九年级（上）期末数学试卷（含答解析）

九年级（上）期末数学试卷

选择题（共8小题）

1.如果NA是锐角，且sinA=5,那么NA的度数是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

2.如图，A,B,。是。。上的点，如果N8OC=120。，那么NA4C的度数是（）

3.将二次函数y=12-4%+1化成(x-/z)?+%的形式为()

A.y=(x-4)2+1B.y=(x-4)2-3C.y=(x-2)2-3D.y=(x+2)2-3

4.如图，在口A3CD中，石是A8的中点，EC交BD于点F,那么所与的比是（）

A.1：2B.1：3C.2：1D.3：1

9

5.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A,5在反比例函数（x>0）的图象上，如果将矩形

x

0cA。的面积记为Si，矩形。砂方的面积记为S2,那么Si，出的关系是（

A.Si>S2B.5I=S2C.Si<S2D.不能确定

6.如图，将一把折扇打开后，小东测量出NAOC=160°,OA=25cm,OB=10cm,那么由蓝，而

及线段A3,线段CD所围成的扇面的面积约是（）

1

A.157cm2B.314cm2C.628cm2D.733cm2

7.二次函数y=Q%2+灰+c(QWO)的图象如图所示，那么下列说法正确的是()

B.。<0,b>0,c>0

C.a<0,b>0,c<0D.〃VO,/?<O,c>0

a+b(a<b)

8.对于不为零的两个实数。，b,如果规定：a,、、，那么函数的图象大致是

-77(a>b)

9.如图，在RtZkABC中，ZC=90°,BC=5,AB=6,那么cos3=,

2

A

n

11.已知反比例函数丫=变2,当x>0时，y随x增大而减小，则机的取值范围是.

x

12.永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯

瞰园博园全貌.如图，在A处测得NC4£>=30°,在8处测得/C8O=45°,并测得A8=52米,

（加仁1.4,如P1.7,结果保留整数）

13.如图，。。的直径AB垂直于弦CD,垂足为E.如果NB=60°,AC=4,那么CD的长为

14.已知某抛物线上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标

是.

X.・・-2-1012・・・

・・・・・・

y50-3-4-3

15.刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的

精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率=圆的周长与该圆直径的比值）

“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”

说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.

3

刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三

角形的边长均为圆的半径R此时圆内接正六边形的周长为6R,如果将圆内接正六边形的周长等

同于圆的周长，可得圆周率为3.当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周

率为.（参考数据：sin/5。=0.26）

16.阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学们思考如下问题：

请利用直尺和圆规四等分篇.

小亮的作法如下：

如图，

（1）连接A&

（2）作AB的垂直平分线CD交源于点M.交AB于点T；

（3）分别作线段AT,线段2T的垂直平分线跖，GH,交定于N,P两点；

那么N,M,P三点把第四等分.

老师问：“小亮的作法正确吗？”

请回备：小亮的作法（“正确”或“不正确”）理由是.

三.解答题（共12小题）

17.计算：sin60°-tan450+2cos60°

18.函数-2：依-3M7是二次函数.

4

(1)如果该二次函数的图象与y轴的交点为(0,3),那么相

(2)在给定的坐标系中画出(1)中二次函数的图象.

环

6-

5-

4-

3-

2-

1-

-6・5-4-3-21234561

-2

-3

-4

-5

-6

19.如图，在△ABC中，D,石分别是边AB,AC上的点，连接。区S.ZADE=ZACB.

(1)求证：△AOEs2\AC5；

(2)如果E是AC的中点，AD=8,A8=10,求AE的长.

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，点。为正方形ABC。对角线的交点，且正方形A5CZ)的边均

与某条坐标轴平行或垂直，AB=4.

(1)如果反比例函数y=K的图象经过点A,求这个反比例函数的表达式；

x

(2)如果反比例函数y=k的图象与正方形ABCD有公共点，请直接写出上的取值范围.

X

0

21.如图1,某学校开展“交通安全日”活动.在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的

分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货

5

车的盲区，保护自身安全.小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平

面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2.在图2中大货车的形状为矩形，而盲区1为

梯形，盲区2、盲区3为直角三角形,盲区4为正方形.

图1图2

请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：

(1)盲区1的面积约是13;盲区2的面积约是m2；

(加弋1.4,如弋1.7,sin25°«=0.4,cos25°弋0.9,tan25°仁05,结果保留整数)

(2)如果以大货车的中心A点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图

2中画出大货车的危险区域.

