重难点07 二次函数最值问题 （解析版）

重难点07二次函数最值问题技巧技巧方法二次函数的最值函数（）（）最值当时，有最小值，无最大值；当时，有最大值，无最小值.能力拓展能力拓展一、填空题1．（2022·浙江宁波·一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，，过P的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为______；作弦于H，则CH的最大值为________．【答案】

8

【分析】先根据平行线的性质可得，过点作于点，设，再解直角三角形可得，利用勾股定理可得，然后根据垂径定理可得，解直角三角形可得，令，则，利用二次函数的性质即可得的最大值，最后根据的面积为即可得出答案．【详解】解：的半径为4，，，，，如图，过点作于点，设，，，由垂径定理得：，，令，则，由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为，的面积为，则当取得最大值时，的面积最大，最大值为，故答案为：8，．【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形的应用、二次函数的性质，熟练掌握解直角三角形的方法和二次函数的性质是解题关键．2．（2022·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，点，的坐标分别为，，为轴上的动点，连结，，过点作的垂线交轴于点．连结并取的中点为，连结．则的度数为______；线段的最小值为______．【答案】

【分析】答题空1：过点作交轴于点，在中，根据点的坐标，利用锐角三角函数，求出，得到，最后由计算即可；答题空2：设，设直线的解析式为：，设直线的解析式为：，可得，再根据，可得到，所以直线的解析式为，可得，再根据点为的中点，得到，最后利用勾股定理求得，再利用二次函数顶点坐标公式求出的最小值取可．【详解】解：如图，过点作交轴于点，设，∴为直角三角形，∵点的坐标为，∴，，∴，∴，∴，∴的度数为．∵点，的坐标分别为，，设直线的解析式为：，设直线的解析式为：，∴，∵，∴，∴直线的解析式为当时，，即，∴，又∵点为的中点，∴，即∴∵二次项系数，当时，，∴线段的最小值为．故答案为：；【点睛】本题考查的是几何图形与函数的综合题，考查了锐角三角函数，一次函数，二次函数的顶点坐标，勾股定理等知识．把几何问题转化为函数问题是解答本题的关键．二、解答题3．（2022·浙江丽水·一模）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式．(2)点是抛物线上不同的两点．①若，求之间的数量关系．②若，求的最小值．【答案】(1)(2)①；②最小值为【分析】（1）将A，B两点代入解析式解得即可；（2）①若，则，化简即可得到的关系；②代入化简成顶点式即可得到最小值．(1)抛物线与x轴相交于点解得；(2)①点是抛物线上不同的两点．若，则．；②==，当=1时，的最小值为-2．【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质和最值问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．4．（2022·浙江温州·九年级开学考试）如图是某个二次函数的图，顶点是（1、4）与x轴的一个交点是（3、0），(1)求该二次函数关系式；(2)若抛物线上点P（m，n）到y轴的距离不大于2，请分别求出m、n的取值范围，【答案】(1)y=-（x-1）2+4(2)m的取值范围为-2≤m≤2，n的取值为-5≤n≤4．【分析】（1）根据图象设出抛物线的顶点式，再根据抛物线过点（3，0），即可求出二次函数关系式；（2）根据抛物线上点P（m，n）到y轴的距离不大于2，可以求出m的取值范围；根据函数图象的增减性求出n的取值即可．(1)根据图象知，抛物线的顶点坐标为（1，4），∴设二次函数关系式为y=a（x-1）2+4，又∵函数图象过（3，0），∴0=4a+4，解得a=-1，∴函数解析式为：y=-（x-1）2+4；(2)由（1）函数解析式知，函数与y轴的交点为（0，3），函数与x轴的另一交点为（-1，0），∵抛物线上点P（m，n）到y轴的距离不大于2，∴-2≤m≤2；由图知，当x=1时函数有最大值为4，∴n≤4，当x=-2时，y=-5；当x=2时，y=3；∴当x=-2时，二次函数有最小值y=-5，∴当-2≤x≤2，y的取值为-5≤y≤4∴n的取值为-5≤n≤4．综上所述，m的取值范围为-2≤m≤2，n的取值为-5≤n≤4．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．（2021·浙江·温州市第二中学二模）“甜甜”糖果厂拟于六一儿童节前40天里生产销售某款糖果，其成本为20元/千克．