【人教版】高一数学第五章平面向量（全章）教案

［人教版］高一数学第五章平面向量

第五童平面向量

教材：向量

目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等,

根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

a®：

开场白：课本P93（略）

实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，问：猫

能否追到老一鼠？（画图）\

结论：猫的速度再快也没用，因为方向借，了。A

、提出课题：平面向量

1-意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等注意：1。

数量与向量的区别：

.数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小:

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2o从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优度通性的数学体系，用

以研究空间性质。\|/

2.向，量•的表示方法：、、\l/J"a

1。几何表示法：点一射线

有向线段一一具有一定方向的线段A（起

有向线段的三要素：起点、方向、长记作/更（注意起讫）

2o字母表示法：48可表示为a（印刷时用黑体字）

P95例用1cm表示5nmail（海里）

3.模的概念：向量新方的大小一长度称为向量的模。--------w-----------

A

记作：|A8|模是可以比较大小的

4.两个特殊的向量：

lo零向量一■长度（模）为。的向量，记作6。6的方向是任意的。

注意6与0的区别

2。单位向量一一长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。例：温度有零上

零下之分，“温度”是否向量？答：不是。因为零上零下也只是大小之分。

例：旨百与万冒是否同一向量？

答：不是同一向量“°

例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？

答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。

三、向量间的关系：

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：a//b//c

规定：6与任一.向量平行

2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。/

记作：a=b

规定:6=6

任两相，等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。

3.共线向.量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，

所以平行向量也叫共线向量。

OA=aOB=hOC=c

例：（P95）略

变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存.在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：.与向

量共线的向量有哪些？（3,万3,豆）

四、小结：

五、作业：P96练习习题5.1

第四敛时

教材，向量、向量的加法、向量的减法综合练习《教学与测试》64、65、66课目的：通过练

习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、共线向量的概念，掌握向量的加法与减法的意义

与几何运算。

itS：

六、复习：

lo向量的概念一：定义、表示法、模、零向量、单位.向量、平行向量、

.相等向量、共线向量

2o向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法.则、运算定律

七、1.处理《教学与测试》P135-136第64课（略）

2.处理《教学与测试》P137—138第65课

例一、设a表示“向东走3km”，b表示“向北走3A7”,

贝!]a+b表示向东北走3人2km

解:OB=OA+AB

0B=J32+32=3>/2(km)

例二、试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。证：由向量加

法法则：

AB=〜AO+OB,DC=DO+OC

由已知：〜AO=OC,DO=OB

/.AB-DC.即48与CD平行且相等

f及/为平行四边形

例三、在正六边形中，若如=atOE=6,试用

.向量a、b将而、0C.而表示出来。解：设正

六边形中心为P

~0B=OP+PB=（PA+0E）+04=a+b+a

0C=OP+PC=a+b+a+b

由对称性：OD=b+b+a

3.处理《教学与测试》P139—140第66课（略）

八、.有时间可处理“备用题”：

例一、i'AB+DF+CD+BC+FA

解：AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA

=AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0

例二、在静水中划船的速度是每分钟40,水流的速度是每分钟20,如果船从岸边出发，

径直沿垂直与水.流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？如

图：船航行的方向是与河岸垂直方向卢公八。主缶《明出白而的二游。

解:

下游

九、作业:上述三课中的练习部分(选)

第九教时

教材:向量平行的坐标表示

目的,复习巩固平而向量坐标的概念,掌握平行向量充要条件的坐标表示，并且能用它解决向

量平行(共线)的有关问题。

过程:一、复习：1.向量的坐标表示(强调基底不共线，《教学与测试》

P145例三)

2.平面向量的坐标运算法则

练习：1.若M(3,-2)N(-5,-l).且加二测求P点的坐标:

解：设P(x,y)RiJ(x-3,y+2)=l(-8,l)=(-4,|)

x-3二-4[x=2

山=_L•…时点坐标为

222

2-若A(O,1),B(l,2),C(3,4)则AB-2BC=(-3,-3)

