广东省江门市新会大泽华侨中学高三数学理月考试题含解析

广东省江门市新会大泽华侨中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数f（x）=，若方程f（f（x））=a（a＞0）恰有两个不相等的实根x1，x2，则的最大值为（）A．B．2（ln2﹣1） C． D．ln2﹣1参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（f（x））的解析式，根据f（f（x））的函数图象判断x1，x2的范围和两根的关系，构造函数h（x1）=e?e，求出h（x1）的最大值即可．【解答】解：令g（x）=f（f（x））=，∵y=f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）=f（f（x））在（﹣∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．做出g（x）=f（f（x））的函数图象如图所示：∵方程f（f（x））=a（a＞0）恰有两个不相等的实根x1，x2，不妨设x1＜x2，则x1≤﹣1，x2≥0，且f（x1）=f（x2），即x12=e．∴e?e=e?x12，令h（x1）=e?x12，则h′（x1）=e（x12+2x1）=e?x1?（x1+2），∴当x1＜﹣2时，h′（x1）＞0，当﹣2＜x1＜﹣1时，h′（x1）＜0，∴h（x1）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，﹣1）上单调递减，∴当x1=﹣2时，h（x1）取得最大值h（﹣2）=．故选C．【点评】本题考查了根的个数与函数图象的关系，函数单调性判断与函数最值的计算，属于中档题．2.在区间[0,2]上任取两个数且，则使的概率是（ ）A．

B．

C.

D．参考答案：C为几何概型，测度为面积，概率是，选C.

3.某几何体的三视图（如图3所示）均为边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是A．

B．

C．

D．

参考答案：A略4.已知实数x、y满足不等式组，则z=x﹣y的最小值为（） A．﹣1 B． ﹣ C． ﹣3 D． 3参考答案：C5.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（

）

参考答案：C略6.某数学爱好者编制了如图的程序框图，其中mod(m，n)表示m除以n的余数，例如mod(7，3)=1．若输入m的值为8，则输出i的值为A．2 B．3

C．4 D．5参考答案：B模拟执行程序框图，可得：，，，满足条件，满足条件，，，满足条件，不满足条件，，满足条件，满足条件，，，…，，可得：，，，∴共要循环次，故．故选B．7.在平面直角坐标系中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于x轴对称.若,则（

）A.－1 B. C. D.1参考答案：C【分析】由角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称，可以求出，这样利用二倍角的余弦公式可以求出的值.【详解】因为角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称，所以，所以，故本题选C.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，由已知得到角与角的关系是解题的关键.8.公差不为零的等差数列的前项和为。若是与的等比中项，，则等于（

）A.18 B.24 C.60 D.90参考答案：C因为是与的等比中项，所以，又，即，解得，所以，选C.9.已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．+1 B．+1 C． D．参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质；K8：抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A的坐标；将A代入抛物线方程求出双曲线的三参数a，b，c的关系，即可得到结论．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（，0）；双曲线的焦点坐标为（c，0）所以p=2c∵点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，将x=c代入双曲线方程得到A（c，）将A的坐标代入抛物线方程得到=2pc∴e2﹣2e﹣1=0∵e＞1∴e=故选A．10.在三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（

）

A．

B.

C.

4

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝-------参考答案：512.若关于x的方程有两个不同的实数解，则实数a的取值范围是______________.参考答案：13.已知角的终边上一点，其中，则

。参考答案：略14.（几何证明选讲选做题）如图，与圆相切于，为圆的割线，并且不过圆心，已知，，，则圆的半径等于__________．参考答案：7

【知识点】与圆有关的比例线段．N1解析：由圆的性质PA=PC·PB，得PB=12，连接OA并反向延长交圆于点E，在直角三角形APD中可以求得PD=4，DA=2，故CD=3，DB=8，记圆的半径为R，由于ED·DA=CD·DB因此，解得R=7．故答案为7.【思路点拨】连AO并延长，根据切线的性质定理得到Rt△PAD，根据切割线定理得到PA2=PC?PB，根据相交弦定理得到CD?DB=AD?DE，最后即可解得圆O的半径．15.已知双曲线C的离心率为，左、右焦点为F1，F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，结合双曲线的定义，可得|F2A|=2a，|F1A|=4a，由离心率公式可得|F1F2|=2c=5a，在△AF1F2中，运用余弦定理，即可得到所求值．【解答】解：由于|F1A|=2|F2A|，由双曲线的定义，得：|F1A|﹣|F2A|=|F2A|=2a，则|F1A|=4a，又双曲线的离心率为，则|F1F2|=2c=5a，在△AF1F2中，；故答案为：．16.已知函数，若在区间内任取两个不同实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是