设第x天的销售价格为y元/千克，销售量为m千克．该厂根据以往的销售经验得出以下销售规律：且当x=10时，y=50；x=20时，y=45．②m与x的关系式为m=4x+40．(1)求y与x的函数关系式．(2)记当天的销售利润为w元．①当x为何值时，w最大？w最大值为多少？②若该厂希望第31天到第35天的日销售利润w随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/千克，求a的最小值．【答案】(1)(2)①当x=30时，w最大值为3200元；②a的最小值为5．【分析】（1）利用待定系数法代入y=kx+b即可求解；（2）①先写函数关系式w=（-0.5x+55-20）（4x+40），再利用二次函数的性质可得答案；②w=-2x2+（120+4a）x+1400+40a，利用对称轴，即可求解．(1)解：设y=kx+b，当x=10时，y=50；x=20时，y=45，∴，解得，∴y与x的函数关系式为：y=-0.5x+55；(2)①w=（-0.5x+55-20）（4x+40）=-2x2+120x+1400=-2（x-30）2+3200，当x=30时，w最大值为3200元；②依题意，w=（y+a-20）•m=（-0.5x+55+a-20）（4x+40）=-2x2+（120+4a）x+1400+40a，∵第31天到第35天的日销售利润w随x的增大而增大，∴对称轴，得a≥5，故a的最小值为5．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题，解题本题的关键是读懂题意，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．6．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，已知点在二次函数的图像上，且．(1)若二次函数的图像经过点．①求这个二次函数的表达式；②若，求顶点到的距离；(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．【答案】(1)①；②，(2)【分析】（1）①将点代入中即可求出二次函数表达式；②当时，此时为平行x轴的直线，将代入二次函数解析式中求出，再由求出直线为，最后根据二次函数顶点坐标即可求解；（2）分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，；若M、N在对称轴的异侧，，x1<2，分别求解即可．(1)解：①将点代入中，∴，解得，∴二次函数的表达式为：；②当时，此时为平行x轴的直线，将代入二次函数中得到：，将代入二次函数中得到：，∵，∴=，整理得到：，又∵，代入上式得到：，解出，∴，即直线为：，又二次函数的顶点坐标为(2，-1)，∴顶点(2,-1)到的距离为；(2)解：若M，N在对称轴的异侧，，∴x1+3>2，∴x1>-1，∵∴，∴-1<，∵函数的最大值为y1=a（x1-2）2-1，最小值为-1，∴y-（-1）=1，∴a=，∴，∴；若M、N在对称轴的异侧，，x1<2，∵，∴，∵函数的最大值为y=a（x2-2）2-1，最小值为-1，∴y-（-1）=1，∴a=，∴，∴，综上所述，a的取值范围为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与性质及二次函数的最值等问题：当开口向上(向下)时，自变量的取值离对称轴越远，其对应的函数值就越大(越小)．7．（2022·浙江浙江·二模）某公司成功开发出一种产品，正式投产后，生产成本为5元/件．公司按订单生产该产品（销售量=产量），年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足如图1所示的函数关系，公司规定产品售价不超过15元/件，受产能限制，年销售量不超过30万件；为了提高该产品竞争力，投入研发费用P万元（P万元计入成本），P与x之间的函数关系式如图2所示，当时可看成抛物线．(1)求y与x之间的函数关系式．(2)求这种产品年利润W（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式．(3)当售价x为多少元时，年利润W最大，并求出这个最大值．【答案】(1)y与x的函数关系式为：y=-2x+40（）；(2)(3)当售价为12元时，年利润最大，最大为49万元．【分析】（1）根据题意设y与x的函数关系式为：y=kx+b，将点（5，30），（15，10）代入求解即可得；（2）根据题意及函数图像可得，需要分两部分进行讨论分析：当时，根据图像可得：P=60；当时，；利用利润列出函数解析式即可；（3）由（2）中结论将函数解析式化为顶点式或利用顶点坐标即可确定最值问题．