2023-2024学年浙江省杭州市浙里特色联盟高二（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省杭州市浙里特色联盟高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x|−1<A.{−2,−1,0,12.等差数列{an}中，a7+a9A.10 B.14 C.15 D.303.已知空间向量a=(−2,−A.(a+b)/​/a B.a与b4.若函数f(x)=lA.0 B.12 C.32 5.若点P(−22,y)是角αA.−2 B.2 C.−6.已知圆x2+y2=4与圆x2+A.2x+y−3=0 B.7.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标

中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是

(

)

A.f(x)=1|x−18.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，M为线段AA.4 B.6 C.7 D.8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=1−iA.z的实部为1 B.z在复平面内对应的点位于第四象限

C.z的虚部为−i D.z的共轭复数为10.袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则(

)A.甲与乙互斥 B.乙与丙互斥 C.甲与乙独立 D.甲与乙对立11.如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则(

)A.轨道Ⅱ的长轴长为R+r

B.轨道Ⅱ的焦距为R−r

C.若R不变，r越小，轨道Ⅱ的短轴长越大

D.若r不变，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(1,x),13.已知直线l：y=2x−1.若点(n,an)在直线l14.古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点O(0,0)，A(3,0四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，sinA=2sinB，b=2.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并解决下面的问题：

(Ⅰ)求角B的大小；

(Ⅱ)求△ABC的面积．

16.(本小题15分)

已知f(x)=ax3−bx+4，f(x)在x=2处取得极小值−43．

(17.(本小题15分)

已知数列{an}中，a1=3，点(an,an+1)在直线y=3x上．

(Ⅰ)求数列18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，∠DCB=∠PCB=π4，点M，N分别为DP和AB19.(本小题17分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，若以F1为圆心，1为半径的圆与以F2为圆心，3为半径的圆相交于A，B两点，若椭圆E经过A，B两点，且直线AA1，AA2的斜率之积为−34．

(1)答案和解析1.【答案】D

【解析】解：因为x2+x−6=(x+3)(x−2)，所以不等式x2+x−6<0的解集为{2.【答案】B

【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a7+a9=16，a4=2，∴2a1+14d=163.【答案】C

【解析】解：对于A：a+b=(1,3,6)，因为−21≠−13≠16，所以a+b与a不平行，故A错误；

对于B：a与b夹角的余弦值为a⋅b|a|⋅|b|=−6−4+564.【答案】A

【解析】解：因为f(x)=lnx−2x+1，

所以f′(x5.【答案】D

【解析】解：cos(α+π2)=−sinα=−33，

又由三角函数的定义得s6.【答案】C

【解析】解：圆C1：x2+y2=4，圆心C1(0,0)，半径r1=2，

C2：x2+y2−8x+4y+16=0，圆心C2(4,−2)，半径r2=2，

由题意知，l是圆7.【答案】B

【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，可从函数的性质或特殊点(范围)的函数取值进行思考，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．

先由函数的定义域可排除选项A和D，再由x∈(0,1【解答】

解：函数的定义域为{x|x≠±1}，排除选项A和D，

当x∈(0,1)时，f(x8.【答案】B

【解析】解：由题设易知p=4，从而准线方程为x=−2．

设点A(x1,y1)，点B(x2,y2)，

则点M坐标为(x1+x229.【答案】AB【解析】解：z=1−i，

则z的实部为1，故A正确；

z在复平面内对应的点(1,−1)位于第四象限，故B正确；

z的虚部为−1，故C错误；

z的共轭复数为1+10.【答案】BC【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，当第一次摸到白球、第二次摸到黑球时，甲乙同时发生，即甲乙不是互斥事件，A错误；

对于B，事件“第二次摸到黑球”与“第二次摸到黑球”不会同时发生，是互斥事件，B正确；

对于C，由于是有放回地依次随机抽取，则甲乙是相互独立事件，C正确；

对于D，事件甲和乙会同时发生，即甲乙不是对立事件，错误；

故选：BC．

根据题意，由互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义依次分析选项，综合可得答案．

11.【答案】AB【解析】解：A，由椭圆的性质知，a+c=R，a−c=r，则2a=R+r，故轨道Ⅱ的长轴长为R+r，故A正确；

B，由A知2c=R−r，故轨道Ⅱ的焦距为R−r，故B正确；

C，由A知a=R+r2，c=R−r2，所以2b=2a2−c2=212.【答案】±2【解析】解：向量a=(1,x),b=(x,4),a13.【答案】n2【解析】解：直线l：y=2x−1，点(n,an)在直线l上，

∴an=2n−1，

∴an+1−an=2(n+1)−1−(2n−1)=214.【答案】2

【解析】解：由题意可知设P(x,y)，

易知|PA|2=4|PO|2，即可得(x−3)2+y2=4(x2+y2)，

整理得点P的轨迹方程为(x+1)2+y2=4，

其图形是以(15.【答案】解：(I)因为sinA=2sinB，b=2，

由正弦定理得，a=2b=2，

若选条件①：c=4，此时a+b<c，三角形无解；

若选条件②：b2−a2=c2−2ac，

由余弦定理得，cosB=a2+c2−b22ac=22，

由B为三角形内角，得B=45°；

若选条件③：【解析】本题主要考查了余弦定理，正弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．

(I)由已知结合正弦定理可求a，b，然后结合所选条件，结合余弦定理及正弦定理可求cosB，进而可求B；16.【答案】解：(1)由题意知f′(x)=3ax2−b，

因为f(x)在x=2处取得极小值−43，

则f(2)=8a−2b+4=−43f′(2)=12a−b=0，解得a=13，b=4，经检验，满足题意，

所以a=13，b=4，

所以f(x)=13x3−4x+4；

(2)由题意知f(x)=13x3−4x+4，f′(x)=【解析】(1)求出f′(x)，由题意可得f′(2)=0f(2)=−43，由此即可求出答案；17.【答案】解：(Ⅰ)由题意，a1=3，an+1=3an，

∴数列{an}是以3为首项，以3为公比的等比数列，

则Sn=3(1−3n)1−3=12(3n+1−3)；

证明：(Ⅱ【解析】(Ⅰ)由题意，a1=3，an+1=3an，可得数列{an}是以3为首项，以3为公比的等比数列，再由等比数列的前n项和公式求解；

(Ⅱ)18.【答案】证明：(1)取PC中点E，连接ME，BE，

∵M为DP中点，N为AB中点，

∴ME//12CD且ME=12CD，

又∵BN//12CD且BN=12CD，

∴ME//BN且ME=BN，

∴四边形BEMN为平行四边形，

∴MN/​/BE，

∵MN⊄平面PBC，BE⊂平面PBC，

∴MN/​/平面PBC；

证明：【解析】(1)取PC中点E，连接ME，BE，利用中位线定理得到四边形BEMN为平行四边形，根据线面平行的判定定理即可得证；

(2)由题意得到△BCD≌△B19.【答案】解：(1)因为圆F1：(x+c)2+y2=4与圆F2：(x−c)2+y2=4相交，且交点在椭圆E上，

所以2a=2+2，

解得a=2，

因为直线AA1，AA2的斜率之积为−34，

所以kAA1⋅kAA2=−b2a2=−34，

解得b2=3，

则椭圆E的方程为x24+y23=1；

(2)①证明：由(1)得椭圆右焦点F2(1,0)，

不妨设M(