3.已知：四点A(5,1),B(3,4),C(L3),D(5,-3)求证："四边形ABCD是梯

形。

解：VAB=(-2,3)DC=(-4,6)."AB=2DC.

z股〃%且II=IDCI.••四边形ABCD是梯形

、：i.提出问题：共线向量的充要条件是有且只有一个实数才使得BE,那么这个充要条件如何

用坐标来表示呢？

2.推导：设a=(Xby-i)b=(X2,丫2)其中靖S

B-(xi,Vi)=(X2,y2)=[“一,2.消去Xiy2.

X2yi=o

结论：a//b(6*0)的充要条件是xiy2-X2yi=0

注意：1°消去X时不能两式相除，Vyi,y2有可能为0,靖6

•.•X2,V2中至少有一个不为0

2。充要条件不能写成改=也...xi,X2有可能为0

X2

—,-♦

3。从而向量共线的充要条件有两种形式：a//b(片。6)。

泌-%1外=0

三、应用举例

例一(P111例四)例二(P111例五)

例三若向量万=(-“)与片=(-x,2)共线且方向相同，求x

解：x)与段=(-x,2)共线.•.(-l).X2•x-(-*)=0

.,.x=±7I...,与片方向相同/.x=V2

例四已知人(-1,-1)8(1,3)(2(1,5)口(2,7)向量屏与瓦平行吗？直线

AB与平行于直线CD吗？

解:…而=(1-(-1),3-(-1))=(2,4)而=(2一1,7-5)=(1,2)

又：72X241=0加//〜CD

又：花=(1-(-1),5-(-1))=(2,6)屈=(2,4)

2X4-2X6*0.•…万与奇不平行

•.•A,B,C不共线AAB与CD不重合.•.AB〃CJ)

四、练习：1.已知点A(0,l)B(l,0)C(l,2)D(2,1)求证:AB./7CD

2.证明下列各组点共线：1°A(l,2)B(-3,4)C(2,3.5)

2°P(-l,2)Q(0,5,0)R(5,-6)

3.已知向量5=(-1,3)片=(x,T)且，〃5求*

五、小结：向量平行的充要条件(坐标表示)

六、作业：P112练习4习题5.47、8、9

《教学与测试》P1464、5、6、7、8及思考题

教材：向量的减法

目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。

as：

十、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则

向量加法的运算定律：

DC

例：在四边形中，CB+BA+BA=CD/~7

解：CB+BA+BA=CB+BA+AD=CD//

十一、提出课题：向量的减法

1.用“相反向量”定义向量的减法.

1°”相反向量，”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作.-0

2o规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a)=a

任一向量与它的相反向量的和是零向量。a+(f)=0如果a、b互为相反

向量，贝I。=-8,b=-a,a+b=0

3o向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a-b=a

+(-b)求两个向量差的运算叫做向量的减法。

2.用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：

若b+x=a.则x叫做a与b的差，记作a-b

3.求作差向量：已知向量a、b,求作向量

*.*(a-b)+b=a+(-b)+b=a+

作法：在平面内取一点O,

作(24=a,A8=b

BA=a-b

即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。

注意：1。万万表示a-如强调：差向量“箭头”指向被减数

2o用"相反向量"定义法作差向量，a-b=a+(-b)

.显然，此法作■图较繁，但最后作图可统一。

y七十（~b[O*七

OBAB'°BA

R-hR-h

十二、例题：

例一、（P101例三）已知向量a、b、c>d,求作向量a-b、c-do

解：在平面上取一点O,作0A=a,OB=b,OC=c,OD=d,

作函，万&则〜BA=a-b,DC=c-d

例二、平行四边形中，，用表示向量,

解:由平行.四边形法则得:

AC~a+b,DB-AB-AD-a-b

变式一:当a,b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（|a|二Jb|）

变式二:当a,b满足什么条件时，|a+b|=|a-b|?Q"互相垂直）

变式三:a+b与a-b可能.是相当向量吗？（不可能，47对角线方向不同）十三、小

结：向量减法的定义、作图法I十四、作业：P102练习

P103习题5.24—8

第二敬时

教材：向量的加法

目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和

向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算。

十五、复习：向量的定义以及有关概念

强调：1。向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相

等…

2。正因为如此，我们研究的向量.是与起点无关的自由向量，即任

何.向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。

十六、提出课题：向量是否能进行运算？

5某人从A到B,再从B按原方向到C,

则两次的位移和：7B+BC—AC

6.若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,一,一

■.CAB

则两次的位移和：AB+BC=AC

7.某车从A到B,再从B改变方向到C,

则两次的位移和：AB+BC=AC匕二〜

AB

8.船速为奇，水速为衣，/AC

则两速度和：AB+BC=AC/

提出课题：向量的加法£--------------7

三、1.■定义：求两•个向量的和的运算，叫做向量时板】法。

注意：：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）

2.三角形法则:

lo“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的

起点

2o可以推广到n个向量连加3°a+0=0+a=a4o不共线向量都可以采用

这种法则一一三角形法则

3.例一、已知向量。、6,求作向量。+片作.法：在平面内取一点,

作房=打〜AB=b

贝WB=a+b\

X—a

4.加法的交换律和平行四边形法则

上题中A+指的结果与指+片是否相同验.证结果相同

从而得到：1»向量加法的平行四边形法则

2。向量加法的交换律：a+h=b+a

9.向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

证：如图：AB=a,BC=h,CD=c

贝Ij(a+Z>)+C=JC+CD=JD

a+(b+c)=AB+BD=AD

.\~(a+b)+c=a+(b+c)

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。

四、例二（P98—99）略

五、小结：1。向量加法的几何法则

2。交换律和结合律

3。注意：|打+片|＞修|+|片|不一定成立，因为共线向量不然。

六、作业：P99—100练习P102习题5.21—3

第时

教材：向量的坐标表示与坐标运算

目的：要求学生理解平面向量的坐标的概念，较.熟练地掌握平面向量的坐标运算。“

过程，一、复习：1.复习向量相等的概念/AC

°"自由向量

OA=BC

2.平面向量的基本定理（基底）

——*—*

3=X+X2电

其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量

的线性组合。

二、平面向量的坐标表示

1.在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数（坐标）来表示

问题：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢?

取x轴、V轴上两个单位向量;，,作基底，则平面内作一向量

a=x/+yj,

记作：a=(x,y)称作向量3的坐标

如：a-04=(2,2)/=(!,

b=08=(2,-1)

c-OC={1,-5)

］二(0,0)

2.注意：1。每一平而向量的坐标表示是唯一的：

2。设A(xi,yi).B(x2,y2)则—=(x2・xi,y2-yi)

3O两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等

3.例一：(P109)略

三、平面向量的坐标运算

1.问题：1。已知&区,V。Z?(X2,y2)求a班，&一片的坐标

20已知5(x,y)和实数X,.求人万的坐标

2-解：a+b=(Xii+vij)+(X2/+y2J)=(x]+X2)i+(V1+V2)j

即：a+6=(Xi+X2,yi+y2)

同理：a-h=(xi-X2,Y1-Y2)

3.结论：两个向最和下养的坐标分别等F这两个向景相应坐标的和与差。

同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。

用减法法则：

••奇而-房=(X2,V2)-(X1,yi)

二仅2一乂1,y2-yi)

4.实数与向量积的坐标运算：已知5=(x,y)实数人

则X5=X(xz+yj)=Xx/+Xyy

:,x5=(xX,xy)

结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。

四、例二(P110例二)

例三(P111例三)

例四(P145例一)已知三个力瓦(3,4),再(2,-5),百(x,V)的合力

瓦+百+尺=6

求房的坐标。

解：由题设月+百+冗=6得：(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0)