.参考答案：17.已知：条件A：，条件B：，如果条件是条件的充分不必要条件，则实数的取值范围是.参考答案：由得，即，解得，即A:.因为条件是条件的充分不必要条件，所以，即实数的取值范围是。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（为常数）．(1）求函数的最小正周期和单调增区间；(2）若函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像关于轴对称，求实数的最小值参考答案：（1）的最小正周期为

当，即时，函数单调递增，故所求区间为

(2）函数的图像向左平移个单位后得，要使的图像关于轴对称，只需

即，所以的最小值为．19.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，S6=9S3．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=1+log2an，求数列{bn}的前n项和．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，运用等比数列的求和公式，求得q=2，再由等比数列的通项公式即可得到；（Ⅱ）运用对数的性质化简bn=n，再由等差数列的求和公式，计算即可得到．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，a1=1，S6=9S3，知q≠1，故有=，即（1﹣q3）（1+q3）=9（1﹣q3），即有1+q3=9，即q3=8，解得q=2，则an=a1qn﹣1=2n﹣1；（Ⅱ）bn=1+log2an=1+log22n﹣1=1+n﹣1=n，则数列{bn}的前n项和为1+2+…+n=n（1+n）．【点评】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查对数的运算和等差数列的求和公式，属于基础题．20.本小题共16分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分）设函数，（1）求函数；（2）当，有意义时，写出在上的单调区间；（3）记，若存在实数使得函数在上的值域是，求实数的取值范围。参考答案：⑴⑵当⑶⑴⑵当代入矛盾，∴也不可能。⑶当记得：综上，21.在如图所示的多面体中，面ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形．（1）求证：AE∥平面BFC（2）若AD⊥DE，AD=DE=1，AB=2，∠BDA=60°，求三棱锥F﹣AEC的体积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出AD∥BC，从而AD∥平面BCF，推导出DE∥BF，从而DE∥平面BCF，进而平面ADE∥平面BCF，由此能证明AE∥平面BCF．（2）设AC∩BD=O，则O为AC中点，连结OE，OF，则VF﹣ABC=VC﹣AEF=2VO﹣AEF=2VA﹣OEF，由此能求出三棱锥F﹣AEC的体积．【解答】证明：（1）∵面ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AD?平面BCF，BC?平面BCF，∴AD∥平面BCF，∵四边形BDEF是矩形，∴DE∥BF，∵DE?平面BCF，BF?平面BCF，∴DE∥平面BCF，∵AD∩DE=D，AD?平面ADE，DE?平面ADE，∴平面ADE∥平面BCF，∵AE?平面ADE，∴AE∥平面BCF．解：（2）设AC∩BD=O，则O为AC中点，连结OE，OF，则VF﹣ABC=VC﹣AEF=2VO﹣AEF=2VA﹣OEF，在△ABD中，∠BAD=60°，AD=1，AB=2，由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2AB?AD?cos∠BAD，∴BD=，∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD，∵DE⊥AD，BD∩DE=D，BD?平面BDEF，DE?平面BDEF，∴AD⊥平面BDEF，故AD为A到平面BDEF的距离，∵DE=1，∴S△OEF==，∴VA﹣OEF==，∴三棱锥F﹣AEC的体积VF﹣AEC=2VA﹣OEF=．【点评】本题考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归转化思想、函数与方程思想，数形结合思想，是中档题．22.已知函数

（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；（Ⅱ）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。参考答案：（Ⅰ）

由题意得：

得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为（Ⅱ）设；则过切点的切线方程为

令；则

切线与曲线只有一个公共点只有一个根