2024年北京市平谷区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年北京市平谷区中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）从水利部长江水利委员会获悉，截止2024年3月24日，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来（）A．7×108 B．7×109 C．7×1010 D．7×10112．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（2分）如图，点C为直线AB上一点，CD⊥CE，则∠2的度数是（）A．15° B．25° C．35° D．65°4．（2分）已知﹣1＜x＜0，下列四个结论中，错误的是（）A．|x|＜1 B．﹣x＞0 C．﹣x＞1 D．x+1＞05．（2分）正多边形每个内角都是120°，则它的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．86．（2分）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都是正面向上的概率是（）A． B． C． D．7．（2分）已知两组数据（1）3005，3005，3000，2994；（2）5，5，3，0，方差为，设第二组数据的平均值为，下列结论正确的是（）A．， B．， C．， D．，8．（2分）如图，正方形ABCD中，点E、H、G、F分别为AB、BC、CD、AD边上的点，四边形EKNF和四边形MHCG均为正方形，它们的面积分别表示为S1和S2，给出下面三个结论：①S1＝S2；②DF＝2AF；③S正方形ABCD＝S1+2S2．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：ax2+2ax+a＝．11．（2分）化简：的结果为．12．（2分）写出一个大于1且小于4的无理数．（答案不唯一）13．（2分）如图，反比例函数经过点A、点B．14．（2分）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．15．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，连接AD、CD．若∠D＝20°，则∠ACB的度数为．16．（2分）某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需A，B，C，D，E，F六道工序，B是前期准备阶段，C，D，E是中期制作阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，完成各道工序所需时间如表所示：阶段准备阶段中期制作阶段扫尾阶段工序ABCDEF所需时间/分钟1115201763加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元100701008050不能缩短在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到30分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如表元．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题，6分，第21题，5分，第22-23题，每题6分，第24-25题，每题5分，第26题6分；第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：2cos30°+（）﹣1+|﹣1|﹣．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知x2+x﹣5＝0，求代数式（x+1）（x﹣1）+x（x+2）20．（6分）我国古代数学著作《九章算术》里记载了这样一个有趣的问题：“今有善行者行100步，不善行者60步．今不善行者先行100步，善行者追之，走路慢的人只走了60步，现在走路慢的人先走100步，问走路快的人走多少步能够追上他？请你解决该问题．21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到（0，3）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞0时，对于x的每一个值，一次函数y＝（k≠0）的值且大于0，直接写出n的取值范围．22．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接DE并延长，使EF＝2DE（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）若∠B＝30°，求证：四边形ACEF是菱形．23．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝45°，过B作⊙O的切线交AC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠OAD；（2）若BC＝4，tanD＝，求⊙O半径的长．24．（5分）光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，在0℃至50℃气温，水资源及光照充分的条件下温度（℃）5101520253035404550光合作用产氧速率（μmol/m2s）0.020.180.300.400.580.821.420.900.400.02呼吸作用耗氧速率（μmol/m2s）0.030.100.150.200.280.370.420.600.820.60（1）通过观察表格数据可以看出，若设温度为x，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的函数，描出表中各组数值所对应的点，图中已经描出部分点，并画出函数图象；（2）结合函数图象，解决问题：（结果取整）①最适合草莓生长的温度约为℃；②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动25．