,,,,[3+2+x=0即：｛

x=-5--

1-£(-5,1)

[4~5+y=0[y=1

例五、已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-l,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构

成平行四边形四个顶点。

解：当平行四边形为ABCD时仿例三

得:Di=(2,2)

当平行四边形为ACDB时，仿例三

得：D2=(4,6)

当平行四边形为DACB时，仿上得:

D3=(-6,0)

五、小结：1.向量的坐标概念

六、作业：P112练习1—3习题5.41—6

第二十二教时

教材：复习一一向量、向量的加法.与减法、实数与向量的积

目的：通过复习对上述内容作一次梳理，使学生对知识的理解与应用提高到一个新的水平。

a®：

十七、知识(概念)的梳理：

1.向量：定义、表示法、模.、几种特殊向量

2.向量的加法与减法：法则(作图)、运算律

ko

解：・.・c〃d..•由向量共线的充要条件得：。二才"(XeR)

即：ka+b=X(a+kb)/.(A-X)a+(1-Xk)b=0

又•：a、6不共线...由平面向量的基本定理：二

1——KX=O

11.如图：已知出ABCD中,AH=HD.BF=MC二-BC.没

4

AB=a,AD=6,试用a>b分别表示为财、

解：ToABCD中，BF=MC=~BC,

.•,FM=-BC=\AD=AHFM劣H

22一

四边形/加昭也是平行四边形，;•AF=HM

又：二一BC—~AD—~a,FB――BC---b

444

:,AM=AB+BM=a+-bf.MH=FA=FB+BA=­b-a44

AF--FA=一(一b-a)=一b+a

44

十九、作业：《导学•创新》§5.1§5.2

第二十三教时

教材：复习二一一实数与向量的数量积(续)

目的：继续复习有关知识，提高学生数形结合、解决实际问题的能力。

i+Sx

二十、继续复习实数与向量的积、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理一一平几问题

12.如图：已知MN是4A8c的中位线，

求证：MN=-BC,且MN//BC/X.

2M卜-------------Xw

HE:•脉是AA8c的中位线，/、\

:•AM=—AB,AN=­B-------------------------------------------------------c

,，，.]——*1——*1——•-*1一*

：.MN=AN-AM=~AC—AB=-(AC-AB)=~BC

/.MN=yBC,,，且MN//BC

13.证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。

证：设旅=b,C5=a,PliJjB=JC+c5=b+|o,EB=EC+CB=

共线，B,G,E共线

「,可设而=4和，EG-pEB,则,SG=4AD-A(b+ia)=/Ib+iAa,

1_______*

EG-fiEB-ii(一b+a)=一pb+pa,

AE+EG=AG即：——b+(——fib+na)=b+—a

A)a+(-fi-A+—)b-ONa,b不平行，

."产。J2

"Il.1n=〉•-/••••

U—=>AG=-AD

A+—

=0/2

即：AG=2GD同理可化：AG=2GD,CG=2GF

、一，/?,一—、一

14.设4B=M(a+5b),5c=-2o+CD=3(a求证：A,8,D三点

共线。

证：AD=AB+BC+CD=--(a+5b)+(-2a+8b)+3(a~b)

=(1+手)a+(5+5孚)b=(1+手)(a+5b)

而45=<(a+5b)AD=(42+1)AB

又•：AD,奇有公共点:.A,B,。三点共线

15.求证：起点相同的三个非零向量a、b、3a-2b的终点在同一直线上。

证：依题意，可设0A=a,OB-b,OC=3a-2b

AB=OB-OA-b-a,AC~OC-OB=3a-2b-&=2(o-b)

：.AC=-2AB由于衣，奇起点均为Zx,..•三点48,C共线,

即起点相同的三个非零向量a、如3a-2b的终点在同一直线上

16.已知：平面上三点0、4、B不共线，求证：平面上任一点C与

A、8共线的充要条件是存在实数4和“，使%2物,顺且

证：必要性：设公，8,C三点共线，则可设4C=〃B(feR)