22.如图是边长为1的正方形网格，△A/1G的顶点均在格点上.

(1)在该网格中画出222c2(顶点均在格点上)，使△A2&C2s△A1B1G;

(2)请写出(1)中作图的主要步骤，并说明282c2和△A/1G相似的依据.

23.如图，A8是。。的直径，C是。。上一点，连接AC.过点2作。。的切线，交AC的延长线

于点。，在上取一点E,使连接BE,交。。于点F.

请补全图形并解决下面的问题：

(1)求证：NBAE=2/EBD；

Ji

(2)如果AB=5,sin/EBD=3求8。的长.

5

6

上

24.小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”.小

哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：

（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利元；

（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株

25.如图，尸是窟所对弦AB上一动点，过点P作尸交源于点C,取AP中点。，连接CD已

知A8=6C7W,设A,P两点间的距离为xc7w,C.。两点间的距离为（当点尸与点A重合

时，y的值为0；当点尸与点3重合时，y的值为3）

小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小凡的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表:

x/cm0123456

ylem02.2—3.23.43.33

（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象;

7

(3)结合所画出的函数图象，解决问题：当/C=30°时，AP的长度约为<

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线>="2+法+3。过点A(-1,0).

(1)求抛物线的对称轴;

(2)直线>=尤+4与y轴交于点3,与该抛物线对称轴交于点C.如果该抛物线与线段8C有交点，

结合函数的图象，求。的取值范围.

27.如图，△ABC是等边三角形，D,E分别是AC,BC边上的点，且4O=CE,连接2。，AE相交

于点F.

(1)/BFE的度数是

如果黑那么黑

(2)

ACZDr

(3)如果繁=巳时’请用含〃的式子表示AR2尸的数量关系'

并证明.

28.对于平面直角坐标系xOy中的点尸和OC,给出如下定义：若OC上存在一个点使得MP

=MC,则称点尸为OC的“等径点”，已知点。(春，；)，E(0,2«),尸(-2,0).

(1)当。。的半径为1时,

8

①在点。，E,尸中，。。的“等径点”是；

②作直线斯，若直线E尸上的点T（相，w）是O。的“等径点”，求机的取值范围.

（2）过点E作EGLEP交x轴于点G,若△E/G各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这

个圆的半径r的取值范围.

9

2018-2019学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

1.如果/A是锐角，且sinA=5,那么NA的度数是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

【分析】利用特殊角的三角函数值解答即可.

【解答】解：是锐角，且sinA=}

的度数是30°,

故选：D.

【点评】此题考查特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值解答.

2.如图，A,B,C是。。上的点，如果/8OC=120°,那么/BAC的度数是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论.

【解答】解：与/BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，NBOC=120。，

/.ZBAC^—ZBOC^6Q°.

2

故选：B.

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于

这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.

3.将二次函数y=%2-4x+l化成y=a（x-h）?+左的形式为（）

A.y=（x-4）2+lB.y=（尤-4）2-3c.y=（x-2）2-3D.y=（x+2）2-3

【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶

点式.

【解答】解：y=x2-4.r+l

10

=(x2-4x+4)+1-4

=(x-2)2-3.

所以把二次函数y=x2-4x+l化成y=a(x-/z)?+4的形式为：y=(%-2)2-3.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的三种形式.二次函数的解析式有三种形式：

(1)一般式：y—ax2+bx+c(oWO,a、b、c为常数)；

(2)顶点式：y=a(x-h)2+k；

(3)交点式(与无轴)：y—a(x-xi)(x-》2).

4.如图，在口ABCD中，E是A8的中点，EC交BD于点F,那么跖与CF的比是()

A.1：2B.1：3C.2：1D.3：1

【分析】根据平行四边形的性质可以证明然后利用相似三角形的性质即可求出答

案.

【解答】解：由平行四边形的性质可知：AB//CD,

:.△BEFS^DCF,

:点E是AB的中点，

.BEBE1

"AB

.EFBE=1

,,CF^CD-T

故选：A.

【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题

型.

9

5.如图，在平面直角坐标系xOy中，点43在反比例函数y==(x>0)的图象上，如果将矩形

x

0cA。的面积记为S1，矩形。即尸的面积记为S2，那么Si，S2的关系是()

11

A.Si>S2B.Si=S2C.Si<S2D.不能确定

【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|。从而证

得S1=S2.