（5分）4月24日是中国的航天日．为了激发全民尤其是青少年崇尚科学、勇于创新的热情，某学校在七、八年级进行了一次航天知识竞赛．现从七、八年级参加该活动的学生的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析a．七年级参加活动的20名学生成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．七年级参加活动的20名学生成绩的数据在80≤x＜90这一组的是：84858586868889c．八年级参加活动的20名学生成绩的数据如下：分数738182858891929496100人数1323131411根据以上信息，解答下列问题：（1）补全a中频数分布直方图；（2）七年级参加活动的20名学生成绩的数据的中位数是；八年级参加活动的20名学生成绩的数据的众数是；（3）已知七八两个年级各有300名学生参加这次活动，若85分以上算作优秀，估计这两个年级共有多少人达到了优秀．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线上存在两点A（x1，y1）和B（x2，y2），若对于1≤x1≤2，x2＝b+2，都有y1•y2＜0，求b的取值范围．27．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边中点，DE⊥AB于E，过点E作DF的垂线交DF于点G，交BC于点H．（1）依题意补全图形；（2）求证：DH＝BE；（3）判断线段FD、HC与BE之间的数量关系，并证明．28．（7分）平面直角坐标系xOy中，已知⊙M和平面上一点P，若PA切⊙M于点A，且90°≤∠APB＜180°，则称点P为⊙M的伴随双切点．（1）如果⊙O的半径为2，①下列各点P1（﹣1，0），P2（﹣2，2），P3（3，3），P4（﹣1，﹣2）是⊙O的伴随双切点的是；②直线y＝x+b上存在点P为⊙O的伴随双切点，则b的取值范围；（2）已知点E（1，2）、F（0，﹣2），过点F作y轴的垂线l（m，0）是x轴上一点，若直线l上存在以CE为直径的圆的伴随双切点

2024年北京市平谷区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）从水利部长江水利委员会获悉，截止2024年3月24日，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来（）A．7×108 B．7×109 C．7×1010 D．7×1011【解答】解：70000000000＝7×1010．故选：C．2．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．原图是轴对称图形；不符合题意；B．原图是轴对称图形；不符合题意；C．原图是中心对称图形；不符合题意；D．原图既是轴对称图形；符合题意．故选：D．3．（2分）如图，点C为直线AB上一点，CD⊥CE，则∠2的度数是（）A．15° B．25° C．35° D．65°【解答】解：∵CD⊥CE，∴∠DCE＝90°，∵∠1＝65°，∴∠2＝180°﹣∠8﹣∠DCE＝25°，故选：B．4．（2分）已知﹣1＜x＜0，下列四个结论中，错误的是（）A．|x|＜1 B．﹣x＞0 C．﹣x＞1 D．x+1＞0【解答】解：由题可知，﹣1＜x＜0，A、|x|＜2，不符合题意；B、﹣x＞0，不符合题意；C、﹣x＜1，符合题意；D、x+2＞0，不符合题意；故选：C．5．（2分）正多边形每个内角都是120°，则它的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得（n﹣2）180°＝120°×n，解得，故选：B．6．（2分）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都是正面向上的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：列表如下：正反正正正正反反反正反反共有4种等可能的结果，其中两次都是正面向上的结果有1种，∴两次都是正面向上的概率为．故选：A．7．（2分）已知两组数据（1）3005，3005，3000，2994；（2）5，5，3，0，方差为，设第二组数据的平均值为，下列结论正确的是（）A．， B．， C．， D．，【解答】解：∵（1）的平均数是：＝3001.4，（2）的平均数是：＝5.4，∴＞，（1）的方差是：×[（3005﹣3001.5）2+（3005﹣3001.4））8+（3003﹣3001.4）2+（3000﹣3001.8）2+（2994﹣3001.4）7]＝17.04，（2）的方差是：×[（4﹣1.4）2+（5﹣1.4））2+（0﹣7.4）2+（2﹣1.4）3+（﹣6﹣1.5）2]＝17.04，则＝．故选：D．8．（2分）如图，正方形ABCD中，点E、H、G、F分别为AB、BC、CD、AD边上的点，四边形EKNF和四边形MHCG均为正方形，它们的面积分别表示为S1和S2，给出下面三个结论：①S1＝S2；②DF＝2AF；③S正方形ABCD＝S1+2S2．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：如图，①∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∵四边形EKNF和四边形MHCG均为正方形，∴∠BHM＝∠CHM＝90°，∠BKE＝∠NKE＝90°，∴△BEK和△BMH都是等腰直角三角形，∴BH＝CH＝MH＝BC，同理可得DN＝KN，∴EK＝BD＝，∴S1＝EK2＝（BC）2＝BC2，S4＝MH2＝（BC）2＝BC2，∴S1≠S2；故结论①错误．②∵△AEF和△DFN都是等腰直角三角形，∴DF＝FNAF，∵四边形EKNF是正方形，∴FN＝EF，∴DF＝7AF；故结论②正确．