2）根据题意结合频率分布表，先求出二联表中数值，再结合公式计算，利用表格数据对比判断即可【详解】（1）因为男生人数：女生人数＝900：1100＝9：11，所以男生人数为，女生人数100﹣45＝55人，（2）由频率频率直方图可知学生每周平均体育锻炼时间超过2小时的人数为：（1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05）×100＝75人，每周平均体育锻炼时间超过2小时的女生人数为37人，联表如下：男生女生总计每周平均体育锻炼时间不超过2小时71825每周平均体育锻炼时间超过2小时383775总计4555100因为3.892＞3.841，所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.【点睛】本题考查分层抽样，独立性检验，熟记公式，正确计算是关键，属于中档题.19、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）要证明，只需证明平面即可；（2）以C为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求，并求其最大值从而确定出使问题得到解决.【详解】（1）连结AC、AE，由已知，四边形ABCE为正方形，则①，因为底面，则②，由①②知平面，所以.（2）以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设，，则，所以，设，则，所以当，即时，取最大值，从而取最小值，即直线与直线所成的角最小，此时，则，因为，，则平面，从而M到平面的距离，所以.【点睛】本题考查线面垂直证线线垂直、异面直线直线所成角计算、换元法求函数最值以及等体积法求三棱锥的体积，考查的内容较多，计算量较大，解决此类问题最关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.20、（1）或；（2）证明见解析，定点【解析】

（1）设，由题意可知，对的正负分情况讨论，从而求得动点的轨迹的方程；（2）设其方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到，所以，所以直线的方程可表示为，即，所以直线恒过定点．【详解】（1）设，动点到定点的距离比到轴的距离多，，时，解得，时，解得.动点的轨迹的方程为或（2）证明：如图，设，，由题意得（否则）且，所以直线的斜率存在，设其方程为，将与联立消去，得，由韦达定理知，，①显然，，，，将①式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为，即，所以直线恒过定点.【点睛】本题主要考查了动点轨迹，考查了直线与抛物线的综合，是中档题．21、(1)；(2)是，【解析】

(1)根据及可得，再将点代入椭圆的方程与联立解出，即可求出椭圆的方程；(2)可设所在直线的方程为，，，，将直线的方程与椭圆的方程联立，用根与系数的关系求出，然后将直线、、的斜率、、分别用表示，利用可求出，从而可确定点恒在一条直线上，结合图形即可求出的面积．【详解】(1)因为椭圆的离心率为，所以，即，又，所以，①因为点在椭圆上，所以，②由①②解得，所以椭圆C的方程为．(1)可知，，可设所在直线的方程为，由，得，设，，，则，，设直线、、的斜率分别为、、，因为三点共线，所以，即，所以，又，因为直线、、的斜率成等差数列，所以，即，化简得，即点恒在一条直线上，又因为直线方程为，且，所以是定值.【点睛】本题主要考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题，属于中档题．22、（1）见解析（2）见解析【解析