9

【解答】解：：点A,8在反比例函数y=彳（尤>0）的图象上，

矩形OCAD的面积Si=|Z|=2,矩形OEBF的面积$2=同=2,

：.St=S2

故选：B.

【点评】本题主要考查了反比例函数>=上中上的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂

x

线，所得矩形面积为|川，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定

要正确理解上的几何意义.

6.如图，将一把折扇打开后，小东测量出/AOC=160°,OA=25cm,OB=10cm,那么由孩，而

及线段线段所围成的扇面的面积约是（）

A.157cm2B.314cm2C.628cm2D.733cMi2

【分析】根据扇形面积公式计算即可.

【解答】解：由余，面及线段A8,线段C。所围成的扇面的面积

16QHX252_16QKXlQ2

360360

2733（cm2）,

故选：D.

【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：5扇形=磊尸R2是解题的关键.

360

7.二次函数（〃W0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（)

12

yt

A.a>0,b>0,c>0B.a<OfZ?>0,c>0

C.a<0,b>0,c<0D.〃V0,/?<O,c>0

【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与v轴

的交点位置可确定c的符号.

【解答】解：:•抛物线开口向下，

•••抛物线的对称轴在y轴的右侧，

•\x=—>0,

2a

；,b>0,

•・,抛物线与y轴的交点在x轴上方，

.\c>0,

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=a?+版+c（〃wo）,二次项系数

4决定抛物线的开口方向和大小：当。>0时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；

一次项系数匕和二次项系数〃共同决定对称轴的位置：当〃与b同号时（即〃。>0）,对称轴在

y轴左；当〃与人异号时（即MV0）,对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：

抛物线与y轴交于（0,。）;抛物线与x轴交点个数由△决定：△=抉-4加>0时，抛物线与x

轴有2个交点；△=庐-4〃<?=0时，抛物线与％轴有1个交点；△=/??-4〃c<0时，抛物线与x

轴没有交点.

a+b（a<b）

8.对于不为零的两个实数a,b,如果规定：crkb=<a,那么函数的图象大致是

7（a/b）

（）

13

y

【分析】先根据规定得出函数y=2*x的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求

解.

【解答】解：由题意，可得当2<x,即x>2时，y=2+x,y是x的一次函数，图象是一条射线除去

端点，故A、。错误；

当22x,即xW2时，>=-：，y是尤的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在

第四象限时，0<xW2,故8错误.

故选：C.

【点评】本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函

数y=2★尤的解析式是解题的关键.

二.填空题（共8小题）

弓

9.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°，BC=5,AB=6,那么cosB=—

-6~

【分析】直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案.

【解答】解：：/C=90°,BC=5,AB=6,

故答案为：名.

6

【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握定义是解题关键.

14

10.若2m=3n,那么m-.n=3：2.

【分析】逆用比例的性质：内项之积等于外项之积即可求解.

【解答】解：机=3%

••ntzzz——3：2.

故答案为：3：2.

【点评】考查了比例的性质：内项之积等于外项之积.若m=母，则蜀=儿.

bd

11.已知反比例函数y=Q2,当x>0时，y随x增大而减小，则一的取值范围是，>2.

X

【分析】根据反比例函数丫=3二二，当x>0时，y随x增大而减小，可得出机-2>0,解之即可得

X

出机的取值范围.

【解答】解：•..反比例函数>=变2,当尤>0时，y随x增大而减小，

x

.,.m-2>0,

解得：m>2.

故答案为：机>2.

【点评】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出〃-2>0是解题的关键.

12.永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯

瞰园博园全貌.如图，在A处测得NC4D=30°,在B处测得/CBD=45°,并测得AB=52米,

那么永定塔的高C£>约是74米.（血心1.4,加七\.7,结果保留整数）

【分析】首先证明CD设8D=CZ）=x,在RtaACZ）中，由NA=30°,推出耳CO,

由此构建方程即可解决问题.

【解答】解：如图，：COLA。，NCBD=45°,

：.ZCDB=90°,ZCBD=ZDCB=45°,

:.BD=CD,设B£>=CD=x,

在RtzXACf）中，VZA=30°,

：.AD=4^CD,

15

.".52+x=yf^x,

.52,、

..x---r--^74（m）,

V3-1

故答案为74,

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考

常考题型.

13.如图，O。的直径45垂直于弦。，垂足为E.如果/B=60°,AC=4,那么CD的长为4.

