等差数列的前n项和公式（第2课时）（教学设计）高二数学（人教A版2019选择性）

等差数列的前n项和公式（第2课时）教学设计课时教学内容等差数列的前项和公式的应用.课时教学目标1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，了解等差数列前n项和的一些性质.2.掌握等差数列前n项和的最值问题．教学重点、难点重点:等差数列的前项和公式的应用.难点:综合与灵活运用等差数列的前项和公式.教学过程设计环节一创设情境，引入课题例8某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位．分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列．设数列的前项和为．由题意可知，是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前项和公式求首项．解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且．由，可得．因此，第1排应安排21个座位．环节二观察分析，感知概念例9已知等差数列的前项和为，若，公差，则是否存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由．分析：由和，可以证明是递减数列，且存在正整数，使得当时，，递减．这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和．另一方面，等差数列的前项和公式可写成，所以当时，可以看成二次函数当时的函数值．如图，当时，关于的图象是一条开口向下的物物线上的一些点．因此，可以利用二次函数求相应的，的值．环节三抽象概括，形成概念解法1：由，得，所以是递减数列．又由，可知：当时，；当时，；当时，．所以．也就是说，当或6时，最大．因为，所以的最大值为30．环节四辨析理解深化概念解法2：因为．所以，当取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30．环节五概念应用，巩固内化想一想，这是为什么？思考在例9中，当时，有最大值吗？结合例9考虑更一般的等差数列前项和的最大值问题．环节六归纳总结,反思提升问题请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：1.本节课学习的概念有哪些？2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？等差数列{an}的前n项和公式的函数特征1.公式可化是关于的表达式:.当时,关于的表达式是一个常数项为零的二次函数式,即点在其相应的二次函数的图象上,这就是说等差数列的前项和公式是关于的二次函数,它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点.2.等差数列前项和的最值(1)在等差数列中,当时,有最大值,使取得最值的可由不等式组确定;当时,有最小值,使取到最值的可由不等式组确定.(2),若,零的二次函数的角度中:当时,有最小值;当时,有最大值.当取最接近对称轴的正整数时,取到最值.环节七 目标检测，作业布置完成教材：教科书练习第24页第4,5题习题第24页第5,6,7,8题.练习（第24页）1．某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元．你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？1．解析：从12月20日到第二年的1月1日共13天，每天领取奖金数是以100为首项，10为公差的等差数列，设为，则，，．∴共获奖金(元)．，∴第二种领奖方式获奖者受益更多．2．已知数列的前项和．求这个数列的通项公式．2．解析：当时，．当时，，．3．已知等差数列，，，…的前项和为，是否存在最大（小）值?如果存在，求出取得最值时的值．3．解：(方法一)由题意知，，，，令，则，数列的前9项为负项，从第10项起为正项，存在最小值，此时．（方法二）由题意知，，，，对应图象的对称轴为直线，存在最小值，此时．4．求集合且中元素的个数，并求这些元素的和．4．解析：，，，，最大取30，最小取1，∴集合中共有30个元素．其和．*5．已知数列的通项公式为，前项和为．求取得最小值时的值．5．解析：令，得或．又，所以数列满足，，，，…，，，，…，取得最小值时．习题（第24页）1．根据下列等差数列中的已知量，求相应的未知量：（1），，，求及； （2），，，求及；（3），，，求及； （4），，，求及．1．解析：（1）将，，．代入，得，解得．将，，代入，得，解得．（2）将，，分别代入，，得．解这个方程组，得，．（3）将，，，代入，得，解得．将，，代入得．（4）将，，代入，得．解得．将，，代入，得．提示：等差数列的通向公式及前项和公式共涉及五个量，，，，，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．2．已知为等差数列，，，求．2．解析：，，，，．．3．（1）求从小到大排列的前个正偶数的和．（2）求从小到大排列的前个正奇数的和．（3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和．（4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？3．解析：（1）设这个正偶数依次排列构成等差数列，则，，．（2）设这个正奇数依次排列构成等差数列，则，，．（3）设这些5的倍数从小到大依次排列构成等差数列，则，，．，，，即有180个数是5的倍数．．（4）小于100的正整数中被7除余2的最小数为2，最大数为93，这些数构成以2为首项，7为公差的等差数列．设有个数，由，得，即有14个数被7除余2．．4．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大星的运行曲线和1531年、1607年的星惊人地相似．他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归．这就是著名的哈雷慧星，它的回归周期大约是76年．请你查找资料，列出哈雷慧星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的年份．4．解析：根据历史记载，哈雷彗星在1607年以后的回归时间依次为1682年，1759年，1835年，1910年，1986年，预测它在本世纪回归的年份为2062年．5．已知一个多边形的周长等于158cm，所有各边的长成等差数列，最大的边长为44cm，公差为3cm．求这个多边形的边数．5．解析：(方法一)设这个多边形最短边的长为，边数为，则，，．根据等差数列前项和公式与通项公式，得，解得或（不合题意，舍去)．故这个各边形的边数是4．(方法二)设这个多边形最长边的长为，边数为，则，，．由，解得或(不合题意，舍去)．故这个多边形的边数是4．6．数列，都是等差数列，且，，．求数列的前100项的和．6．解析：由题意知，数列为等差数列，首项为，，．7．已知是等差数列的前项和．（1）证明是等差数列；（2）设为数列的前项和，若，，求．7．解析：（1）证明：设等差数列的公差为，则，，又（常数），是等差数列．（2）是等差数列，设，则数列是等差数列，设其公差为，则，，，，．．8．已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和．8．解析：有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182是两个数列的相同项．共有个，也是等差数列，它们的和为，这个新数列的各项之和为1472．9．一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔10min发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息．（1）截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？（2）如果每辆车行驶的速度都是60km/h，这个车队当天一共行驶了多少千米？9．解析：（1）第一辆车出发时间为14时，每辆车的间隔事件为，即为小时，则第15辆车在小时后，出发的时间为时，所以第15辆车行驶的时间为小时，即1小时40分钟．（2）设每辆车行驶的时间构成数列，由题意可得构成首项为，公差为的等差数列，则15辆车行驶的时间的和为小时，所以行驶的总里程为．10．已知等差数列的公差为，求证．你能从直线的斜率角度来解释这个结果吗?10．解析：因为等差数列的公差为，所以．在斜率为的直线上任取两点，，则，即公差为的等差数列的图象是由点组成的集合，这些点均匀分布在直线上．11．虎甲虫以爬行速度快闻名，下表记录了一只虎甲虫连续爬行时爬行的距离．时间/s12345678910距离/m2.505.037.5510.0512.4515.0117.2819.9022.4825.07（1）你能建立一个数列模型，近似地表示这只虎甲虫连续爬行的距离与时间之间的关系吗？（2）利用建立的模型计算，这只虎甲虫连续爬行1min能爬多远（精确到0.01m）？它连续爬行10m需要多长时间（精确到0.1s）？11．解析：（1）这只虎甲虫的爬行距离依次排列可构成数列．设为，可近似地看成一个等差数列，，，．（2）这只虎甲虫连续爬行，，；这只虎甲虫爬行时，令，即，．∴这只虎甲虫连续爬行min能爬行