量化与量化误差第二节

量化与量化误差第二节5．2．1二进制数的表示（1）定点表示整个运算中，小数点在数码中的位置固定不变，称为定点制；定点制总是把数限制在±1之间；最高位为符号位，0为正，1为负，小数点紧跟在符号位后；数的本身只有小数部分，称为“尾数”；第2页,共30页，2024年2月25日，星期天定点数作加减法时结果可能会超出±1，称为

“溢出”；乘法运算不溢出，但字长要增加一倍。为保证字长不变，乘法后，一般要对增加的尾数作截尾或舍入处理，带来误差。另外一种定点数的表示是总把数看成整数。缺点：动态范围小，有溢出。第3页,共30页，2024年2月25日，星期天定点数的表示分为三种（原码、反码、补码）：设有一个（b+1）位码定点数：β0β1β2┄βb，则①原码所代表的十进制表示为例：1.111→-0.875,0.010→0.25第4页,共30页，2024年2月25日，星期天

②反码表示：（反码和补码的正数表示和原码没有区别，负数的反码表示就是将该数正数表示形式中的所有位取反）例：正数表示：0.101其反码为：1.010原码和反码的总和1-末尾加1进位成最大值1第5页,共30页，2024年2月25日，星期天

③补码表示（正数同原码，负数则将原码中的尾数求反加1，即）例：正数表示：0.110取反：1.001x的补码：1.010原码加减法运算要考虑符号位；补码加法运算规律：正负数可直接加减，符号位同样参加运算，结果仍是补码。若结果没有超出字长范围，则符号位丢弃不影响结果的正确性。若超出字长范围，如符号位发生双进位，可以自然丢弃，若是单进位，丢掉则发生溢出；第6页,共30页，2024年2月25日，星期天补码又称“2的补码”。补码中负数是采用2的补数来表示的，即先把负数加上2，以便将正数与负数的相加转化为正数与正数的相加，从而克服原码表示法做加减法的困难。X=-0.625在原码中表示为1.101，在补码中为2-0.625=1.375，因此补码的表示为1.011.第7页,共30页，2024年2月25日，星期天（2）浮点表示

尾数指数阶数浮点制运算:相加对阶相加归一化,并作尾数处理相乘:尾数相乘,阶码相加,再作截尾或舍入。优点:动态范围大,一般不溢出.缺点:相乘、相加，都要对尾数作量化处理。一般，浮点数都用较长的字长，精度较高，所以我们讨论误差影响主要针对定点制。第8页,共30页，2024年2月25日，星期天

对于任意一个二进制数n，可用N=S×2P表示，其中S为尾数，P为阶码，2为阶码的底，P、S都用二进制数表示，S表示N的全部有效数字，P指明小数点的位置。当阶码为固定值时，数的这种表示法称为定点表示，这样的数称为“定点数”；当阶码为可变时，数的这种表示法称为浮点表示，这样的数称为“浮点数”。

通常定点数有两种表示法，均设P=0，小数点是隐含的，若数值部分为n位：

当S为纯整数时，此时定点数只能表示整数，所能表示的N范围是（2n-1）≥N≥-（2n-1）；当S为纯小数时，此时定点数只能表示小数，所能表示的N范围是（1-2-n）≥N≥-（1-2-n）。

实际数值不一定都是纯整数或纯小数，运算前可选择比例因子，使所有原始数据化成纯小数或纯整数，运算后再用比例因子恢复成实际值。第9页,共30页，2024年2月25日，星期天

定点制中的乘法，运算完毕后会使字长增加，例如原来是b位字长，运算后增长到b1位，需对尾数作量化处理使b1位字长降低到b位。量化处理方式：截尾：保留b位，抛弃余下的尾数；舍入：按最接近的值取b位码。两种处理方式产生的误差不同，另外，码制不同，误差也不同。5.2.2