贝=OA+AC=OA+1AB=04+t(OB-OA)=(l~t)OA+tOB

令1-1=4,t=",贝(J有：OC=,(M+“如，且/+"=1

充分性：AC=OC-OA=AOA+"dB-OA=(A-l)dA+~dB

=~tiOA+fl0B=p(OB-OA)=iiAB

•••三点A、8、C共线

17.某人骑车以每小

时。公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北

方向吹来，试求实际风速和方向。解：设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶

的向量，无风时此人感到风速为-a,小

设实际风速为v,/\

那么此时人感到的风速为「a,力|

设03=_a,OB=-2aB------------------(

,:PO+OA=PA为〜-a,这就是感到由正，北方向吹来的风速，

VPdQB=PBPB=v-2a,于是当此人的速度是原来的2倍

时所感受到由东北方向吹来的风速就是应，

由题意：ZPBO=45°,PA1B0,BA=A0

从而，牙如为等腰直角三角形，•PO=P8=7Ia即：/=

41a

..■实际风速是扼。的西北风

二十一、作业：《导学•创新》§5.3

弟二十四教时

教材：复习三一一平面向量的坐标运算、定比分点

二十二、复习：平面向量坐标的概念，运算法则，定比分点二十三、例题:

18.已知四边形的顶点坐标为4(1,2),8(2,5),C(8,14),D(3,5).

求证：四边形/是一个梯形。

证：VJD=(2,3),BC=(6,切且2X9-3X6=0:.加〃〜BC

又...而=(1,3),CD=(-5,-9)而IX(-9)-3X(_5)=0..・ABfCD

.•./夕功为梯形

19.设a=(l,x),b=(-1,3),且2a+b〃。-28,试求x°

解：2o+b=(!,),a-2b=(3,x-6)

2a+b//a-2bIX(x-6)-(2x+3)X3=0=>x=-3

20.已知:4(1,-2),8(2,1),C(3,2),D(.-2,3),

lo求证：囚，B,C三点不共线

2o以;S、衣为一组基底来表示，而+就+而

解：1。丫/6=(1,3),2。=(2,4)V1X4-3X2。0〜ABfjAC

「.A,8C三点不■共线

2°AD+B5+CD=(-3,5)+(-4,2)+(-5,l)=(-12,8)

设：7D+BD+CD=mAB+nAC

即：(-12,8)=(m+2n,3m+4n)

-12=in+Inm-32

••AD+^D+CD=32AB-22AC

8=沏+4〃it=——

21.已知M(l,-3),A/(4,6),P(x,3),且三点共线，求点P分有向线段MN所成的比久及x的值。

4-x6-3

解一二旦二A

解.得：4=2,.x=3

22.已知ZSABC的顶点是A(xltyj,B(x21y2)fC(x31y3),求/XABC的重心

G的坐标(x,y)。

解：如图：•；〃是8c中点，f

...D点的坐标(臣

且G分有向线段么D所成的比4=2

P3

X[+第+原

•G的坐标

y-y广凹+*2+巧

1+2

•..△如C的重心G的坐标是（“5打乂+力+为

—,4-------

...BN'-NC即N分8c的比为4:5,设N(x,y)

:I5--=—1

1+13

5

3+—x(-2).