【分析】由是O。的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得NACB=90°,又由48=60°,

AC=4,即可求得的长，然后由A8LC。，可求得CE的长，又由垂径定理，求得答案.

【解答】解：是。。的直径，

AZACB=90°,

VZB=60°,AC=4,

•…AC473

••JDLX---二,

tan603

u：ABLCD,

；.CE=BC・sin60°®=2,

32

:.CD=2CE=4.

故答案为：4.

【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角函数的性质.注意直径所对的圆周角是直角，

得到乙4。＞=90°是关键.

14.已知某抛物线上部分点的横坐标尤,纵坐标y的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是（1,

-4)

X-2-1012

y…50-3-4-3

【分析】根据二次函数的对称性求得对称轴，进而根据表格的数据即可得到抛物线的顶点坐标.

【解答】解：•••抛物线过点（0,-3）和（2,-3）,

16

...抛物线的对称轴方程为直线1,

,/当x=1时,y=-4,

抛物线的顶点坐标为（1,-4）；

故答案为：（1,-4）.

【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键.

15.刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的

精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率=圆的周长与该圆直径的比值）

“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”

说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.

刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三

角形的边长均为圆的半径凡此时圆内接正六边形的周长为6R,如果将圆内接正六边形的周长等

同于圆的周长，可得圆周率为3.当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周

率为3.12.（参考数据：sinZ5°=0.26）

【分析】连接。4、OA2,根据正十二边形的性质得到乙/。42=30°,△4042是等腰三角形，作

也于〃，根据等腰三角形三线合一的性质得出NAiOM=15°,4也=24林设圆的半

径R,解直角△4OM,求出进而得到正十二边形的周长L,那么圆周率IT2士.

2R

【解答】解：如图，设半径为R的圆内接正十二边形的周长为，

连接。4、OA2,

:十二边形A1A2--A12是正十二边形，

/.ZA16>A2=3O°.

作OALLAiAz于M，又。4=042，

NA1OM=15°,AIA2=2AIM.

在直角△A10M中，AlM=OAl-sinZAlOM=Q.26R,

...AIA2=2AIM=0.52R,

17

：.L=12AIA2=6.24R,

，圆周率豆能击6.24R—312

2K2R

故答案为3.12.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，正多边形和圆，等腰三角形的性质，求出正十二边形

的周长L是解题的关键.

16.阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学们思考如下问题：

请利用直尺和圆规四等分篇.

小亮的作法如下：

如图，

（1）连接AB；

（2）作的垂直平分线CQ交源于点交AB于点T；

（3）分别作线段AT,线段的垂直平分线EFGH,交源于N,尸两点；

那么N,M,尸三点把第四等分.

老师问：“小亮的作法正确吗？”

请回备：小亮的作法不正确（“正确”或“不正确”）理由是EF,GH平分的不是弧AM,

所对的弦.

18

【分析】由作法可知，弦AN与MN不相等，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到合力而，即

平分的不是弧AM所对的弦.同理可得G8平分的不是弧所对的弦.由此得出小亮的作法不

正确.

【解答】解：小亮的作法不正确.理由是：

如图，连结AN并延长，交CD于J,连结设EF与交于/.

由作法可知，EF//CD,AI^IT,

：.AN=NJ,

,：ZNMJ>ZNJM,

：.NJ>MN,

：.AN>MN,

...弦AN与MN不相等，

则余力而，即平分的不是弧AM所对的弦・

同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦.

故答案为不正确；EF,G8平分的不是弧AM,所对的弦.

【点评】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，圆心角、弧、弦的关系定理.根据

19

作法得出弦AN与MN不相等或弦3尸与PM不相等是解题的关键.

三.解答题（共12小题）

17.计算：sin60°-tan450+2cos60°

【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可.

【解答】解：原式=喙-1+2又方

2

【点评】此题考查特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值计算.

18.函数y=nvc1-2mx-3m是二次函数.

（1）如果该二次函数的图象与y轴的交点为（0,3）,那么加=-1；

（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象.

6

5

4

3

2

1

-6-5-4-3-2殁123456K

-4

-5

-6

【分析】（1）由抛物线与y轴交于（0,3）,将x=0,y=3代入抛物线解析式，即可求出机的值;

（2）由（1）求得解析式，配方后找出顶点坐标，根据确定出的解析式列出相应的表格，由表格得

出7个点的坐标，在平面直角坐标系中描出7个点，然后用平滑的曲线作出抛物线的图象.