(1)解：设y与x的函数关系式为：y=kx+b，将点（5，30），（15，10）代入可得：，解得：，∴y与x的函数关系式为：y=-2x+40（）；(2)解：当时，根据图像可得：P=60，∴W=(x-5)y-P=(x-5)(-2x+40)-60=-2+50x-260；当时，，由图可得经过点（10，60），将其代入可得：，解得：m=75，∴；∴W=(x-5)y-P=(x-5)(-2x+40)-()=；综上：；(3)解：由（2）可得：当时，W=-2+50x-260=-2，∴不在，由于开口向下，在内随x增大而增大，在x=10时，取得最大值为W=40；当时，W=，对称轴为x=，由于函数开口向下，∴当x=12时，W=49，∴当x=12时，W取得最大值为49；综上可得：当售价为12元时，年利润最大，最大为49万元．【点睛】题目主要考查一次函数解析式的确定，二次函数的应用及最值问题，理解题意，列出相应函数解析式是解题关键．8．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如图，用长为30的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为x（m），面积为y（m）．(1)求y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；(2)如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长为多少？(3)求出所能围成的花圃的最大面积．【答案】(1)，(2)7m，(3)m2【分析】（1）设AB长为x（m），则BC长为（30-3x）（m），根据墙的最大可用长度为10m，且BC的长度大于0，可得自变量的取值范围，面积为长乘宽，可得函数表达式；（2）面积为63m2，即y=63，代入表达式可得x的值，根据x的取值范围，可得结果；（3）把二次函数化成顶点式，根据函数的增减性求最值即可．【详解】解：（1）设AB长为x（m），则BC长为（m），∴且．即．∴．（2）由题意得：，解得：或7．∵，∴不合题意，就舍去．∴如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长应为7m．（3）由题意知：，∴在对称轴直线的右侧，y随x的增大而减小，∴当时，y有最大值．最大值为．∴篱笆围成的花圃的最大面积为m2．【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的面积问题，根据题意理清关系是解题的关键．9．（2022·浙江温州·九年级期末）某景区商店销售一种成本价为10元/件的纪念品，已知这种纪念品的销售价不低于成本价，且物价部门规定销售价不得高于24元/件，经市场调查发现，该纪念品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．(1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)求每天的销售利润W（元）关于销售价x（元/件）的函数解析式，并求出当每件的销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？【答案】(1)y=－x+40（10≤x≤24）(2)销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大利润为224元【分析】（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，再利用待定系数法求解函数解析式即可；（2）由销售利润等于每件商品利润乘以销售数量即可得到函数关系式，再利用二次函数的性质求解最值即可.(1)解：设y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（12，28），（15，25）代入，得：12kb28，15kb25解得：k1，b40∴关于x的函数解析式为y=－x+40（10≤x≤24）．(2)根据题意知，W=（x－10）y=（x－10）（－x+40）=－（x－25）2+225，··∵a=－1<0，∴当x≤25时，W随x的增大而增大，∵10≤x≤24，∴当x=24时，W取得最大值，最大值为224答：当每件的销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大利润为224元．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，列二次函数的关系式，二次函数的性质，熟练的利用二次函数的性质求解利润的最大值是解本题的关键.10．（2022·浙江·温州市第十二中学二模）疫情期间，某口罩公司生产A、B两种类型医用口罩．一家超市4月份向该公司订购了1500件A型口罩和1500件B型口罩，一共花了5700元；5月份又花5600元订购了2000件A型口罩和1000件B型口罩．(1)求该公司A、B两种类型医用口罩的单价．(2)6月份，该超市决定只卖A型口罩．