5_

24.已知点M(2,3),N(8,4),点P在线段MN上，豆MP=APN='MN,

求点P坐标和义。

解：设点P坐标为(x,y),由脓=/冽人=W=U

8-x4-y

又VAPN;/仞V可知4A0.;PN=AMN,

从而PN=(~2)NM,—2=-----=------

2-83-4

|人上

y-3"*2

8-x4_*

(*)二8-xH

-2=—=_4-y

2-83-42-83-4

—+—=0解得：x=ll±3>/5

8—x2—8

y34y_0角星得.9士妲

4-v13-4u辫侍：y

X=11+3A/5X=11-3V5

9+A/5.9-石

代入检验(*)：y2或「2

i-l-V?A=-1+V5

22

点P坐标(11+3妊勺鸟,人二4

或点P坐标(11-3妩")，2=

二十四、作业：《导学•创新》§5.4§5.5

第二十五教时

教材：复习四一一平面向量的数量积及运算律

目的：要求学生对平面向量的数量积的概念理解更清晰，并能教熟练地应用于平行、垂直等

问题。

过程：

二十五、复习：

1-定义、其结果是一个数量。

2.a-b>0o0We<90°：a-b=O-»=0=9O°BPa±b：a-b<0o900<0A180°

3,性质1°—5°

4.运算律

二十六、例题：

25.已知|a|=5,|b|=8.a与b的夹角为60。，求|o+b|

解：a,b=|a||b|cos60°=5X8X；=20

：.\a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a-b=129

:.\a+b\=7129

26.求证：|a+b|W|a|+|b|

证：\a+b|2=(o+£>)2=|o|2+\b\2+^^-|a|2+|b|2-+2|cr||b|cosOW|a|2+|b|2+

2|a||b|=(|a|+|b|尸

即：\a+b|<|a|+\b\

27.设非零向量a>b、c>d,满足d={a-c).b-(a-b)c.aidHE：内积a・c

与。均为实数，

a*d=a*[(a*c)力一(a•b)c]=a-[(a«c)b]-a*[(a*b)c]

二(a•b)(a•c)一(a•c)(a,b)=0

:.aid

28.已知非零向量a、b,满足。■土b,

求证：b〜o垂直于a+b的充要条件是|a|二|b|证：由题设：b-a与a+b均为非零向

量

必要性：设垂直于a+b,贝!J(b-a)(a+b)-0

又：(b-o)(o+b)=b2-o2=|b|2-|a|2

.,.|b|2-|a|2=oRP：|a|=|b|

充分性：设|a|二@班)-tf-a=|Z?|^-|a|2=0BP：(b-a)(a+b)=0

:.«-a)_L(a+b)

5.已知a人都是非零向量，且。+3b与7a-5b垂直，

aTZ?与7a-2b垂直，求a与b的夹角。

解：由(o+36)(%-5b)=0=>7a2+，6司6-/50①

(a-4b)(7a-2b)=0=>7a2-30ab+8b2=0②

两式相减：2ab=

代入①或②得：才二b2

设。、邱夹角加则8成希二矗二：

.*.e=6o°

6.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直公

证：设AB二DC二a,AD=BC=b

，：ABCD为菱形/.|o|二|b|

•ACBD=(b+a)(b~a)-tf-a=\b\^~|a|2=0

:.〜ACLBD

7.如图，AD.BE、CF是4A8c的三条高，求证：AD.BE.CF相交于一点。

证：设8E、CF交于一点、H,

AB-a,AC-b,AH=h,

贝-h-a,CH-h-b,BC=b-a

VBHXAC,CHLAB

.（h~a）~h-0

n（h一a）•b=（h一b）•a,nh•（b一a）=0

（h-a）-a-6

...AHLBC又…。点、。在AH的延长线上，..・AD、BE、CF相交于一点

二十七、作业：《导学•创新》§5.6

第二十六教时

复习五一平面向量的数量积的坐标表示、平移

让学生对平面向量的数量积的理解更深刻，尤其在两个非零向量垂直与平行的充要条

件的平行上更熟练。

二十八、复习：设向量a=（xliyi）,8=（乂

必），数量积的坐标表示:a-b二十口2

关于距离公式

alb

3.

a-b=OoXiX2+yiy2=0存在唯一4eRoxg+yiy2=0使a

二4b成立

二十九、例题：

2步已知|a|二3,b=（1,2）,且a//b,求a的坐标。

解：设vr=（x,y）V|a|=3V旷=3…①

又：'…②

3八5

3八5

解之：675或6V5叉-----

_y=.