定点制的量化误差第10页,共30页，2024年2月25日，星期天1、截尾处理Truncated

：

1）正数（三种码形式相同）一个b1位的正数为：用[·]T表示截尾处理，则截尾误差可见，ET≤0，βi全为1时，ET有最大值，“量化宽度”或“量化阶”q=2-b：代表b位字长可表示的最小数。一般2-b1<<2-b,因此正数的截尾误差为-q<ET≤0第11页,共30页，2024年2月25日，星期天2）负数负数的三种码表示方式不同，所以误差也不同。原码（β0=1）：

0≤ET<q第12页,共30页，2024年2月25日，星期天反码（）

第13页,共30页，2024年2月25日，星期天

补码（）因所以

第14页,共30页，2024年2月25日，星期天补码的截尾误差全是负值，原码和反码的截尾误差与数的正负有关，正数时为负，负数时为正，并且都以正负q为界第15页,共30页，2024年2月25日，星期天2.舍入处理Rounding

通过b+1位上加1后作截尾处理实现。就是通常的四舍五入法，按最接近的数取量化，所以不论正数、负数，还是原码、补码、反码，误差总是在之间，以表示对x作舍入处理。舍入处理的误差比截尾处理的误差小，所以对信号进行量化时多用舍入处理。也就是超过0.5进位，小于则舍去第16页,共30页，2024年2月25日，星期天5.2.3A/D变换的量化效应A/D变换器分为两部分：采样：时间离散，幅度连续；量化：数字编码，对采样序列作舍入或截尾处理，得有限字长数字信号。本节讨论这一过程中的量化效应。

第17页,共30页，2024年2月25日，星期天对一个采样数据作截尾和舍入处理，则截尾量化误差：

舍入量化误差：

上两式给出了量化误差的范围，要精确知道误差的大小很困难。一般，我们总是通过分析量化噪声的统计特性来描述量化误差。可以用一统计模型来表示A/D的量化过程。

以补码为例第18页,共30页，2024年2月25日，星期天

图A/D变换器模型第19页,共30页，2024年2月25日，星期天

其中e(n)就是量化误差，对其统计特性作如下假定:：①e(n)是平稳随机序列；②e(n)与信号x(n)不相关；③e(n)任意两个值之间不相关，即为白噪声；④e(n)具有均匀等概率分布。由上述假定知，量化误差是一个与信号序列完全不相关的白噪声序列，称为量化噪声（是一个加性白噪声）。第20页,共30页，2024年2月25日，星期天

误差的均值和方差：截尾量化噪声：

有直流分量，会影响信号的频谱结构。舍入量化噪声：可见，量化噪声的方差与A/D变换的字长直接有关，字长越长，量化噪声越小。

第21页,共30页，2024年2月25日，星期天

定义量化信噪比：

用对数表示：

字长每增加1位，量化信噪比增加6个分贝；信号能量越大，量化信噪比越高。注：因信号本身有一定的信噪比，单纯提高量化信噪比无意义。第22页,共30页，2024年2月25日，星期天例：已知x(n)在-1至1之间均匀分布，求b=8、b=12位时A/D的SNR。因均匀分布，所以有：均值：方差：当b=8位，则SNR=54dB，当b=12位，则SNR=78dB.第23页,共30页，2024年2月25日，星期天5.2.4量化噪声通过线性系统

为了单独分析量化噪声通过系统后的影响，将系统近似看作是完全理想的（即具有无限精度的线性系统）。在输入端线性相加的噪声，在系统的输出端也是线性相加的。系统的输出第24页,共30页，2024年2月25日，星期天输出噪声为如为舍入噪声，则输出噪声的方差为：由于是白色的，各变量之间互不相关，即代入上式，得

由Parseval定理,第25页,共30页，2024年2月25日，星期天H(z)全部极点在单位圆内，表示沿单位圆逆时针方向的圆周积分。由留数定理：如为截尾噪声，则输出噪声中还有一直流分量第26页,共30页，2024年2月25日，星期天

例3：一个8位A/D变换器（），其输出作为IIR滤波器的输入，求滤波器输出端的量化噪声功率，已知IIR滤波器的系统函数为：

解：由于A/D的量化效应，滤波器输入端的噪声功率为：滤波器的输出噪声功率为：