③由①知：S1＝BC2＝S正方形ABCD，S2＝BC2＝S正方形ABCD，∴S4+2S2＝×S正方形ABCD+2×S正方形ABCD＝S正方形ABCD+S正方形ABCD＝S正方形ABCD；故结论③正确．故选：C．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≥1．【解答】解：要使代数式有意义，解得：x≥1．故答案为：x≥3．10．（2分）分解因式：ax2+2ax+a＝a（x+1）2．【解答】解：ax2+2ax+a，＝a（x3+2x+1）﹣﹣（提取公因式）＝a（x+6）2．﹣﹣（完全平方公式）11．（2分）化简：的结果为3．【解答】解：＝﹣＝＝＝8，故答案为：3．12．（2分）写出一个大于1且小于4的无理数π．（答案不唯一）【解答】解：∵1＝，5＝，∴只要是被开方数大于1而小于16，且不是完全平方数的都可．同时π也符合条件．13．（2分）如图，反比例函数经过点A、点B2．【解答】解：将A（﹣3，﹣1）代入，解得：k＝3，∴反比例函数解析式为y＝．当y＝时，＝，解得：m＝3，故答案为：2．14．（2分）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜1．【解答】解：由已知得：Δ＝4﹣4k＞2，解得：k＜1．故答案为：k＜1．15．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，连接AD、CD．若∠D＝20°，则∠ACB的度数为70°．【解答】解：由题意，∵＝，∴∠ABC＝∠ADC＝20°．又BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°．∴∠ACB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣20°＝70°．故答案为：70°．16．（2分）某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需A，B，C，D，E，F六道工序，B是前期准备阶段，C，D，E是中期制作阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，完成各道工序所需时间如表所示：阶段准备阶段中期制作阶段扫尾阶段工序ABCDEF所需时间/分钟1115201763加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元100701008050不能缩短在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要38分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到30分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如表750元．【解答】解：准备阶段最少需要15分钟，中期制作阶段最少需要20分钟，最少需要：15+20+3＝38（分钟），要缩短到30分钟，需要减少38﹣30＝8（分钟），准备阶段，将工序B减少到工序A的时间，增加投入：70×2＝280（元），中期制作阶段，将工序C减少到工序D的时间，增加投入：100×3＝300（元），还需要减少8﹣2﹣4＝1（分钟），若在准备阶段减少3分钟，增加投入100+70＝170（元），若在中期制作阶段减少一分钟，增加投入100+80＝180（元），∴所增加的投入最少是：280+300+170＝750（元）．故答案为：38，750．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题，6分，第21题，5分，第22-23题，每题6分，第24-25题，每题5分，第26题6分；第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：2cos30°+（）﹣1+|﹣1|﹣．【解答】解：2cos30°+（）﹣1+|﹣7|﹣＝＝＝8．18．（5分）解不等式组：．【解答】解：，解由①得，x＞﹣5，由②得，x＜4，∴﹣1＜x＜4．19．（5分）已知x2+x﹣5＝0，求代数式（x+1）（x﹣1）+x（x+2）【解答】解：（x+1）（x﹣1）+x（x+3）＝x2﹣1+x8+2x＝2x2+2x﹣1，∵x4+x﹣5＝0，∴x5+x＝5，当x2+x＝2，原式＝2（x2+x）﹣3＝2×5﹣5＝10﹣1＝9．20．（6分）我国古代数学著作《九章算术》里记载了这样一个有趣的问题：“今有善行者行100步，不善行者60步．今不善行者先行100步，善行者追之，走路慢的人只走了60步，现在走路慢的人先走100步，问走路快的人走多少步能够追上他？请你解决该问题．【解答】解：设走路快的人要走x步才能追上对方，依题意，得：＝，解得：x＝250．答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到（0，3）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞0时，对于x的每一个值，一次函数y＝（k≠0）的值且大于0，直接写出n的取值范围．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，∴k＝1，将（8，3）代入y＝x+b得，b＝3，∴一次函数的解析式为y＝x+6．（2）∵x＞0时，对于x的每一个值x+n的值小于函数y＝x+3的值且大于0，∴当x＞7时，一次函数y＝，且在x轴的上方．如图所示，当一次函数y＝与y轴的交点在（0，2）之间时，∴n的取值范围是：0≤n≤3．22．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接DE并延长，使EF＝2DE（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）若∠B＝30°，求证：四边形ACEF是菱形．