【解答】解：（1）・・,该函数的图象与y轴交于点（0,3）,

・••把x=0,y=3代入解析式得：-3m=3,

解得m=-1,

故答案为-1；

（2）由（1）可知函数的解析式为y=-/+2X+3,

•・•尸-X2+2X+3=-（x-1）2+4,

・•・顶点坐标为（1,4）；

20

列表如下:

X-2-101234

y-503430-5

描点;

【点评】此题考查了待定系数法确定函数解析式，函数图象的画法，以及二次函数的图象上点的坐

标特征.

19.如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC上的点，连接DE,S.ZADE^ZACB.

(1)求证：AADE^AACB；

(2)如果E是AC的中点，AO=8,42=10,求AE的长.

【分析】(1)根据相似三角形的判定即可求出证.

(2)由于点E是AC的中点，设AE=x,根据相似三角形的性质可知黑=绊，从而列出方程解出

ACAB

x的值.

【解答】解：(1)VZADE=ZACB,ZA=ZA,

:.AADESAACB；

(2)由(1)可知：：AADE^AACB,

.ADAE

ACAB

21

・••点E是AC的中点，设AE=x,

.\AC=2AE=2x,

,.,AO=8,AB=IO,

・8_-

••诙—T?’

解得：尤=2比a

*'•AE=2、］g.

【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题

型.

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，点。为正方形ABC。对角线的交点，且正方形ABC。的边均

与某条坐标轴平行或垂直，AB=4.

(1)如果反比例函数丫='的图象经过点A,求这个反比例函数的表达式；

X

(2)如果反比例函数y=k的图象与正方形ABC。有公共点，请直接写出左的取值范围.

x

0

【分析】(1)根据题意得出A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；

(2)根据A、B、C、。的坐标，结合图象即可求得.

【解答】解：(1)由题意得，A(2,2),

..•反比例函数丫='的图象经过点A,

X

・・.A=2X2=4,

反比例函数的表达式为：y=-；

X

(2)由图象可知：如果反比例函数>='的图象与正方形ABC。有公共点，上的取值范围是0<4/4

X

或-4WY0.

【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质以及反比例函数的图象，根

22

据图象得出正方形各点的坐标是解题的关键.

21.如图1,某学校开展“交通安全日”活动.在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的

分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货

车的盲区，保护自身安全.小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平

面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2.在图2中大货车的形状为矩形，而盲区1为

梯形，盲区2、盲区3为直角三角形，盲区4为正方形.

图1图2

请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：

(1)盲区1的面积约是5盲区2的面积约是4m2；

心1.4,遥-1.7,sin25°心0.4,cos25°^0.9,tan25°-05,结果保留整数)

(2)如果以大货车的中心A点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图

2中画出大货车的危险区域.

【分析】⑴作。尸，。于尸.根据等腰梯形的性质求出DP=y(CD-OB)=1.解直角△ODP,

得出0P=DPWD=M，再利用梯形的面积公式即可求出盲区1的面积；解直角△BEN,求

出BE=——叱y那么sBEN~BE'EN^4m2,即为盲区2的面积；

tanZEBNA2

(2)利用勾股定理求出AC=AD=d(2+禽)2+22=']]+4相,AH=AG=Y&+2)2+]2=仍吊

AM=AA^=^22+(2+l)2=V13＞得到AC最大，那么以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大

货车的危险区域.

【解答】解：(1)如图，作。尸，8于P.

「OBCD是等腰梯形，OB=2,CD=4,

：.DP=—(CD-OB)=1.

2

在直角△0。尸中，VZD=60",

23

，OP=DP-tanZD=1义«=遮，

•••S梯形。BCD=3(OB+CZ))-OP=^(2+4)-V3=3V3^3X1.7«5(m2),

即盲区1的面积约是5:/；

在直角ABEN中，'：ZEBN=25°,EN=2,

“EN_2.

..BE----7------仁----=4,

tan/EBN0.5

2

/.SABEN=^BE-EN^~X4X2=4(m),

即盲区2的面积约是4根2.

故答案为5,4；

⑵-：AC=AD=yj(2+V3)2+22=Vll+4V3-

AH=AG=yJ(2+2)2+12=V17>

AM=AN=^22+(2+l)2=V13>

：.AC=AD>AH=AG>AM=AN,

：.以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域.

