课题学习最短路径问题（原卷版）

八年级数学上分层优化堂堂清一十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题学习目标：1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。体会图形的变化在解诀最值问题中的作用。2.感悟转化思想。重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。难点：路径最短的证明。老师对你说：老师对你说：垂直线段最短问题动点所在的直线已知型方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。将军饮马问题方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．①两定一动②一定两动③两定两动造桥选址问题A方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．AMMNNBB基础提升教材核心知识点精练知识点1垂直线段最短问题【例11】如图，在锐角三角形中，，，的平分线交于点D，点M、N分别是和上的动点，则的最小值为（

）A． B． C．6 D．5【例12】如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（）A． B． C． D．知识点2将军饮马问题【例21】如图，在中，，，面积是10；的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（

）A．7 B．9 C．10 D．14【例22】如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为.【例23】如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是．知识点3造桥选址问题【例31】如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄A． B．C． D．【例32】如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条桥梁连接P，Q两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（

）A．B．C．D．.【例33】在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2（1）如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；（2）如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；（3）如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．能力强化提升训练1.如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点M、N，使得的周长最小，则的度数为（）A． B． C． D．2.如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则α与β的数量关系为．．3.如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为．堂堂清选择题（每小题4分，共32分）1．如图，在中，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．62.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则A．154 B．245 C．5 3.如图，直线a是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（

）B．C．D．4.如图，OA,OB分别是线段MC,MD的垂直平分线，MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm，一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点FA．12cm B．10cm C．7cm D．5cm5.如图，在边长为8的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，则四边形BEFG周长的最小值为______．6.如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄A． B．C． D．7.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC、AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，若三角形CDM的周长的最小值为13，则等腰三角形ABC的面积为（

）A．78 B．39 C．42 D．308.如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（

）A． B．C． D．．填空题（每小题4分，共20分）9.如图，在锐角中，，，平分，、分别是和上的动点，则的最小值是．10.小华的作业中有一道题：“如图，AC，BD在AB的同侧，，，，点E为AB的中点．若，求CD的最大值．”哥哥看见了，提示他将和分别沿CE、DE翻折得到和，连接．最后小华求解正确，得到CD的最大值是．11.如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为度．12.如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为.13.如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝_______°．三、解答题（共6小题，48分）14.（9分）如图，平面上有五个点A，B，C，D，E．按下列要求画出图形．（1）连接BD；（2）画直线AC交线段BD于点M；（3）请在直线AC上确定一点N，使B，E两点到点N的距离之和最小．15.（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．（1）请画出ΔABC关于原点对称的ΔA（2）在x轴上求作一点P，使ΔPAB的周长最小，请画出ΔPAB，并直接写出P的坐标．16.（9分）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．（1）若，则的度数是；（2）连接，若，的周长是．①求的长；②在直线上是否存在点，使的值最小，若存在，标出点的位置并直接写出的最小值；若不存在，说明理由．17.（8分）如图1、图2和图3，A、B两点在直线l同侧，且点A、B所在直线与l不平行，在直线l上画出符合要求的点P（不写做法与理由，保留作图痕迹）．（1）为最大值，在图1中的直线l上画出点的位置；（2），在图2中的直线l上画出点的位置；（3）为最小值，在图3中的直线l画出点的位置．18.（8分）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若AB=2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．19.（8分）如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC=70°，则∠MBC的度数是度；（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．拓展培优*冲刺满分1.如图①，△ABC，△CDE都是等边三角形．发（1）写出AE与BD的大小关系.（2）若把△CDE绕点C逆时针旋转到图②的位置时，上述（1）的结论仍成立吗？请说明理由．（3）△ABC的边长为5，△CDE的边长为2，把△CDE绕点C逆时针旋转一周后回到图①位置，求出线段AE长的最大值和最小值．2.