经调查发现，当销售单价定为2元时，每天可售出100件，销售单价每涨价0.1元，每天销售量减少10件．设每天销售量为y件，销售单价为x元（）．①求y与x的函数关系式．②该超市决定每销售一件口罩便向某慈善机构捐赠a元（）．当销售单价为多少元时，当月获得的利润最大？最大利润为多少元？【答案】(1)A、B口罩的单价分别为1．8元和2元(2)①；②当销售单价为2．5元时，当月获得的利润最大，最大利润为（10501500a）元【分析】（1）设出、口罩的单价，根据题条件列出关于的二元一次方程组，解出即可；（2）①根据题目条件写出的关系式即可；②设出利润为W，根据利润每个利润销售量，列出的关系式，根据二次函数的性质即可求得最大值．(1)解：设口罩的单价为元，则口罩的单价元．由题意，得，解，得答：、口罩的单价分别为元和元；(2)解：①由题意可得：②设该超市每天获得的利润为W元，由题意可得：，，，，，，∴当时，一天获得的利润最大，为元．因此，该超市当月获得的最大利润为元．【点睛】本题主要考查二元一次方程组、一次函数的解析式、二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．11．（2022··一模）已知二次函数（a是常数，）．(1)当时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；(2)若此函数图象对称轴为直线时，求函数的最小值；(3)设此二次函数的顶点坐标为，当时，求证：．【答案】(1)；，(2)-27，(3)见解析【分析】（1）把代入函数关系式，求出函数表达式，根据函数表达式求出函数图象的顶点坐标即可；（2）根据函数表达式可以写出函数图象与x轴的两个交点坐标，用a表示出函数图象的对称轴，根据对称轴为直线x=−2，列出关于a的方程，解出a的值，得出函数表达式，求出最小值即可；（3）用a表示出m，n，再将用a表示的m，n代入得出用a表示的不等式，求表达式的最大值即可证明．(1)解：把代入y=a(x+2a−1)(x−a+2)得：∴函数图象的顶点坐标为（-1，0）．(2)∵函数不等式为y=a(x+2a−1)(x−a+2)，∴函数图象与x轴的两个交点坐标为：，，∴函数图象的对称轴为直线，函数图象对称轴为直线x=−2，，解得：，函数的关系式为：∴函数的最小值为-27．(3)根据解析（2）可知，函数图象的对称轴为：直线，把代入函数关系式得：∴函数图象的顶点坐标为，，，，，．【点睛】本题主要考查了求二次函数表达式，顶点坐标，对称轴，最值，熟练掌握将二次函数的关系式转化为顶点式是解题的关键．12．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于，AC为对角线，点B是的中点，过点D作与AB，AC交于点F，G，与交于点E，．(1)求证：．(2)求证：．(3)若．①当时，求BC的长②直接写出的最大值．【答案】(1)见解析，(2)见解析，(3)①；②9【分析】（1）连接BD，根据已知条件可得，，进而可得；（2）连接AE，由弦与弧的关系可得，根据，，，可得，进而可得，即可证明；（3）①由四边形ABCD内接于，得出，证明，设，则，，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据解方程求解即可；②由①可得BC•DG=CG•AG，进而得出关系式，根据二次函数的性质求最值即可．(1)解：如图1，连接BD，，，，∵点是的中点，，，，(2)如图2，连接AE，，，，，又，，，.(3)①如图2，，，，∵四边形ABCD内接于，，，，，，，，，即，，，又，，，设，则，由得，由得，，又∵点D是的中点，，，，，，，，，，②由①知：BC•DG=CG•AG，设CD=x，则CG=CD=x，∴AG=6-x，∴BC•DG=x•（6-x）=-（x-3）2+9，∴当x=3时，BC•DG有最大值，最大值=9．【点睛】本题考查了与圆有关的定理，相似三角形的判定和性质，求二次函数函数的最值等知识，解决问题的关键是作辅助线，寻找和转化复杂的数量关系．13．（2022·浙江杭州·二模）如图1，在矩形中，与交于点，为上一点，与交于点．(1)若，，①求．②如图2，连接，当时，求的值．(2)设，记的面积为，四边形的面积为，求的最大值．【答案】(1)①；②，(2)【分析】（1）①先根据等腰三角形的性质：等边对等角和平行线的性质证得，再根据，即可求得，即可求得，即可由特殊角的三角函数正切定义求解；②过点作于点．在中，求得，在中，求得，则．在中，求得，，则，在中，由勾股定理得，即可求解．（2）设，证∴，得出，则．又因为，则．再证，得，则，所以．所以，即可求得．根据求二次函数最值方法，即可求出的最大值．(1)解：①如图1，∵，∴．∵四边形ABCD是矩形，∴，∴．∵，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∴．②如图2，过点作于点．