如图所示.

24

【点评】本题考查了作图-应用与设计作图，解直角三角形的应用，视点、视角和盲区，等腰梯形、

矩形、正方形的性质以及勾股定理.准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

22.如图是边长为1的正方形网格，的顶点均在格点上.

（1）在该网格中画出△A2&C2（顶点均在格点上），使△A2&C2s△A隹1G;

（2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明282c2和△4810相似的依据.

【分析】（1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图即可；

（2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定求解可

得.

【解答】解：（1）如图所示，282c2即为所求；

（2）先取一格点A2,在水平方向上取A2c2=2,再在网格中取一格点&,使/。242历=135°,且

42&=加，

则282c2s向C1;

VAiCi=4,NQA归i=135°,4冏=2a,

25

.A2C2A2B2.1

、/C2A2历=/CiA/i,

A1%A[B]2

/./kA282c2s△AiSQ.

【点评】本题主要考查作图-相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似

三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理.

23.如图，48是。。的直径，C是。。上一点，连接AC.过点8作。。的切线，交AC的延长线

于点。，在上取一点E,使连接BE,交。。于点凡

请补全图形并解决下面的问题:

(1)求证：NBAE=2/EBD；

(2)如果AB=5,sin/EBD=&.求8。的长.

5

【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明/BAE=2/B4R再证明NEBZ）=/BA尸即可解决问题;

（2）作EH_LBD于H.由sin/B4F=sinNE3D=返，48=5,推出2尸=旄，推出BE=2BF=2炳,

5

推出由/=4（2泥）2-22=4,由即〃42,推出瞿

在RtZXABP中，EH=BE*sin/EBH=2,

雪，由此即可求出。反解决问题;

【解答】（1）证明：连接AF.

ZAFB=9Q°,

：.AF.LBE,

26

•：AB=AE,

：./BAE=2/BAF,

：8。是。。的切线，

AZABD^90°,

,：ZBAF+ZABE=90°,ZABF+ZEBD=90a,

/EBD=ZBAF,

：.ZBAE=2ZEBD.

(2)解：作EH_LBD于H.

；/BAF=NEBD,

：.smZBAF=smZEBD=-^-,'：AB=5,

5

：.BF=y[s>

:.BE=2BF=2炳,

在RtAAB/中，EH=BE-sinZEBH=2,

•1•BH=4(2遥)2-22=4,

♦:EH//AB,

.EH=DH

.2_PH

•亏―DH+4'

3'

【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是

学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型.

24.小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”.小

哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：

（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利1元;

（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株

获利=单株售价-单株成本）

27

【分析】（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5-4

=1（元），即可求解；

（2）点（3,5）、（6,3）为一次函数上的点，求得直线的表达式为：月=-枭+7；同理，抛物

线的表达式为：>2=---（X-6）2+1,故：为->2=--^-X+7+-^-（X-6）2-1=-；（X-5）2+-~,

即可求解.

【解答】解：（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，

则每株获利为5-4=1（元），

故：答案为1;

（2）设直线的表达式为：yi=kx+b,

把点（3,5）、（6,3）代入上式得：

/5=3k+b铲汨k二4

〈c-「解得：<3,

I3=6k+b

.b-1

9

・•・直线的表达式为：力=-亲什7；

设：抛物线的表达式为：yi=a（x-m）2+n,

•・,顶点为（6,1）,则函数表达式为：（x-6）2+1,

把点（3,4）代入上式得：

4=a（3-6）2+1,解得：a=-

则抛物线的表达式为：、2=-；（尤-6）2+1,

.*.yi-,2=~•1"x+7+4-（x-6）2-1=-；（x-5）2+-^-,

OOOO

*.*CL--2<0,

・・・%=5时，函数取得最大值，

28

故：5月销售这种多肉植物，单株获利最大.

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大利润的问题常利函数的增减性来解

答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案.

25.如图，P是窟所对弦上一动点，过点尸作交窟于点C,取AP中点。，连接CD已

知4B=6C7",设A,P两点间的距离为XC727,C.。两点间的距离为yc7?z.(当点P与点A重合

时，》的值为0;当点P与点B重合时，y的值为3)

小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小凡的探究过程，请补充完整:

(3)结合所画出的函数图象，解决问题：当/C=30°时，AP的长度约为3.3cm.

=2,因为PC_LAB,P'