即…（事半）或g（_孕,.誓）

30.设p=（2,7）,q=（x,-3）,求x的取值范围使得：

①P与q的夹角为钝角②p与q的夹角为锐角。

解：好与q的夹角为钝角op.q<0o2x-21<0ox<与即xe(-8冷)

②p与q的夹角为锐角=p•q>0=2x-21

31.求证：菱形的对角线互相垂直。证：设

B(6i,0),7W,

则AB=(bMAD=(dM于是旅=4万+

互；=(如0)+(diO)=(b+dItd2)

茹=刀-无=(di-bi,d2)

•:AC・BD=9『di)(d]-妇+=(如+罗卜妃

：|JD|2-bi2=|布[2-缶2=缶2_如2=01

：.ACLBDD

32.如图：/题是正方形，M是BC的中点，将正方形

折起使点么与M重合，设折痕为苏；若正方形面积

为64,求的面积。

解：如图，建立直角坐标系，_

显然EF是AM的中垂线，&

...N是AM的中点，又正方形边长为8•M(8,4),N(4,2)

设点E(e,O),则4材=(8,4),ZN=(4,2),/8=@。，EN=(4-e,2),

由无讶，前得：AM-EN=0IP：(8,4)•(4-e,2)=0

解之：e=5即I万|=5.•.SMEM=；I万X5X4=

10

33.求证：cos(a-p)=cosacosp+sinasinp

证：设a、。终边上以原点为起点的向量分别为a、瓦夹角为0,则a-p=2kjr±e

(keZ)

a=(IaIcosa,|a\sina)b=(\bIcoSo，|b|sin。)

a,b=|a|cosa,|b|cos&+|a|sina,|b|sin<,=|a||b|(cosacosp+

sinasinp)

又：:•a・b=：Ia11bIcosO=|a||b|cos[2k兀土(a-。)]=|a11b|cos

(a-P)

|a|Ib|(cosacosp+sinasinp)=|allb|cos(a-p)a#0,b~01,cos(a-p)=cosacosp+sinasinfj

34.将点>4(-3,2)平移到点P(2,-4),按此方式，若点B平移后的坐标为(-5,1),试求点8

的坐标。

解：依题意：平移向量2=刀尸(5,-6),

设8的坐标为(x,y),由平移公式：J-o

\=y~6[y=l

即点B坐标为GIO,7)

35.将函数y=左的图象经过怎样的平移可得到y=2x2-4x+3的图象？

解：y=2x2-4x+3=2(x-I)2+1

即向右平移1个单位，再向上平移1个单位，

即按a=(1,1)的方向平移即得的图象。

36.已知函数y=-2(x-2)2-l的图象经过按a平移后使得抛物线顶点在y轴上，且在x

轴上截得的弦长为4,求平移后函数解析式和a。解：依题意：平移后的函数解析式

为：y=2x2+n

平移前顶点为(2,-1).平移后顶点为(0,n),

：.a=(0-2,n-(-l))=(-2,n+l)

在y=2x2+n41,令y=0,x=±£:

•.•函数在x轴上截得的弦长为4/2,An=8.

•.■平移后的解析式为：y=2x2-8,且a=(-2,9).

三十、作业：《导学•创新》§5.7§5.8

第二十七教时

教材，复习六一一解斜三角形

目的，巩固对正弦、余弦的掌握，一并能较熟练地应用解决具体问题。

as：

三十一、复习：1°两个定理2o两个定理能解决的问题

三•十二、例题：

37.证明射影定理：a=bcosC+ccosB：b=acosC+ccosA：c=acosB+bcosA

.-r七H.a"+存-dd+/-b22/七、，

ilk—:石~b-------------------+c--------------=-------=a~左

2ah2ac2a

HE二：右边=2RsinBcosC+2RsinCcosB=2Rsin(B+C)=2Rsin