在中，，，∴．在中，，，∴，∴．在中，，∴，，∴．在中，．(2)如图2，设，∵，∴，∴，∴．∵，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．∴，∴．∵-1<0，∴当时，．【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形的判定与性质，解直角三角形，二次函数最值，熟练掌握矩形的性质、三角形的判定与性质、解直角三角形、二次函数最值是解题词的关键．14．（2022·浙江台州·一模）运行在某区段的高铁动车组对二等座实施浮动票价．二等座的基准票价为100元，按照基准票价售票时，上座率为60%．试运行阶段实施表明，票价在基准票价基础上每上浮10元，则上座率减少5个百分点；如果票价在基准票价基础上每下降10元，则上座率增加10个百分点．如：票价为110元时，上座率为55%；票价为90元时，上座率为70%．在实施浮动票价期间，保证上座率不低于30%．(1)设该列车二等座上座率为，实际票价为x元，写出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)请你用适当的函数解析式表示该列车二等座售票收入的变化规律；(3)在不超载的情况下，请你帮助该列车的经营单位确定一个合理的价格，使得二等座售票收入最多．【答案】(1)(2)（w为收入，m为二等座个数）(3)当票价为80元时，二等座的收入最多【分析】（1）、分两种情况进行讨论：当，根据每上浮10元，则上座率减少5个百分点列出解析式，当，根据每下降10元，则上座率增加10个百分点列解析式，再根据求自变量x的取值范围即可；（2）、设收入为w，共有m个二等座，根据利润=票价×总共的座位数×上座率求出函数解析式即可；（3）、由（2）得出的函数解析式，将其配成顶点式，再根据函数图像和性质即可求解．(1)解：当时，，，即，解得：，，当时，，，即：，解得：，，；(2)设二等座售票收入w，二等座由m个，则可得：当时，，当时，，综上所述：；(3)设二等座售票收入w，二等座由m个，则可得：当时，∴当时，w取最大值64m；当时，∴当时，w取最大值；，时，w取最大值，综上所述，当票价为80元时，二等座的收入最多．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数最值的求解，根据题意找出等量关键，写出解析式是解题关键，15．（2022·浙江宁波·一模）如图1，在⊙O中，M为弦AB的中点，过点M作直径CD，E为线段OM上一点，连结AE并延长交⊙O于点F，连结BF，AE=BF．(1)证明：AC＝BF．(2)当时，求．(3)如图2，连结CF交AB于点G，当CD＝2时，设EM＝x，，求y关于x的函数解析式，并确定y的最大值．【答案】(1)见解析，(2)，(3)，y的最大值为2．【分析】（1）根据垂径定理，可得EA=EB，进而得BE＝BF，从而得到，根据圆周角定理和圆周角、弧、弦的关系定理可求；（2）设OE＝a，则EM＝CM＝2a，在Rt△AMO中用勾股定理得AM＝4a，进而可求；（3）易证△BFG∽△BAF，得即，所以根据得，，可求．(1)证明：如图，连结BE，∵CD为直径，M为AB中点，∴EM⊥AB，，∴EA＝EB．又∵BF＝AE，∴BE＝BF，∴，∴．∴AC=BF(2)解：连结OA、CA，∵，∴AC＝BF＝AE，∴EM＝CM．如图，当E在线段MO上时，∵，∴令OE＝a，则EM＝CM＝2a，即半径为5a．∴在Rt△AMO中用勾股定理得AM＝4a，∴．(3)解：如图，∵，∴∠BFG＝∠BAF．∴△BFG∽△BAF，∴即．∴．∵CD＝2，∴半径为1．∵EM＝x，∴MC＝x，MO＝OC－MC＝1－x，∴．∴．∵∴当时，y的最大值为2．【点睛】本题是圆与二次函数的综合题，主要考查了垂径定理、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、二次函数等知识，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质定理．16．（2022·浙江衢州·九年级期末）如图，在矩形中，，，E是上一点，且．动点P从点B出发，沿方向以每秒3个单位的速度向点C运动，过点P作交于点F，过点F作交于点G，连结．当点F与点A重合时，点P停止运动，设点P的运动时间为t秒．(1)求的长（用含t的代数式表示）；(2)当点P在何处时，的面积最大？最大面积是多少？(3)作的外接圆，在点P的运动过程中，是否存在实数t，使与四边形的一边（边除外）相切？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)PF的长5t(2)当时，面积最大，最大为(3)存在，或或时，与四边形的一边（边除外）相切【分析】（1）先证明四边形CGFP是平行四边形，再证明△PFB∽△ECD，运用相似三角形性质即可得出答案；（2）利用