【解答】证明：（1）∵点D，E分别是边BC，∴DE∥AC，AC＝2DE，∵EF＝2DE，∴EF∥AC，EF＝AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF＝CE；（2）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，AC＝，∴△AEC是等边三角形，∴AC＝CE，又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．23．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝45°，过B作⊙O的切线交AC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠OAD；（2）若BC＝4，tanD＝，求⊙O半径的长．【解答】（1）证明：如图，连接OB，∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∴∠AOB＝∠OBD＝90°，∴AO∥BD，∴∠D＝∠OAD；（2）解：如图，过点A作AE⊥BD交DB的延长线于点E，∵BD是⊙O的切线，∴OB⊥BD，∵AE⊥DE，∴AE∥OB，又∵AO∥DE，∴四边形OAEB是平行四边形，又∵∠E＝90°，OA＝OB，∴四边形OAEB是正方形，∴AE＝BE，∵∠ACB＝45°，BH⊥AD，∴BH＝HC＝BC＝＝4，在Rt△BDH中，tanD＝＝，∴DH＝4×＝，BD＝＝，在Rt△AED中，tanD＝＝，设⊙O半径的长为x，则AE＝EB＝OA＝x，∴＝，解得x＝20，即⊙O半径的长为20．24．（5分）光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，在0℃至50℃气温，水资源及光照充分的条件下温度（℃）5101520253035404550光合作用产氧速率（μmol/m2s）0.020.180.300.400.580.821.420.900.400.02呼吸作用耗氧速率（μmol/m2s）0.030.100.150.200.280.370.420.600.820.60（1）通过观察表格数据可以看出，若设温度为x，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的函数，描出表中各组数值所对应的点，图中已经描出部分点，并画出函数图象；（2）结合函数图象，解决问题：（结果取整）①最适合草莓生长的温度约为35℃；②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动【解答】解：（1）描点及图象如图所示：（2）①由图象可知，当x＝35时．故答案为：35．②由图象可知，当5≤x＜7或42＜x≤50时．25．（5分）4月24日是中国的航天日．为了激发全民尤其是青少年崇尚科学、勇于创新的热情，某学校在七、八年级进行了一次航天知识竞赛．现从七、八年级参加该活动的学生的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析a．七年级参加活动的20名学生成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．七年级参加活动的20名学生成绩的数据在80≤x＜90这一组的是：84858586868889c．八年级参加活动的20名学生成绩的数据如下：分数738182858891929496100人数1323131411根据以上信息，解答下列问题：（1）补全a中频数分布直方图；（2）七年级参加活动的20名学生成绩的数据的中位数是88.5；八年级参加活动的20名学生成绩的数据的众数是94；（3）已知七八两个年级各有300名学生参加这次活动，若85分以上算作优秀，估计这两个年级共有多少人达到了优秀．【解答】解：（1）成绩为70≤x＜80的学生人数为20﹣1﹣1﹣8﹣9＝2（人），补全的频数分布直方图如图所示：（2）将七年级参加活动的20名学生成绩按从小到大的顺序排列，中位数是；八年级参加活动的20名学生成绩的数据的众数是94；故答案为：88.5；94；（3）300×+300×，答：估计这两个年级共有360人达到了优秀．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线上存在两点A（x1，y1）和B（x2，y2），若对于1≤x1≤2，x2＝b+2，都有y1•y2＜0，求b的取值范围．【解答】解：（1）将点（2，0）代入函数解析式得，72﹣2b×4＝0，解得b＝1，所以抛物线的解析式为y＝x3﹣2x．（2）由题知，抛物线的对称轴为直线x＝，因为抛物线经过点（0，6），所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（2b，0）．又因为对于8≤x1≤2，x5＝b+2，都有y1•y4＜0，所以当对称轴在y轴左侧，即b＜0时，b+5＜0，解得b＜﹣2，所以b＜﹣4．当对称轴在y轴右侧，即b＞0时，，解得4＜b＜2，所以1＜b＜7．当b＝0时，抛物线的对称轴为y轴，又因为抛物线开口向上，所以对于1≤x2≤2，x2＝b+7，则y1＞0，y4＞0．显然不符合题意．综上所述，b的取值范围是：b＜﹣2或4＜b＜2．27．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边中点，DE⊥AB于E，过点E作DF的垂线交DF于点G，交BC于点H．（1）依题意补全图形；（2）求证：DH＝BE；（3）判断线段FD、HC与BE之间的数量关系，并证明．【解答】（1）解：补全图形如图所示．（2）证明：∵DF平分∠EDC，∴∠EDG＝∠HDG，∵DH⊥DF，∴∠EGD＝∠HGD＝90°，在△EDG和△HDG中，∠EGD＝∠HGD，DG＝DG，∴△EDG≌△HDG（ASA），∴DE＝DH，在△ABC中，∠BAC＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B＝45°，又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，∴△BDE为等腰直角三角形，∴BE＝DE＝DH．（3